常微分方程(第三版)(王高雄周之銘朱思銘)高等教育出版社課后答案

2.1常微分方程習(xí)題答案dy2xy1.dx,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得1xeydy2xdx,兩邊同時(shí)積分得：lnc,即ycx2把x0,y1代入得2yc1,故它的特解為yex2。2.y2dx(x1)dy0,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得：11dy,當(dāng)y0時(shí)，兩邊同時(shí)積分得；lnx11c,即yclnx11x1dxy2y當(dāng)y0時(shí)顯然也是原方程的解。當(dāng)x0,y1時(shí)，代入式子得c1,故特解是1y1ln1x。1y2dyx3xyydx3解：原式可化為：1y21y2dydx10,故分離變量得ydy1xx3dx?x顯然x3y2yy1兩邊積分得ln1y2lnx1ln12lnc(c0),即(1y21x)(1xx2)c22故原方程的解為（1y22）(1xx2)c24：(1x)ydx(1y)xdy0解：由y0或x0是方程的解，當(dāng)xy0時(shí)，變量分離1xdxx1ydy0y兩邊積分lnxxlnyyc,即lnxyxyc,故原方程的解為lnxyxyc;y0;x0.5:(yx)dy(yx)dx0解：yyxx,令yu,yux,dyuxdudxdydxxdxu1,變量分離，得：u11則uxdudxdudxu1u2x112兩邊積分得：arctguln(1u2)lnxc。dy6：xydxy2x2解：令yu,yux,dyuxdu,則原方程化為：xdxdxx2(1u2),分離變量得：11u2dusgnx?1dxxdudxx兩邊積分得：arcsinusgnx?lnxcysgnx?lnxc代回原來(lái)變量，得arcsinx另外，y2也是方程的解。x27：tgydxctgxdy0解：變量分離，得：ctgydytgxdx兩邊積分得：lnsinylncosxc.ey2y3x8:dydxdy1e3xcy解：變量分離，得3ey29:x(lnxlny)dyydx0解：方程可變?yōu)椋簂ny?dyydx0xx1lnu令uy,則有：dx1lnudlnuxx代回原變量得：cy1lny。xdye10：xydxe解：變量分離exdxydyeexc兩邊積分ydydxexy解：變量分離，eyedydxxeexc兩邊積分得：y()11.dydxxy2解：令xyt,則dydt1dxdx原方程可變?yōu)椋篸t11tdx21變量分離得：dtdx,兩邊積分arctgtxct12代回變量得：arctg(xy)xcdy112．dx(xy)2解1，原方程可變?yōu)閐t11令xyt，則dydtdxdxdxt2變量分離t2t21dtdx，兩邊積分tarctgtxc，代回變量xyarctg(xy)xcdy2xy113.dxx2y1解：方程組2xy10,x2y10;的解為x1,y133dY2XY令xX1,yY1,則有dXX2Y'3322U2U2令YU，則方程可化為：XdUXdX12U變量分離dyxy514,dxxy2解：令xy5t,則dy1dt,dxdxdtt原方程化為：1dxt7,變量分離(t7)dt7dx1t兩邊積分27t7xc2(xy5)7(xy5)7xc.2代回變量12dydx(x1)2(4y1)28xy115．解：方程化為dyx22x116y28y18xy1(x4y1)22dx令1x4yu，則關(guān)于x求導(dǎo)得14dydu，所以1duu29，dxdx4dx4分離變量4u29dudx，兩邊積分得arctg(x8y)6xc，是122dyy62x233316．dx2xy5x2y2原方程的解。dy(y3)22x23[(y3)22x2]，，令yu，則原方程化為dy3dx3(2xyx2dxyxyx22332解：u3z26z，則duzxdz，所以dxdx2z1dzz2z6zxdz，，x，..........(.1)dx2z1xdx3u260，得3或z2是（1）方程的解。y即33x或y32x是方程的解。當(dāng)z2zz6x2du3u26x211當(dāng)z2z60時(shí)，變量分離zz2zddzdx，兩邊積分的（z3)(z2)3x5c,2dx2xux27x2u1xy3x)7(y3即（xc2x)3，又因?yàn)閥33x或y32x包含在通解中c當(dāng)0時(shí)。故原方程35，這是齊次方程，令的解為(y3x)7(y32x)3x15c3dy2x33xyxxyyy322317.dxdyx(2x23y21);;;;;dy22x23y21解：原方程化為dxy(3x22y21)dx23x22y21y2u,;;;;;x2v;;;;;;;則du2v3u1dv3v2u1.......1()令2v3u10的解為（1，1）；令Zv1，，Yu1，3v2u10方程組23y2z3y0，，，，從而方程（1）化為dydzz3z2y032yz則有dt23tdz32t22t2，，zdt，...........(2)dz32tty，，則有zdytzdt，，所以tdzz令當(dāng)dz22t20時(shí)，，即t1，是方程(2)的解。得y2x22或y2x2是原方程的解當(dāng)22t0時(shí)，，分離變量得32t22t2dt1dz兩邊積分的y2x2(y2x22)5c2z另外y2x22，或yxx(yx2)，包含在其通解中，故原方程的解為yc2222225xdy18.證明方程f(xy)經(jīng)變換xyu可化為變量分離方程，并由此求解下列方程ydx（1）.y(1x2y2)dxxdy(2).xdy2xy222x2y2ydxdydydydu證明：因?yàn)閤yu,關(guān)于x求導(dǎo)導(dǎo)得yx,所以xydxdxdxdx得：1du1f(u),ydxdudxy(f(u)1)x(f(u)1)1(uf(u)u)ux故此方程為此方程為變程。xdyxy解(1):當(dāng)x0或y0是原方程的解，當(dāng)xy0s時(shí)，方程化為122ydxdu1udu1dx令xyu,則方程化為(2u),變量分離得：3udxx2ux3yu22xx2兩邊同時(shí)積分得：c,即c,y0也包含在此通解中。24uyx2222y2x故原方程的解為原c,x0.2yx222du12u解(2)令xyu，則原方程化為(u2u2u)1x24uudxx22分離變量得2u24udu1dx，兩邊積分得lnyx2y2c，這也就是方程的解。xx4xf(x)dt1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式19.已知f(x)0.y1y'y2f(x)dt1y兩邊求導(dǎo)得x解：設(shè)f(x)=y,則原方程化為01;;;;;;;;;;;;兩邊積分得xc11;;;;;所以y1y3dy;;;;;;;;;;dxdxy3dy2y22xcf(x)dt1y1x把y代入2xc01dt2xc;;;;;;;;;;(2xcc)2xc得c0,所以y12xx2tc0x(t)x(s)x(t+s)=1x(t)x(s)的函數(shù)20.求具有性質(zhì)x(t),已知x’(0)存在。x(0)x(0)2x(0)解：令t=s=0x(0)=1x(0)=1x(0)x(0)若x(0)0得x2=-1矛盾。limx(tt)x(t)limt[1x(t)x(t)x(t)(1x2(t))x'(0)(1x(t)2t所以x(0)=0.x’(t)=)dx(t)dx(t)x'(0)(1x(t))x'(0)dt1x2(t)2dt兩邊積分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]當(dāng)t=0時(shí)x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]習(xí)題2.2求下列方程的解dy1．dx=ysinxsinxdxdxc)dx解：y=e(e1x(sinxcosx)+c]2[-e=ex1=cex-2(sinxcosx)是原方程的解。dxdt2．+3x=e2tdxdt解：原方程可化為：=-3x+e2t3dtdtc)3dt所以：x=e(e2te15=e3t(e5t+c)15=ce3t+e2t是原方程的解。ds1dt3．=-scost+2sin2t12sin2t3dtedtc)costdt解：s=e(sintcostesintdtc)=esint(=esint(sintesintesintc)=cesintsint1是原方程的解。dyxyexxn4．dxn，n為常數(shù).dyxyexxndxn可化為：解：原方程nnyedx(exxnedxdxc)xxxn(exc)是原方程的解.dy12xy15．dx+x2=0dy12xy1dx解：原方程可化為：=-x22x112xyedx(ex2dxdxc)x2(elnx21xdxc)1e(lnx2)21=x2(1cex)是原方程的解.dyx4x3xy2dx6．dyx4x3xy2dx解：x3yy2=+xydyxdudxyuxxu令則dx=uuxdux因此：dx=u2du1dxu2u2dudx1u3xc3u33xxc（*）yy3xcx3是原方程的解.xu將帶入3（*）中得：4dy2y(x1)37.dxx1dy2y(x1)3解：dxx12P(x)x1,Q(x)(x1)32P(x)dxedx(x1)2x1e方程的通解為：y=eP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)1(x1)2=(x+1)(2*(x+1)dx+c)3=(x+1)(2(x+1)dx+c)=(x+1)2((x1)2c)2即：2y=c(x+1)2+(x+1)為方程的通解。4dydxxy3y8.=dxx+y1解：3xy2dyyy則P(y)=1,Q(y)y2y1eP(y)dyeydyy方程的通解為：Q(y)dyc)P(y)dyx=eeP(y)dy(1=y(*y2dyc)yy3=cy2y3即x=+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。29.dyayx1,a為常數(shù)dxxxx1解：P（x)a,Q(x)xdyx10.xyx3dxeP(x)dxexdxxaady1解：yx3方程的通解為：y=eP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)dxx11x+1P(x),Q(x)x3=xa(dx+c)xxax當(dāng)a0時(shí)，方程的通解為eP(x)dxex11dxxy=x+ln/x/+c方程的通解為：當(dāng)a1時(shí)，方程的通解為y=cx+xln/x/-1當(dāng)a0，1時(shí)，方程的通解為x1y=eP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)1=(x*x3dxc)xy=cx+-a1-aax3c=4x方程的通解為：y=xc4x3dy11.xyx3y3dxdy解：xyx3y3dx兩邊除以y3dyxy2x3y3dxdy-22(xy2x3)dx令y2zdz2(xzx3)dxP(x)2x,Q(x)2x3epxdxe2xdxex2方程的通解為：z=epxdx(epxdxQ(x)dxc)=ex2(ex2(2x3)dxc)=x2cex21故方程的通解為：y2(x2cex21)1,且y0也是方程的解。clnx12412.(ylnx2)ydxxdyx24dylnxy22y解：dxxx兩邊除以y2dylnx2y1y2dxxxdy1lnx2y1dxxx令yz1dz2zlnxdxxx2lnxP(x),Q(x)xx方程的通解為：zeP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)1(lnx)dxc))dxc)x2(xlnxx22ze(e(dxdxxxx2cx24lnx124方程的通解為:y(cx2lnx1)1,且y=0也是解。244132xydy(2y2x)dxdy2y2xy1x2ydx2xy這是n=-1時(shí)的伯努利方程。1y兩邊同除以，dyy12ydxx2dz2ydxdydxyz2令dz2y212z1xdxx2xP(x)=Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式2x2zedx(edxdxc)xxx2c=y2xx2cdyey3xx214dxdy(ey)23xeyeye兩邊同乘以ydxx2dzedyyezdxdx令ydzz23xz3zzxx2這是n=2時(shí)的伯努利方程。2dxx21dz31z2dxxzx21T令zz兩邊同除以2dT1dzdT3T1x2dxz2dxdxx31P（x）=xQ(x)=x2由一階線性方程的求解公式133Tedx(edxdxc)xxx23(1x2c)2x==1x1cx32z(1x1cx3)1ey(1x1cx3)1221x2eyceyx321x2x3eyc2dydxxyx3y3115dxyxy3x3dy這是n=3時(shí)的伯努利方程。1dxyy3兩邊同除以x3x3dyx2dz2xdxdy3x2zdy令2ydz2y3=2yz2y3P(y)=-2yQ(y)=2y3dyx2由一階線性方程的求解公式ze2ydy(2y3e2ydydyc)y2(2y3ey2dyc)e==y21cey2x2(y21cey2)1x2ey2(y21cey2)ey2ey2(1x2x2y2)cx2xy(t)dt16y=ex+0dyexy(x)dxdyyexdxP(x)=1Q(x)=ex由一階線性方程的求解公式y(tǒng)e1dx(ee1dxdxc)xex(eexdxc)x==ex(xc)ex(xc)exxex(xc)dx0c=1y=ex(xc)'(t)于∞<t<∞上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)設(shè)函數(shù)試求此函數(shù)。(0)2故(0)0或(0)1令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=(0)0時(shí)(t)(t0)(t)(0)即(t)0（1）當(dāng)t(∞,∞)'(t)lim(tt)(t)t(t)(t)(t)tlim=t0(2)當(dāng)(0)1時(shí)t0(t)((t)1)tlim=t0(t0)(0)tlim=t0(t)=(0)(t)'dd(0)(t)'(0)dt積分ce'變量分離得'(0)tdt于是(0)11由于，即t=0時(shí)1=ce0c=1故(t)e'(0)t20.試證：（1）一階非齊線性方程（2.28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2.3）之解；（2）若yy(x)是（2.3）的非零解，而yy(x)是（2.28）的解，則方程（2.28）的通解可表為ycy(x)y(x)，c其中為任意常數(shù).（3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.dyP(x)yQ(x)證明：dx（2.28）dydxP(x)y（2.3）yy是（2.28）的任意兩個(gè)解1設(shè)，2dy1P(x)yQ(x)則dx（1）1dy2P(x)yQ(x)2dx（2）（1）-（2）得dyyP(x)(yy)1dx212yyy是滿足方程（2.3）即12所以，命題成立。由題意得：dy(x)P(x)ydx（3）dy(x)P(x)y(x)Q(x)dx（4）1）先證ycyy是（2.28）的一個(gè)解。c34于是得cdydycP(x)yP(x)yQ(x)dxdxd(cyy)P(x)(cyy)Q(x)dx故ycyy是（2.28）的一個(gè)解。cyy2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成的形式y(tǒng)設(shè)1是(2.28)的一個(gè)解dy1P(x)yQ(x)則dx（4’）1于是（4’）-（4）得d(yy)P(x)(yy)1dx1yyceP(x)dxcy從而1即y1ycy所以，命題成立。設(shè)yy4，是（2.3）的任意兩個(gè)解3dy3P(x)y則dx3（5）dy4P(x)ydx4（6）cdy3cP(x)y3c于是（5）得dxd(cy)P(x)(cy)3dxc其中為任意常數(shù)3即也就是ycy3滿足方程（2.3）（5）（6）得dydy34P(x)yP(x)ydxdx34d(yy)P(x)(yy)3dx434即也就是yyy滿足方程（2.3）34所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)；解：設(shè)p(x,y)為曲線上的任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)曲線的切線方程為pYyy'(Xx)(xy,0),(0,yxy')y'從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為xy即橫截距為y'，縱截距為yxy'。由題意得：（5）yxy'x2方程變形為dyxyx2dxdy1yxdxx1(1)dxxyedx((x)edxc)x于是elnx((x)elnxdxc)x((x)x1dxc)1x((x)dxc)xx(xc)x2cxyx2cx。所以，方程的通解為yxy'xy2（6）方程變形為dyyxxdx22dy1y1dx2x212x(1)dx2x1yedx(()e于是dxc)2111lnxe2lnx(()edxc)22121x2(()x1dxc)2x2((1x2)dxc)11211x2(x2c)xcx121所以，方程的通解為yxcx2。22．求解下列方程。(x1)y'xy02（1）y'xy1yx11x21解：2yex1x21ex(dxc)dxxx2121111/x21/2[dxc]x211/x21/2=dx1/x21/2[c]3/x21/2==c/1x2/x（2）y'sinxcosxysin3x0dyysin2xdxsinxcosxcosx1sin2xP(x)=sinxcosxQ(x)=cosx由一階線性方程的求解公式1sinxcosx1sin2xyedx(edxdxc)sinxcosxcosxsinx(sinxdxc)=cosxsinx(cosxc)=cosx=tgxcsinx習(xí)題2.31、驗(yàn)證下列方程是恰當(dāng)方程，并求出方程的解。1.(x2y)dx(x2y)dy0MyNx，=1.1解：MNyx則所以此方程是恰當(dāng)方程。xdx2ydy(ydxxdy)02湊微分，1x3xyy2C3得：2．(y3x2)dx(4yx)dy0M解：yNx11，.MNyx則.所以此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，ydxxdy3x2dx4ydy0得x3xy2y2Cy]dx[11x22[]dy03．(xy)2xy(xy)2M2y(xy)22y2(xy)(1)2xy解：y(xy)(xy)34N2x(xy)22x2(xy)2xy(xy)3(xy)4xMNxy則.因此此方程是恰當(dāng)方程。uy1x(xy)2x（1）2u1x2yy(xy)2（2）ux對(duì)（1）做的積分，則dxdx(y)y12(xy)2xy2xylnx(y)（=3）u(1)y2(xy)2yd(y)yy對(duì)（3）做的積分，則(xy)2dy2xyyd(y)(xy)22dy=1x2=y(xy)2d(y)1xy22xy1x22xyy122(xy)21dyy(xy)2y(xy)2y則1(y)(1)dylnyyyyyy2xyy2lnxlnyylnyxylnxxy2uxyxxyyxyln故此方程的通解為xxyC4、2(3xy22x3)dx3(2x2yy2)dy0My12xyN12xy.x，解：MNyx.則此方程為恰當(dāng)方程。6xydx4x3dx6x2ydy3y2dy02湊微分，3d(x2y2)d(x4)d(x3)0得：x43x2y2y3Cx1x1xyyx1yxyyy2yy2)dy=0x2x5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+x1x1xyyx1yxyyy2yy2x2x解：M=sin-cos+1N=cos-sin+Mxx1x1yyyy=-sin-y2yy3yx2cosx+x3sinxcos-Nx11yyxyxxxyy2yy3x2xsinx3=-sin-cos-cos+MyNx所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程x11xxyyx1yxyyy2yy2dy=0x2x因?yàn)閟indx-cosdx+dx+cosdy-sindy+xy1yyxd(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0xy1yxy所以，d(sin-cos+x-)=0xy1yxy故所求的解為sin-cos+x-=C求下列方程的解：6．2x(yex2-1)dx+ex2dy=0MNyexex2x2,=2x解：=2xMyNx所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程又2xyex2dx-2xdx+ex2dy=0ex2-x2)=0所以，d(yex2-x2=C故所求的解為y7.(e+3y)dx+2xydy=0x2解：exdx+3y2dx+2xydy=0exx2dx+3x2ydx+2xydy=023所以，de(x-2x+2)+d(xy)=0x232即d[e(x-2x+2)+xy]=0x232故方程的解為e(x-2x+2)+xy=Cx2328.2xydx+(x解：2xydx+x22+1)dy=0dy+dy=0d(xy)+dy=02即d(xy+y)=02故方程的解為xy+y=C29、ydxxdyxydx22ydxxdydxxyxy解：兩邊同除以2得222xdarctgdx即，yxargtgxcy故方程的通解為10、ydxxydy03ydxxdyydyy2解：方程可化為：xdydyy即，x1y2cy222xyyc故方程的通解為：即：同時(shí)，y=0也是方程的解。y1xydxxdy011、ydxxdy1xydx可化為：解：方程dxydxdxy1xydx1xy即：ln1xyxc故方程的通解為：yxdxxdy0212、ydxxdydxx解：方程可化為：2yddxxxycx即：yxcx故方程的通解為：x2ydxxdy013、MN解：這里Mx2y,Nx，yxMNyx11有積分因子exdxxNx方程xx2ydxx2dy0是恰當(dāng)方程兩邊乘以得：方程故方程的通解為：x2xydxxx2xydxdyc222yx3x3yc3x3x2yc3即：xcosxysinxydxxcosxydy014、解：這里Mxcosxysinxy,NxcosxyMNcosxyxsinxyyx因?yàn)楣史匠痰耐ń鉃椋簓xcosxysinxydxdycxcosxysinxydxxcosxy即：xsinxycycosxxsinxdxysinxxcosxdyo15、MN解：這里Mycosxxsinx,NysinxxcosxyxMNyx1dy方程有積分因子：eMey兩邊乘以得：方程eyycosxxsinxdxeysinxxcosxdy0為恰當(dāng)方程ycossinycossineyxxxdxdyceyxxxdxNyy故通解為：即：eysinxy1eycosxc16、x4ydx2xdyy3ydx5xdy03解：兩邊同乘以x2y得：4x3y2dx2x4ydy3x2y5dx5x3ydy0dxydxy04235故方程的通解為：x4y2x3y5c17、試導(dǎo)出方程M(X,Y)dxN(X,Y)dy0具有形為(xy)和(xy)的積分因子的充要條件。解：若方程具有(xy)為積分因子，yx(M)(N)(xy)是連續(xù)可導(dǎo)）（MyNxMyNxMyNx(MN)yx(1)令zxyddzdxdzxdz，ydz.ddNMMN()dzdzxy，dNM(MN)()xy，dzNMdxydz(xy)dzMN，NMxy(xy)xyMN方程有積分因子的充要條件是：是的函數(shù)，(xy)e(z)dz此時(shí)，積分因子為.(2)令zxyddydzydzdyxdzxzxdzdz，ddNMxyMxNy()dzdzdNM(MxNy)(dz)xyNMdxyMxNyNMx(xy)eMxNyydz此時(shí)的積分因子為ff(x,y)ydyf(x,y)dx0x為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.18.設(shè)及連續(xù),試證方程dyP(x)yQ(x)dx證:必要性若該方程為線性方程,則有,(x)e(x)P(x)dxx,只與有關(guān).此方程有積分因子(x)x若該方程有只與有關(guān)的積分因子.充分性(x)dy(x)f(x,y)dx0為恰當(dāng)方程,則從而ydx,y(x)((x)f(x,y))d(x)f(x),f(x)dyQ(x)(x)yQ(x)P(x)yQ(x)(x)(x).(x)(x)P(x)dy(P(x)yQ(x))dx0.于是方程可化為其中即方程為一階線性方程.20.設(shè)函數(shù)f(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u)g(u),\，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u(píng)得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0fgyfyx(fg)xyxyyuyffufyy=uf+uyy+yfy=xy(fg)+xy(fg)-yfx2y2(fg)2則yfgyfgygxyfxygyfxyyxyyxy(fg)2x(fg)2==gffxygxy(fg)2=gy(fg)xyfgxxyxxy(fg)2xxuxgx而=ug+uxx+xgx=gugxy(fg)+xy(fg)-xg22xfxgyxxyxgfxygffxyxxygxyxy(fg)2(fg)2==uyfyuxgx，所以u(píng)是方程得一個(gè)積分因子故=MN得函數(shù)M（x,y）N(x,y)滿足關(guān)系yx=（2.43）中21．假設(shè)方程N(yùn)f(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程（2.43）f(x)dxg(y)dy+)有積分因子u=exp(證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(uM)(uN)MuNuuy+My=ux+Nxyx即證Mu(y-x)=Nx-Myu(y-)=NeuMNuNxf(x)dxg(y)dyf(x)Mg(y)u(yNf(x)dxg(y)dyf(x)dxg(y)dy(Nf(x)-Mg(y))x-Me-)=e由已知條件上式恒成立，故原命題得證。22、求出伯努利方程的積分因子.PxyQxyn,yo;dydx解：已知伯努利方程為：兩邊同乘以yn，令zyn，dz1nPxz1nQx,dx線性方程有積分因子：enPxdxen11Pxdx，故原方程的積分因子為：ePxdxnPxdxen11，證畢！x,y是方程Mx,ydxNx,ydy0的積分因子，Ux,y23、設(shè)從而求得可微函數(shù)，~x,ydUMdxNdy.Mx,ydxNx,ydy0的積分因子的充要條件是使得試證也是方程~x,ytU,其中t是的可微函數(shù)。uM~yyMMuMuyyMuMuN證明：若~u，則yuN~NuNuMxNxxM~MNuMuyy又~Mx,ydxNx,ydy0的一個(gè)積分因子。即為24、設(shè)常數(shù)，求證12（任cx,y,x,y是方程Mx,ydxNx,ydy0的兩個(gè)積分因子，且2121意常數(shù)）是方程Mx,ydxNx,ydy0的通解。Mx,ydxNx,ydy0的積分因子,證明：因?yàn)槭欠匠?1MdxNdyoi所以ii1,2為恰當(dāng)方程MMNiNiixyyxi1,2即，1下面只需證的全微分沿方程恒為零2事實(shí)上：xdx2dydx121dyxyy211d222NyNy1dxMdx2dxMdx22xx2212dxMNNMN2y112xyx2122dxNNMM0Nyxyx121222cc11習(xí)題2.4即當(dāng)時(shí)，是方程的解。證畢！22求解下列方程1、xy1y31dyyp1t，則x1t3tt23tdx解：令，ypdxcdttc3t2dtc3t22tc132t2從而，xtt23y3t22tc于是求得方程參數(shù)形式得通解為2.y3x31y02、dyxt31tt21t，yptx，則txx1tx0，即dx33解：令dt11ypdxctt22ctt從而t121tdtc3t221tt4dtct2t51t2c2152t，1xt2tyt51t2c2152t于是求得方程參數(shù)形式得通解為.3、yy2eydyypyp2ep，dx解：令，則1xdpec2pp從而12pepp2epdpcp2epedpcpp=1pepc，x1pecpyy2ep于是求得方程參數(shù)形式的通解為,另外，y=0也是方程的解.4、y1y2a2a,為常數(shù)2ay1tg2asec2dyytg解：令dx2acos22，則，11xdycd2acosc2ptg從而1cos24acos2dc4ac2a2sin2c，xa2sin2cy2acos2于是求得方程參數(shù)形式的通解為.5、x2y21dyypcost解：令dx，則x1cos2tsint，ycostdsintc從而1cos2tdtccos2tdtc21t1sin2tc24，xsinty1t1sin2tc24于是求得方程參數(shù)形式的通解為.6、y2y12y2yt1t，解：令2yyt，則1yyt1，得1dtdyy2ytdyt1tdttt21t21212dxdtdt1t21t2tt2t所以從而，11xdtcctt2，1xctyt1于是求得方程參數(shù)形式的通解為，t1習(xí)題2.5yxc因此方程的通解為xc.2．ydxxdyx2ydy解：兩邊同除以x2，得：ydxxdyydyx2dy1y2cx2y1y2c即x2dydxy4．xxyx解：兩邊同除以，得yxdydxyx1yu令xdyux則dxdudxudyuxdu1u即dxdx1c1lny2u得到2，2xyc1lny2即y0另外也是方程的解。xy1ydxxdy06．ydxxdyxydx0解：ydxxdyxdxy2d1x2cxy2得到x1x2cy2即y0另外也是方程的解。dyyy2dxxx38.yux解：令dyuxduu1u2則：dxdxxdu1xu2dxx即dudxu2x2得到11c故ux1c1yxx2即y0另外也是方程的解。dydy2x1dxdx10．dydxp解：令x1p2即pdypdx而故兩邊積分得到y(tǒng)1p2lnpc21p2xy1p2lnpc，因此原方程的解為p。2dyey1xexdx12.dy1xexydx解：xyu令1dydu則dxdxdydu1xeu1dxdxduxdxe即ueu1x2c2故方程的解為exy1x2c2dyxy1dx14．解：令xy1u1dydudxdx則dydu1u那么dxdxduu1dxlnu1xc求得：lnxy1xc為故方程的解或可寫為xy1cexdyx112eydx16．eyu則ylnu解：令x11du2u1udx1u2u1du1x1dx2u11cx1`uexy2xcy為即方程的解18．4x2y2dx2xy1dy03解：將方程變形后得dy4x2y2dx2x3y1dx2x3y1x1dy4xy2y4x2y222x2dxx3同除以x2得：1dy2y4y2dz3z3令zx3則dy2y4y233zy2cy22x3y2cy233即原方程的解2為dydy)22y()4x0dx19.X(dxdyx()24xdxdy2()dxdydxdy)x()24x,ydx解：方程可化為2y(令dyp,則yxp24xxp2x,兩邊對(duì)x求導(dǎo)得p22dxppdxpxdp22xdpdx(p2)(2p2p2p2),()dx(x2x)dp0,(p34p)dx(xp24x)dp0x2xdpp22p2dx2p2p2p(p24)dxx(p24)dp0p24或pdxxdp0,當(dāng)p24時(shí)y2x,當(dāng)pdxxdp0時(shí),xx24x24xpx,ycc2,2ycc2x24.c22x2cc20.y21(dy)21dx1dydysinsincos21sindcos2解：令dypsin,則y21(sin）1，ycos,dxd2dxpxdcos2csec2dctgc所以方程的解為y2（xc)21,另外由p0得y1也是解。21.(1ey)dxey(1x)dy0xxy解：令xz則xyz,dxzydz方程為(1ez)dx(z1)ezdy,ydydydx(z1)ezzezzzezzzezzydz,1edyzezdyyzdz1ez1ez1ezdylnzezlny,y(zez)c,y(xey)c所以方程的解為xyeycxxyy23x22.2xdx2dy0yy43解：2xydx(y23x2)dy0MN2xy2xyMy2x,Nx6x,yx8x4所以方程有積分因子ey4ydyy43x2y4)dy0,d2d0所以方程的解為x21c即x2y2cy3x12xy3dx(y2yyyy3323.ydx(1xy2)dy0ydxxdy1y2x1y2解：ydxxdy(1y2)dy,兩邊同除以y2得dy,ddyyy2yy22所以方程的解為x1yc即（x1)y(yc),另外y0也是解。yy24.yx(x2y2)xdy0解：方程可化為ydxxdyxxx2xdx,darctgxdx所以方程的解為arctgc.x2y2yy225.dyedxx0dydx解：令dypt,xtet由dypdx得yt(1et)dtct2ettetcdx225.dyedxx0dydx解：令pt則xtet由dypdx得yt(1et)dtct2ettetcdydx2所以方程的解為：xtet，yt(1et)dtct2ettetc2y326（.2xyx2y)dx(x2y2)dy03MN解：2xx2y2,N2x,Myx1所以方程有積分因子ex方程兩邊同乘ex得yxxy22d3exx2ydexy30所以方程的解為：3exx2yexy3cdy2x3y427.dx4x6y5du23dy23u42u5，則u2x3ydx解：令，dxdu7u22dx2u5，7u222u5dudx，19114u7=dx2227，229ln2x3y14(3y3x)c72兩邊積分得即為方程的通解。222x3y07u220另外，，即7也是方程的解。dyxy2x2y(y2x2)dx28.x解：兩邊同除以，方程可化為：dyy2xy(y2x2)dxxyux令，則duxuu2ux2(u2x2x2)dxdu2x3(u3u)即dx，duu3u2x3dx12(u1)2(u1)u11()du2x3dx11cex4u兩邊積分得2即x2y2cy2ex4為方程的解。dyyexy29.dxxylnu解：令exyu，則，xxdulnudyudxdxx2，1dulnulnuuuxdxx2x2那么duxdx即u21x2exyc2兩邊積分得即為方程的解。dy4x32xy32x30.dx3x2y26y53y2解：方程可化為(4x32xy32x)dx(3x2y26y53y2)dy0d(x4x2)(y3dx2x2dy3)d(y6y3)0x4x2y6y3x2y3c兩邊積分得即x4x6c(x21)(y31)為方程的解。31.y2(xdxydy)x(ydxxdy)0可化為y2xdxy3dyxydxx2dy0解：方程xdxydxx(ydxxdy)0y2y2兩邊同除以，得1d(x2y2)xdx0dy即2令xcos，ysin，則dcosdctg0dsind0sin2即1csin兩邊積分得c1將siny代入得，y2(y1)2c2y2即故(x2y2)(y21)2c2y2dy1xy32.dx1x3y30dy1xy3dx1x3y可化為解：方程d(xy)xy(x2y2)dx1xy1兩邊同加上，得3（*）再由d(xy)xdyydx，可知d(xy)dy(xy)(x2y21)1x3yxydxdx（**）d(xy)xy(xy)d(xy)xy122將（*）/（**）得du即dvv21uvduvuv21dv整理得v21cu兩邊積分得即c(xy)x2y21xy0另外，也是方程的解。求一曲線，使其切線在縱軸上之截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解：設(shè)p(x,y)pyl為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在點(diǎn)的切線在軸上的截距為：yxdydxyxdyxdx由題意得dy1y1即dxx也即ydxxdydxydxxdydx兩邊同除以x2x2x，得d(y)dlnxx即即ycxxlnx為方程的解。v3米/秒。確定發(fā)動(dòng)機(jī)摩托艇以5米/秒的速度在靜水運(yùn)動(dòng)，全速時(shí)停止了發(fā)動(dòng)機(jī)，過(guò)了20秒鐘后，艇的速度減至1停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運(yùn)動(dòng)速度成正比例。dvdtFmam解：Fkv，由此，又1dvmkvdt1dvkv即dtkk1m其中，解之得lnvktct