第二節(jié)一階線性微分方程

第二節(jié)一階線性微分方程第1頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、可分離變量的微分方程形如(1)的方程稱(chēng)為可分離變量的微分方程，其中f(x)和g(y)都是連續(xù)函數(shù)．例:第2頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這叫做分離變量。就是原方程的通解．

上式兩邊積分，得到

微分方程的解可以用隱函數(shù)的形式表示第3頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

若存在y0，使g(y0)=0，一般而言，這種解會(huì)在分離變量時(shí)丟失，且可能不含于通解中。應(yīng)注意補(bǔ)上這些可能丟失的解．

這時(shí)常數(shù)函數(shù)y=y0也是方程(1)的解．第4頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1解當(dāng)y≠0時(shí)，方程可改寫(xiě)為

兩邊積分，所以原方程的通解為

（c為任意常數(shù)）

此外，y=0也是該方程的解．

注：解y=0沒(méi)有包含在通解中。得到第5頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2解當(dāng)y≠0時(shí)，方程可改寫(xiě)為

兩邊積分，或得到第6頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一此外y=0也是方程的解．其中c為任意常數(shù).(2)若允許c=0

，則此解也含于上式中．所以方程的通解為

第7頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3解兩邊積分由初值條件得所以方程滿(mǎn)足所給初值條件的特解為:得方程的通解為第8頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例４解得方程的通解為得所以方程的通解為:求解Logistic方程兩邊積分第9頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、齊次微分方程

形如(3)的微分方程稱(chēng)為齊次微分方程．例如:第10頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一代入

分離變量?jī)蛇叿e分，得求解方法：便得通解。第11頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例5解原方程可以改寫(xiě)成原方程變?yōu)楫?dāng)u≠0時(shí)分離變量得第12頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一得即兩邊積分當(dāng)u＝0時(shí)，y=0也是方程的解。第13頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(4)兩邊積分，得代回原變量得原方程的通解為此外u=0時(shí)，y=0(x≠0)也原方程的解.例5解第14頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、一階線性微分方程

形如的方程稱(chēng)為一階線性微分方程，稱(chēng)它為一階齊次線性微分方程，否則，稱(chēng)它為一階非齊次線性微分方程．

(5)的求解法：常數(shù)變易法(5)(6)稱(chēng)它為非齊次微分方程(5)對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程．第15頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2已求得方程(6)的通解為

(7)顯然，如果（7）中的c恒保持為常數(shù)，則它一定不是（6）的解。(8)的通解，它的導(dǎo)數(shù)為為此，我們將c換成x的未知函數(shù)c(x)，設(shè)想方程（5）有形如第16頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(9)將(8),(9)代入方程（5）得(8)得第17頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一兩邊積分，得將它代回到(8)式(10)得即得方程(5)的通解為

上述這種將對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程通解中的任意常數(shù)c換成未知函數(shù)c(x)求非齊次線性微分方程通解的方法，稱(chēng)為常數(shù)變易法．第18頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例6解兩邊積分對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程為分離變量得齊次線性微分方程的通解為設(shè)非齊次線性微分方程的通解為第19頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例6設(shè)非齊次線性微分方程的通解為代入原非齊次線性微分方程第20頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例6設(shè)非齊次線性微分方程的通解為于是非齊次線性微分方程的通解為第21頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例6也可以直接利用通解公式（10）求解根據(jù)公式(10)第22頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以原方程的通解為第23頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例7解根據(jù)公式