第二章時(shí)頻分析與連續(xù)小波變換

第二章時(shí)頻分析與連續(xù)小波變換第1頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一時(shí)頻聯(lián)姻(TimeMeetsFrequency)傅里葉分析回顧聯(lián)合時(shí)頻分析的基本原理短時(shí)傅里葉分析:STFT連續(xù)小波變換:CWT時(shí)頻分析的應(yīng)用

瞬時(shí)頻率基于短時(shí)傅里葉脊和小波脊的瞬時(shí)頻率檢測(cè)本章小結(jié)第2頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、傅里葉分析回顧概述定義性質(zhì)實(shí)現(xiàn)第3頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一傅里葉分析可以分析信號(hào)中的“頻率成分”。它是一個(gè)全局的分析。它有很多好的性質(zhì)：如其所選擇的基本分析單元是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，可將其方便地用于分析線性時(shí)不變系統(tǒng)-利用傅里葉分析可以將時(shí)域卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化成頻域相乘運(yùn)算。傅里葉分析數(shù)字實(shí)現(xiàn)時(shí)常常采用FFT進(jìn)行快速實(shí)現(xiàn)。

傅里葉分析概述第4頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

傅里葉變換(分析)的定義根據(jù)信號(hào)的不同，傅里葉變換有四種定義：CTFT:連續(xù)時(shí)間傅里葉變換CFS:連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)DTFT：離散時(shí)間傅里葉變換DFS：離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)第5頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一CTFT:連續(xù)時(shí)間傅里葉變換適用信號(hào):連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換公式:第6頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一CFS:連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)適用信號(hào):連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)變換公式:

第7頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一DTFT：離散時(shí)間傅里葉變換適用信號(hào):離散時(shí)間信號(hào)變換公式:第8頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一DFS：離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)適用信號(hào):離散時(shí)間周期信號(hào)變換公式:第9頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四種傅里葉變換的關(guān)系:第10頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一信號(hào)時(shí)域和頻域特性之間關(guān)系：第11頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本課程中傅里葉變換的記號(hào):第12頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一連續(xù)時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)第13頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一從頻率分析角度看： 傅里葉變換不能提供頻率隨時(shí)間局部變化的規(guī)律。從信號(hào)奇異性分析角度看:傅里葉變換不容易提供信號(hào)局部奇異性信息：不容易從傅里葉變換系數(shù)在高頻的分布規(guī)律分析出原始信號(hào)在特定點(diǎn)上的奇異性（局部的變化）…..然而,小波變換可以做到這一點(diǎn)。傅里葉變換在高頻處的衰減性依賴(lài)于信號(hào)的整體奇異性。

傅里葉變換的重要缺陷:難于獲得信號(hào)的“局部變化”規(guī)律第14頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一傅里葉變換的衰減性與信號(hào)的全局正則性之間的關(guān)系：第15頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1965年庫(kù)利和圖基提出FFT算法FFT不是一種新的傅里葉變換,它僅僅是計(jì)算DFS的一種快速算法.FFT的出現(xiàn)極大地促進(jìn)了傅里葉變換在工程中的應(yīng)用.傅里葉變換的快速算法：FFT第16頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、聯(lián)合時(shí)頻分析聯(lián)合時(shí)頻分析引入的動(dòng)機(jī)：具有時(shí)變頻率結(jié)構(gòu)的信號(hào)在自然界中隨處可見(jiàn)：語(yǔ)音/音頻信號(hào)顏色變化的光線雷達(dá)信號(hào)地震信號(hào)……第17頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1946年,DennisGabor(1971年Nobel獎(jiǎng)獲得者):“迄今為止，通信理論的基礎(chǔ)一直是信號(hào)分析的兩種方法組成的：一種將信號(hào)號(hào)描述成時(shí)間的函數(shù)，另一種將信號(hào)描述成頻率的函數(shù)（Fourier分析）。這兩種方法都是理想化的……。然而，我們每一天的經(jīng)歷－特別是我們的聽(tīng)覺(jué)－卻一直是用時(shí)間和頻率來(lái)描述的?！钡?8頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為了分析信號(hào)中時(shí)變的頻率結(jié)構(gòu)，需要引入一些時(shí)頻分析的新工具：短時(shí)傅里葉變換和小波變換就是其中的代表。短時(shí)傅里葉變換和小波變換的差別在于采用了不同的時(shí)頻原子不同時(shí)頻原子具有不同的時(shí)頻特性。第19頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一時(shí)頻原子時(shí)頻原子的基本概念線性時(shí)頻變換的定義時(shí)頻原子的時(shí)頻局部化描述Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理時(shí)頻原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)-Heisenberg-box時(shí)頻能量密度

第20頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一時(shí)頻原子基本概念時(shí)頻原子具有時(shí)頻局部化特性的基本信號(hào)分析單元短時(shí)傅里葉時(shí)頻原子

小波時(shí)頻原子

特點(diǎn)：都是由一個(gè)基本的單元信號(hào)經(jīng)過(guò)變換得到；短時(shí)傅里葉原子是通過(guò)平移和調(diào)制形成的；小波原子是通過(guò)平移和伸縮得到的。第21頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一線性時(shí)頻變換

：參數(shù)集第22頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一線性時(shí)頻變換的時(shí)頻局部化如果時(shí)頻原子在時(shí)間上是集中于某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)u周?chē)?根據(jù)(1)式,則僅與信號(hào)f(t)在該鄰域的值有關(guān)。如果時(shí)頻原子在頻率上是集中于某個(gè)頻率點(diǎn)周?chē)?根據(jù)(2)式,則僅與信號(hào)f(t)的頻譜在該鄰域的值有關(guān)。

第23頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如果所選擇的時(shí)頻原子的能量在時(shí)間上集中在某個(gè)時(shí)刻點(diǎn),同時(shí)在頻率上集中在某個(gè)頻率點(diǎn),則線性時(shí)頻變換的結(jié)果必然精確反映原始信號(hào)在某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)和某個(gè)頻率點(diǎn)上的信息-具有最高的時(shí)頻分辨率。問(wèn)題:上述時(shí)頻原子存在否?“最高的時(shí)頻分辨率”第24頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一時(shí)頻原子的分辨率受如下兩個(gè)結(jié)論限制:Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理不存在同時(shí)具有時(shí)限和頻限的時(shí)頻原子第25頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)時(shí)頻原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)：時(shí)頻局部化的定量描述第26頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Heisenberg-box示例：有關(guān)Heisenberg-box的幾個(gè)值得注意的問(wèn)題：根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，Heisenberg-box的面積至少要大于1/2；在Heisenberg-box所處位置以外的地方并不表示該時(shí)頻原子就沒(méi)有能量分布，Heisenberg-box只是代表了該時(shí)頻原子的大部分能量集中的位置和區(qū)域。

第27頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理結(jié)論

第28頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第29頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一時(shí)頻不可能同時(shí)有限長(zhǎng)

盡管有了Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理的限制,可能仍然有人認(rèn)為存在某個(gè)信號(hào)在時(shí)間-頻率域上可以同時(shí)是有限長(zhǎng)的,但這個(gè)結(jié)論也是不成立的。第30頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理:時(shí)頻不能同時(shí)有限長(zhǎng)第31頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一時(shí)頻能量密度它度量了信號(hào)的能量在以為中心的時(shí)頻鄰域內(nèi)的分布。第32頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一連續(xù)STFT定義短時(shí)傅里葉原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)常用信號(hào)的連續(xù)STFT連續(xù)STFT的反變換連續(xù)STFT的性質(zhì)

能量守恒定理

再生核方程短時(shí)譜三、短時(shí)傅里葉變換STFT(ShortTimeFourierTransform)第33頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一連續(xù)STFT第34頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第35頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一短時(shí)譜第36頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一短時(shí)傅里葉原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu):

(為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，設(shè)g(t)為實(shí)偶信號(hào))：第37頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一短時(shí)傅里葉原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)圖示：短時(shí)傅里葉原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)在整個(gè)時(shí)頻平面上保持不變！第38頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一常用信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換正弦信號(hào)

第39頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一正弦信號(hào)短時(shí)譜對(duì)應(yīng)的時(shí)頻區(qū)域第40頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單位沖激信號(hào)第41頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一線性調(diào)頻信號(hào)推導(dǎo)在高斯窗下短時(shí)傅里葉變換。

第42頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一STFT反變換-完備性如果f(t)是能量有限信號(hào)，則：第43頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第44頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一STFT性質(zhì)穩(wěn)定性：Parseval定理時(shí)頻能量密度的體現(xiàn)第45頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一STFT的冗余性:重建核方程

上面的性質(zhì)表明:并不是所有的能量有限的二維信號(hào)都是某個(gè)一維能量有限信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換!

能量有限信號(hào)能量有限二維信號(hào)STFT第46頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一模糊函數(shù)與重建核

模糊函數(shù)定義模糊函數(shù)沿時(shí)間軸和頻率軸的衰減性可以定義信號(hào)的時(shí)頻結(jié)構(gòu)-比Heisenbergbox更精確模糊函數(shù)在雷達(dá)信號(hào)設(shè)計(jì)中具有重要用途

第47頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一重建核和模糊函數(shù)的關(guān)系第48頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一離散短時(shí)傅里葉變換第49頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換連續(xù)小波正變換連續(xù)小波反變換連續(xù)小波變換性質(zhì)時(shí)移不變性

尺度變換性微分性再生核方程

能量守恒定理尺度譜小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)

解析小波及解析小波變換小波脊第50頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換的定義：Notes:第51頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)尺度因子s的作用是對(duì)母小波做伸縮，選擇不同的s會(huì)改變波形的寬窄，但不會(huì)改變波形的形狀。尺度因子s越大，波形越寬，可以用于分析持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)的低頻信號(hào)。第52頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第53頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(4)小波可以是實(shí)小波，實(shí)小波往往用來(lái)檢測(cè)信號(hào)的奇異性，如在圖象處理中檢測(cè)邊緣的墨西哥草帽小波。

第54頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一墨西哥草帽小波的波形及其傅里葉變換：第55頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一基于墨西哥草帽小波的連續(xù)小波變換：

奇異性檢測(cè)第56頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(5)小波也可以是復(fù)小波，并且一般采用復(fù)解析小波。采用復(fù)解析小波常用來(lái)做時(shí)頻分析，如檢測(cè)信號(hào)的瞬時(shí)頻率。采用復(fù)解析小波進(jìn)行的小波變換稱(chēng)為解析小波變換(AWT:AnalyticWaveletTransform).第57頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（6）連續(xù)小波變換的濾波器解釋:

S變化時(shí)可以看成是帶寬不斷變化的一組帶通濾波器。第58頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第59頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(7)連續(xù)的含義（三重連續(xù)）：

信號(hào)是連續(xù)的；

尺度因子是連續(xù)的；位移因子是連續(xù)的。(8)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換時(shí)運(yùn)算量很大

用計(jì)算機(jī)處理時(shí)較慢,這往往限制了其在實(shí)時(shí)信號(hào)處理中的應(yīng)用。第60頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換的計(jì)算計(jì)算連續(xù)時(shí)間小波變換的4個(gè)步驟：1、選取一個(gè)小波，然后將其和待分析信號(hào)從起點(diǎn)開(kāi)始的一部分進(jìn)行相乘積分。

2、計(jì)算相關(guān)系數(shù)c。第61頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3、將小波向右移，重復(fù)1和2的步驟直到分析完整個(gè)信號(hào)。4、將小波進(jìn)行尺度伸縮后再重復(fù)1，2，3步驟，直至完成所有尺度的分析。第62頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換的計(jì)算可以采用模擬器件來(lái)實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換。連續(xù)小波變換的數(shù)值計(jì)算位移的離散化：在上式中令:,則有:第63頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在實(shí)際計(jì)算時(shí),尺度參數(shù)s也要進(jìn)行離散化,常見(jiàn)離散化方法是令:

可以用FFT來(lái)計(jì)算。第64頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波反變換-連續(xù)小波變換的完備性問(wèn)題

第65頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第66頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有關(guān)該定理的說(shuō)明:該定理的證明過(guò)程利用了傅里葉分析的結(jié)果。稱(chēng)為小波容許條件。

第67頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在該定理證明過(guò)程中假設(shè)是與頻率無(wú)關(guān)的有限值，要使該假設(shè)成立，必然要求小波具有零均值。如果，則容許條件成立。第68頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一尺度函數(shù)第69頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一墨西哥草帽小波對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)及其傅里葉變換：低通特性第70頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一含有尺度函數(shù)的連續(xù)小波變換重建公式：第71頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換性質(zhì)：1、時(shí)移不變性：注意：(1)該性質(zhì)在小波用于模式識(shí)別中的特征提取過(guò)程中十分重要(2)并不是所有小波變換都具有時(shí)移不變性

DWT(離散小波變換)不具有時(shí)移不變性。

第72頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一DWT(離散小波變換)不具有平移不變性(示例)：第73頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、尺度變換性質(zhì)該性質(zhì)指出：當(dāng)信號(hào)在時(shí)間軸作伸縮時(shí)，其小波變換在時(shí)間軸和尺度軸上要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變-小波被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”得名的由來(lái)。第74頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3、微分性質(zhì)第75頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4、連續(xù)小波變換的重建核方程：冗余性說(shuō)明：(1)重建核方程表明連續(xù)小波變換具有冗余性-某一點(diǎn)的小波變換值可以通過(guò)平面其余點(diǎn)上的小波變換值按重建核方程恢復(fù)。第76頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)(3)重建核方程表明：并不是任意的二維函數(shù)都可以作為一個(gè)信號(hào)的連續(xù)小波變換。反映的是的相關(guān)性。當(dāng)時(shí)，此時(shí)u-s平面內(nèi)各點(diǎn)的小波系數(shù)才互不相關(guān)，此時(shí)的小波變換沒(méi)有冗余。此條件實(shí)際上表明不同尺度和位移處的小波是正交的。第77頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(5)能量守恒定理：第78頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一尺度譜和歸一化尺度譜尺度譜和歸一化尺度譜：

描述信號(hào)能量在時(shí)間-尺度平面的分布。第79頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一尺度譜的時(shí)間-尺度表示和時(shí)間-頻率表示假定頻率和尺度間滿足如下關(guān)系：，其中是母小波的中心頻率則：第80頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一小波時(shí)頻原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)第81頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)(續(xù))第82頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)(續(xù))第83頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在頻域中有：小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)(續(xù))第84頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)應(yīng)的時(shí)頻窗(Heisenberg-box)的特點(diǎn)：(1)用于確定時(shí)頻窗的四個(gè)參數(shù)都與尺度參數(shù)s有關(guān)。(2)當(dāng)s大于1且增大時(shí)，時(shí)頻窗的時(shí)間長(zhǎng)度增加，而時(shí)頻窗的頻率長(zhǎng)度減少(3)時(shí)頻窗的面積為：

時(shí)頻窗面積與尺度和位移參數(shù)無(wú)關(guān)，但與選定的母小波有關(guān)。小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)(續(xù))第85頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(4)低頻：時(shí)頻窗時(shí)間寬度大，頻率寬度小高頻：時(shí)頻窗時(shí)間寬度小，頻率寬度大第86頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析小波和解析小波變換解析信號(hào)：AnalyticSignal解析小波:AnalyticWavelets解析小波變換:AnalyticWaveletTransforms第87頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析信號(hào):定義:一個(gè)信號(hào)是解析的是指其傅里葉變換的值在負(fù)頻率處全部為零(沒(méi)有負(fù)的頻率成份)。實(shí)信號(hào)f(t)對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)的傅里葉變換為:第88頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析小波可以通過(guò)對(duì)一個(gè)實(shí)偶窗函數(shù)g(t)進(jìn)行頻率調(diào)制得到

第89頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析小波變換(AnalyticWavelets)采用解析小波進(jìn)行的小波變換稱(chēng)為解析小波變換:采用解析小波變換主要是可以同時(shí)得到信號(hào)的瞬時(shí)幅頻特性和相頻特性.

第90頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有關(guān)解析小波變換有如下結(jié)論:信號(hào)f(t)的解析小波變換可以由該信號(hào)的解析信號(hào)對(duì)應(yīng)的解析小波變換確定:第91頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一利用解析小波變換計(jì)算實(shí)信號(hào)的解析信號(hào)如果f(t)是實(shí)信號(hào),并且,則有:

第92頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一常用信號(hào)的解析小波變換(Gabor小波作為解析小波):

第93頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

第94頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一時(shí)頻分析應(yīng)用:瞬時(shí)頻率檢測(cè)

瞬時(shí)頻率解析信號(hào)可以分解成模和復(fù)相位的形式:

瞬時(shí)頻率定義為復(fù)相位的導(dǎo)數(shù):

常用信號(hào)及其瞬時(shí)頻率單頻正弦信號(hào)第95頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一常用信號(hào)及其瞬時(shí)頻率(續(xù))多分量信號(hào):可見(jiàn):含有多個(gè)頻率分量的信號(hào)(多分量信號(hào))的瞬時(shí)頻率不能客觀反映原始信號(hào)中的頻率分布情況。解決辦法:可以先通過(guò)短時(shí)傅里葉變換和小波變換分離不同頻率成分,然后再求瞬時(shí)頻率。第96頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一瞬時(shí)頻率檢測(cè)的兩個(gè)應(yīng)用:

通信中的頻率調(diào)制:

音頻處理中的加性聲音模型:變化緩慢第97頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一基于短時(shí)傅里葉脊和小波脊的瞬時(shí)頻率檢測(cè)短時(shí)傅里葉脊小波脊第98頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一短時(shí)傅里葉脊和小波脊用于瞬時(shí)頻率檢測(cè)理論基礎(chǔ)：第99頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第100頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明:第101頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第102頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第103頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第104頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第105頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第106頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第107頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一短時(shí)傅里葉脊：STFTRidges根據(jù)上述的理論，再做如下的假設(shè)：

第108頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第109頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一多分量信號(hào)的短時(shí)傅里葉脊（STFTRidges）第110頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一短時(shí)傅里葉脊用于瞬時(shí)頻率檢測(cè)中窗長(zhǎng)的選擇:

第111頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一窗長(zhǎng)選擇示例：第112頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一短時(shí)傅里葉脊是短時(shí)譜的局部極大值點(diǎn)。短時(shí)傅里葉脊在變換允許的時(shí)頻分辨率范圍內(nèi)可以描述信號(hào)的瞬時(shí)頻率。變換允許的分辨率由Heisenberg盒描述。對(duì)多分量信號(hào),如果要用短時(shí)傅里葉脊來(lái)檢測(cè)這兩個(gè)信號(hào)的瞬時(shí)頻率，則需滿足如下條件：

短時(shí)傅里葉脊：STFTRidges第113頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一小波脊：WaveletRidges小波時(shí)頻原子（三參數(shù)小波）：第114頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解析小波變換：

第115頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第116頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一小波脊:歸一化尺度譜的極值點(diǎn)第117頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第118頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一小波脊：Waveletridges小波脊是歸一化尺度譜的極大值點(diǎn)。小波脊在變換允許的時(shí)頻分辨率下可以描述信號(hào)的瞬時(shí)頻率。變換允許的時(shí)頻分辨率由Heisenberg-box來(lái)描述。

第119頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

(a)尺度譜(b)小波脊

(c)短時(shí)譜(d)短時(shí)脊原因:高頻時(shí)CWT的頻率分辨率過(guò)低第120頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

(a)尺度譜(b)小波脊

(c)短時(shí)譜(d)短時(shí)脊原因:高頻時(shí)STFT的時(shí)間分辨率過(guò)低第121頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一附錄：常見(jiàn)小波介紹可以通過(guò)Matlab命令Waveinfo了解常見(jiàn)小波的信息可以通過(guò)Wavefun畫(huà)出小波的波形第122頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.Crudewavelets(原始小波)Wavelets:

高斯小波、Morlet小波特性:僅滿足小波的最低要求

-不能構(gòu)成正交函數(shù)集合-小波函數(shù)不是緊支撐的-不一定能保證穩(wěn)定重建.可能的分析方法:-連續(xù)分解主要的好性質(zhì):對(duì)稱(chēng)性,小波函數(shù)具有顯式的表達(dá)式.主要問(wèn)題:不存在快速算法,精確重建不可能.

第123頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

Wavelets:meyer(meyr).

特性:-尺度函數(shù)存在,可以進(jìn)行正交分析.-尺度函數(shù)和小波函數(shù)是無(wú)限可微分的.-尺度函數(shù)和小波函數(shù)都不是有限支撐的

可能的分析方法:-可以進(jìn)行連續(xù)小波變換.-可以進(jìn)行離散變換,但濾波器無(wú)限長(zhǎng).主要的好性質(zhì):對(duì)稱(chēng)性,無(wú)限正則性.主要問(wèn)題:不存在快速算法.Wavelets:

離散的Meyerwavelet(dmey).

特性:-用FIR濾波器來(lái)近似

Meyerwavelet

可能的分析方法:-連續(xù)小波變換.-離散小波變換.2.Infinitelyregularwavelets(無(wú)限正則的小波)第124頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

3.Orthogonalandcompactlysupportedwavelets(正交緊支撐小波)Wavelets:Daubechies(dbN),symlets(symN),coiflets(coifN).常見(jiàn)特性:-尺度函數(shù)存在,可以進(jìn)行正交分析.-尺度函數(shù)和小波函數(shù)是有限長(zhǎng)的.-小波函數(shù)具有一定的消失矩.可能的分析方法:-可以進(jìn)行連續(xù)變換.-可以采用FWT進(jìn)行離散小波變換.主要的好的性質(zhì):緊支撐,具有消失矩,可以用FIR濾波器進(jìn)行快速實(shí)現(xiàn).主要的問(wèn)題:差的正則性.

特別的特性:

FordbN:asymmetry(不對(duì)稱(chēng))

ForsymN:nearsymmetry(近似對(duì)稱(chēng))

ForcoifN:nearsymmetryandphiaspsi,hasalsovanishingmoments(近似對(duì)稱(chēng),但尺度函數(shù)也具有消失矩).

第125頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

Wavelets:B-splinesbiorthogonalwavelets(biorNr.NdandrbioNr.Nd).特性:

尺度函數(shù)存在,可以進(jìn)行雙正交分析.分解的尺度函數(shù)和小波函數(shù),重構(gòu)的尺度函數(shù)和小波函數(shù)都是有限長(zhǎng)的.分解的尺度函數(shù)和小波函數(shù)都具有消失矩.重建的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都具有正則性.可能的分析方法:連續(xù)小波變換.采用FWT進(jìn)行離散小波變換.主要好性質(zhì):FIRfilters是對(duì)稱(chēng)的,分解和重構(gòu)所需要的特性可以分離.主要問(wèn)題:不具有正交性.

4.Biorthogonalandcompactlysupportedwaveletpairs(雙正交緊支撐小波)第126頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

Wavelets:ComplexGaussianwavelets(cgauN),complexMorletwavelets(cmorFb-Fc),complexShannonwavelets(shanFb-Fc),complexfrequencyB-splinewavelets(fbspM-Fb-Fc).特性:只具有最小的特性

-尺度函數(shù)不存在.-不能進(jìn)行正交分析.-小波函數(shù)不是緊支撐的.-不能保證精確重建.可能的分析:-復(fù)的連續(xù)分解.主要的好的特性:對(duì)稱(chēng)性,小波函數(shù)具有顯式的表達(dá)式.主要問(wèn)題:不存在快速算法和精確重構(gòu).5.Complexwavelets(復(fù)小波)第127頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

‘haar':Haarwavelet.'db':Daubechieswavelets.'sym':Symlets.'coif':Coiflets.'bior':Biorthogonalwavelets.'rbio':Reversebiorthogonalwavelets.'meyr':Meyerwavelet.'dmey':DiscreteMeyerwavelet.'gaus':Gaussianwavelets.'mexh':Mexicanhatwavelet.'morl':Morletwavelet.'cgau':ComplexGaussianwavelets.'cmor':ComplexMorletwavelets.'shan':ComplexShannonwavelets.'fbsp':ComplexFrequencyB-splinewavelets.MatLab介紹的有關(guān)小波信息第128頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Haar小波:Generalcharacteristics:Compactlysupportedwavelet,theoldestand

thesimplestwavelet.scalingfunctionphi=1on[01]and0otherwise.waveletfunctionpsi=1on[00.5[,=-1on[0.51]and0otherwise.FamilyHaarShortnamehaarExampleshaaristhesameasdb1OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth1Filterslength2RegularityhaarisnotcontinuousSymmetryyesNumberofvanishingmomentsforpsi1第129頁(yè)，共134頁(yè)，2023年，2月20日，星期一‘db’小波:DaubechiesWavelets

Generalcharacteristics:Compactlysupportedwaveletswithextremalphaseandhighestnumberofvanishingmomentsforagivensupportwidth.Associatedscalingfiltersareminimum-phasefilters.FamilyDaubechiesShortnamedbOrderNNstrictlypositiveintegerExamplesdb1orhaar,db4,db15OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth2N-1Filterslength2NRegularit