第不定積分的概念和性質(zhì)演示文稿

第不定積分的概念和性質(zhì)演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一優(yōu)選第不定積分的概念和性質(zhì)現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一一、不定積分的概念定義3.1.

設(shè)f(x)在區(qū)間I

上有定義,若存在函數(shù)F(x),使得任一x∈I，都有則稱F(x)為f(x)在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù)

.1.原函數(shù)稱一個(gè)原函數(shù);例:稱一個(gè)原函數(shù).在區(qū)間I=(-∞,+∞)內(nèi)，在區(qū)間I=(0,+∞)內(nèi)現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一研究原函數(shù)必須解決的兩個(gè)重要問(wèn)題:1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若已知某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在,如何把它求出?

定理1.

存在原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一定理2.原函數(shù)都可表示為(C為任意常數(shù)).證:1)又知故即現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一2.不定積分在區(qū)間

I上的全體原函數(shù)稱為上的不定積分,其中—積分號(hào);—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;

C—積分常數(shù)

不可丟!例如,記作定義.

現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例1.

設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,解:所求曲線過(guò)點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為設(shè)此曲線方程為求此曲線的方程.現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一3.不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的積分曲線族.的積分曲線

.現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一如例1中,設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),

且曲線的切線斜率2x,求此曲線的方程.分析:所求曲線過(guò)點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為曲線方程積分曲線族一條積分曲線1現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一二、不定積分的性質(zhì)2.證明：證明：證明：現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一推論：注：當(dāng)k=0時(shí)，現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一基本積分表(P61)利用逆向思維(k

為常數(shù))積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一或或現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例2.求解:

原式=現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例3.

求解:

原式=現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例4.

求解:

原式=現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例5.

求解:

原式=現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例6.

求解:

原式=現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例9.

求解:

原式=現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令三、換元積分法1.第一類換元法現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一三、換元積分法設(shè)可導(dǎo),則有基本思路現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一1.第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)注

“湊微分”的主要思想是:將所給出的積分湊成積分表里已有的形式,合理選擇是湊微分的關(guān)鍵.觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例0求解（一）解（二）解（三）

同一個(gè)積分用不同的方法計(jì)算,可能得到表面上不一致的結(jié)果,但是實(shí)際上都表示同一族函數(shù).注現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例求解對(duì)第一換元積分法熟練后,可以不再寫出中間變量.一般地現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例1.

求解:

令則故原式

=注意換回原變量原式

=熟悉后，可直接湊微分現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例2.

求解:

原式=現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一例3.

求解:類似現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的幾何意義?基本積分表(見P61)3.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)2.不定積分的性質(zhì)現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一常見的湊微分類型有現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一作業(yè)練習(xí)題3.1（P69）1，2，3（1）（2）（4）現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一思考與練習(xí)1.

證明2.

若提示:現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一3.

若是的原函數(shù),則提示:已知現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一4.

若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個(gè)原函數(shù)是().提示:已知求即B??或由題意其原函數(shù)為現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一5.

求下列積分:提示:現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一6.求不定積分解：現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一7.

已知求A,B.解:

等式兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一牛頓(1642–1727)

偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家。他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分。1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù)，次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版)。他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等?，F(xiàn)在是39頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一

Newton受巴羅的“巴羅微分三角形”啟發(fā)發(fā)明微積分，所以巴羅在微積分發(fā)展史上功不可沒(méi)。

Newton從1665年到1695年，對(duì)微積分的創(chuàng)造性成果為：

★1665，“正流數(shù)術(shù)”——

微分學(xué)；★

1666，“反流數(shù)術(shù)”——

積分學(xué)；★

1666，“流數(shù)簡(jiǎn)論”——

標(biāo)志微積分的誕生；★

1669，“分析學(xué)”——

由此后人稱以微積分為主要內(nèi)容的學(xué)科為數(shù)學(xué)分析★

1671，“流數(shù)法”★

1687，“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”——簡(jiǎn)稱“原理”★

1691，“求積術(shù)”

牛頓的微積分貢獻(xiàn)現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一萊布尼茲(1646–1716)

德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái).現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一萊布尼茲的主要成果★1675年給出積分號(hào)“

”，同年引入微分號(hào)“d”★1676年給出公式，★1677年，表述微積分基本定理：★1684年，“求極大與極小值和求切線的新方法”★1686年，“深?yuàn)W的幾何與不可分量的無(wú)限的分析”現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有44頁(yè)\編輯于星期一畢達(dá)哥拉斯與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)據(jù)西方國(guó)家記敘，畢達(dá)哥拉斯是最早證明了勾股定理。據(jù)說(shuō)：畢達(dá)哥拉斯欣喜若狂，為此還殺了一百頭牛以作慶賀。因些，在西方稱這個(gè)定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”，還有一個(gè)帶有神秘色彩的稱號(hào)“百牛定理”?！叭f(wàn)物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本信條：他們認(rèn)為“萬(wàn)物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比（分?jǐn)?shù)）”他們相信宇宙的本質(zhì)就是這種“數(shù)的和諧”他們認(rèn)為：世界上只有整數(shù)和分?jǐn)?shù)，除此以外，就不再有別的數(shù)了?，F(xiàn)在是43頁(yè)\一共有4