福建省福州市2023年高中畢業(yè)班5月質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)(理)試題(Word版)

，b=，定義函數(shù)

〔Ⅰ〕求函數(shù)的值域；

〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為和，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△的面積．17.(本小題總分值13分)

某校高三2班有48名學(xué)生進(jìn)行了一場(chǎng)投籃測(cè)試，其中男生28人，女生20人．為了了解其投籃成績(jī)，甲、乙兩人分別對(duì)全班的學(xué)生進(jìn)行編號(hào)〔1~48號(hào)〕，并以不同的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)抽樣，其中一人用的是系統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣．假設(shè)此次投籃考試的成績(jī)大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不優(yōu)秀，以下是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù)：

編號(hào)性別投籃成績(jī)3男907女6011男7515男8019女8523男8027男9531男編號(hào)性別投籃成績(jī)3男907女6011男7515男8019女8523男8027男9531男8035男8039女6043男7547女55甲抽取的樣本數(shù)據(jù)編號(hào)性別投籃成績(jī)1男958男8510男8517男8023男6024男9027男8031女8035女6537女3541女6046女75乙抽取的樣本數(shù)據(jù)優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男女合計(jì)12下面的臨界值表供參考：50.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828〔參考公式：，其中〕第18題圖18.(本小題總分值13分)

如圖，多面體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，且．

〔Ⅰ〕求多面體的體積；

〔Ⅱ〕求直線與平面所成角的正弦值；第18題圖〔Ⅲ〕記線段BC的中點(diǎn)為K，在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)K作一條直線與平面平行，要求保存作圖痕跡，但不要求證明．19.(本小題總分值13分)

，曲線上任意一點(diǎn)分別與點(diǎn)、連線的斜率的乘積為．

〔Ⅰ〕求曲線的方程；

〔Ⅱ〕設(shè)直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，假設(shè)曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，求證：．20.(本小題總分值14分)

函數(shù)．

〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；

〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

〔Ⅲ〕證明不等式對(duì)任意成立．此題有(1)．(2)．(3)三個(gè)選做題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，總分值14分．如果多做，那么按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．

〔1〕〔本小題總分值7分〕選修4-2：矩陣與變換

線性變換：對(duì)應(yīng)的矩陣為，向量β．

〔Ⅰ〕求矩陣的逆矩陣；

〔Ⅱ〕假設(shè)向量α在作用下變?yōu)橄蛄喀拢笙蛄喀粒?/p>

(2)〔本小題總分值7分〕選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為．現(xiàn)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系．

〔Ⅰ〕求圓的直角坐標(biāo)方程；

〔Ⅱ〕假設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的最大值，并寫(xiě)出取得最大值時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．〔3〕〔本小題總分值7分〕選修4-5：不等式選講

不等式的解集為．

〔Ⅰ〕求的值；

〔Ⅱ〕假設(shè)，求的取值范圍．2023年福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)〔理科〕試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)那么．二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼局部的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼局部的給分，但不得超過(guò)該局部正確解容許給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼局部的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本大題考查根底知識(shí)和根本運(yùn)算．每題5分，共50分．1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.A8.C9.D10.D二、填空題：本大題考查根底知識(shí)和根本運(yùn)算．每題4分，共20分．11． 12．3 13．②③④ 14． 15．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16．此題考查平面向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、解三角形等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，總分值13分．解：〔Ⅰ〕依題意得…………ks5u……1分…………………3分所以函數(shù)的值域?yàn)椋?分〔Ⅱ〕方法一由〔Ⅰ〕知，，，………………6分從而.………………7分∴，……………9分根據(jù)余弦定理得.∴，…………………10分△的面積為.…………13分方法二同方法一得：.…………7分那么.………………8分.……………10分所以，△的面積為.……………13分方法三同方法一得：.…………7分直線的方程為，即.………………8分點(diǎn)到直線的距離為.……10分又因?yàn)?，……ks5u…11分所以△的面積為.…13分17．此題考查抽樣、獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列與期望等根底知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查必然與或然思想等，總分值13分．

解：〔Ⅰ〕由甲抽取的樣本數(shù)據(jù)可知，投籃成績(jī)優(yōu)秀的有7人，投籃成績(jī)不優(yōu)秀的有5人．X的所有可能取值為．……………………1分所以，，．…4分故的分布列為…………5分∴．……6分〔Ⅱ〕設(shè)投籃成績(jī)與性別無(wú)關(guān)，由乙抽取的樣本數(shù)據(jù)，得列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男617女145合計(jì)7512…………7分的觀測(cè)值3.841，……………9分所以有95%以上的把握認(rèn)為投籃成績(jī)與性別有關(guān)．……10分

〔Ⅲ〕甲用的是系統(tǒng)抽樣，乙用的是分層抽樣． ……11分

由〔Ⅱ〕的結(jié)論知，投籃成績(jī)與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出投籃成績(jī)與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統(tǒng)抽樣方法更優(yōu)．……13分18．本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關(guān)系等根底知識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力．總分值13分．〔Ⅰ〕如圖，連接ED，∵底面且，∴底面,∴,∵,∴面,1分∴,2分,3分∴多面體的體積．5分〔Ⅱ〕以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為軸，AD所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),所以7分設(shè)平面ECF的法向量為，那么得：ks5u…取y=1,得平面的一個(gè)法向量為9分設(shè)直線與平面所成角為，所以11分〔Ⅲ〕取線段CD的中點(diǎn)；連接，直線即為所求．12分圖上有正確的作圖痕跡………………13分19．此題主要考查直線、橢圓等根底知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等，總分值13分．

解：〔Ⅰ〕設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為．

依題意，且，………………３分

整理得．所以，曲線的方程為：，．………5分

〔Ⅱ〕由得，

， ……7分

由條件可知，，所以

，

從而，即． ………………13分20．〔本小題總分值14分〕本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等根底知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想．總分值14分．解：．

〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，，切線的斜率，

所以切線方程為，即． ……3分

〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋灾灰疾榈姆?hào)．

由，得，

當(dāng)時(shí)，，從而，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由解得． ……6分

當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：

函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增． ……9分

〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

所以，ks5u…

即對(duì)任意成立． ……11分

取，，

得，即，．……13分

將上述n個(gè)不等式求和,得到:，

即不等式對(duì)任意成立． ……14分21．〔1〕選修4-2：矩陣與變換本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．總分值7分．解：〔Ⅰ〕依題意，所以，所以．3分〔Ⅱ〕由，得．7分〔2〕選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

本小題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，總分值7分．解：〔Ⅰ〕由，得，所以圓的直角坐標(biāo)方程為，

即．………………3分

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得圓C的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕.

所以，………5分

因此當(dāng)，時(shí)，取得最大值為，

且當(dāng)取得最大值時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為．…………