線性代數(shù)公式大全修訂突擊必備

線性代數(shù)公式大全1、行列式1.n行列式共有n2個(gè)元素,展開后有n!項(xiàng),可分解為2n行列式；ijij②、某行列的元素乘以其它行列元素的代數(shù)余子式為0；③、某行列的元素乘以該行列元素的代數(shù)余子式為A；ijijijijCBOBBOBCCBOBBOBCkk一r(A)=n是滿秩矩陣一A的行列向量組線性無(wú)關(guān)；| (O| (O| (O (OO)一A與E等價(jià)；ATA是正定矩陣；一A的行列向量組是Rn的一組基；一A是Rn中某兩組基的過(guò)渡矩陣；對(duì)于n階矩陣A：AA*=A*A=(A-1)*=(A*)-1(A-1)T=(AT)-1(A*)T=(AT)*(AB)T=BTAT(AB)*=B*A*(AB)-1=B-1A-1關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論,其中均A、B可逆：若A若A(||A1A2；| (As|)12s)|(A)|(A| ( (sO)O)；主對(duì)角分塊| (BO)-1(A-1|=|B)(OA)-1(O|=|O)(A-1C)-1(A-1|=|B)(OB-1)B-B-1)；副對(duì)角分塊O)B-1)-A-1CBB-1)AO (CB)(-B-1CA-1B-1)3、矩陣的初等變換與線性方程組一個(gè)m根n矩陣A,總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：FrFr|對(duì)于同型矩陣A、對(duì)于同型矩陣A、B,若r(A)=r(B)(1)-1||=(1)-1||=|)換的應(yīng)用：初等列變換類似,或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換①、若(A,E)r(E,X),則A可逆,且X=A-1；③、求解線形方程組：對(duì)于n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax=b,如果(A,b)r(E,x),則A可||||2|,左乘矩陣A,入乘A的各行元素；||||2|ii| (入 (n③、對(duì)調(diào)兩行或兩列,符號(hào)E(i,j),且E(i,j)-1=E(i,j),例如：|1 ( ((1)1 (1)④、倍乘某行或某列,符號(hào)E(i(k)),且E(i(k))-1=E(i(1)),例如：k⑤、倍加某行或某列,符號(hào)E(ij(k)),且E(ij(k))-1=E(ij(-k)),如：r(AT)=r(A)；③、若AB,則r(A)=r(B)；mmnnnnnnm=0=n!nnnnx r=0nn_1A*=An_1r(A)=nr(A)=nAA入2nn2nmnnaa)(x)(ba||an|一Ax=b||||||| |||||amn)(xm)(bm)a數(shù)a2(b)1b||||(b)1b||||n2 (bn) ( (bn)1122nnn4、向量組的線性相關(guān)性1.m個(gè)n維列向量所組成的向量組A：a,a,,a構(gòu)成n收m矩陣A=(a,a,,a)；12m12m含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；4.r(ATA)=r(A)；P例155.n維向量線性相關(guān)的幾何意義：若a,a,,a線性相關(guān),則a,a,,a,a必線性相關(guān)；s12ss+1若a,a,,a線性無(wú)關(guān),則a,a,,a必線性無(wú)關(guān)；向量的個(gè)數(shù)加加減減,二者為12s12s-1向量組向量組A能由向量組B等價(jià)一r(A)=r(B)=r(A,B)P定理2推論若r維向量組A的每個(gè)向量上添上nr個(gè)分量,構(gòu)成n維向量組B：若A線性無(wú)關(guān),則B也線性無(wú)關(guān)；反之若B線性相關(guān),則A也線性相關(guān)；向量組的維數(shù)加加減減7.向量組A個(gè)數(shù)為r能由向量組B個(gè)數(shù)為s線性表示,且A線性無(wú)關(guān),則rs二版向量組A能由向量組B線性表示,則r(A)r(B)；P定理3向量組A能由向量組B一r(A)=r(A,B)P定理2858.方陣A可逆一存在有限個(gè)初等矩陣PPP,使A=P9.對(duì)于矩陣A與B：②、若A與B行等價(jià),則Ax=0與Bx=0同解,且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具nr12rns12s(b,b,,b)=(a,a,,a)KB=AK相同線性相關(guān)性mnnmmPssAPPAErAnP的行向量線性無(wú)關(guān)；12s1122ss (x)12sPnr12n-r15、相似矩陣和二次型①、A的列向量都是單位向量,且兩兩正交,即aTa=〈(1ijl0②、若A為正交矩陣,則A-1=AT也為正交陣,且A=土1；③、若A、B正交陣,則AB也是正交陣；1(a,a,ar[b,a]211b=a-[b1,ar]b-[b2,ar]b--[br-1,ar]b;rr[b,b]1[b