《建模方法教學(xué)資料》微分方程數(shù)值解法

第九節(jié)常微分方程的數(shù)值解法一階常微分方程的初值問題：節(jié)點：x1<x2<<xn步長為常數(shù)編輯ppt一歐拉方法（折線法）yi+1=yi+hf(xi,yi)(i=0,1,,n1)優(yōu)點：計算簡單。缺點：精度不高。二改進的歐拉方法編輯ppt三龍格—庫塔法(Runge-Kutta)歐拉公式可改寫為（它每一步計算f(xi,yi)一次，截斷誤差為O(h2))編輯ppt改進的歐拉公式可改寫為（它每一步計算f(x,y)兩次，截斷誤差為O(h3))編輯ppt標(biāo)準四階龍格—庫塔公式（每一步計算f(x,y)四次，截斷誤差為O(h5))編輯ppt例分別用改進的歐拉格式和四階龍格—庫塔格式解初值問題（取步長h=0.2）：編輯ppt表7—4節(jié)點改進歐拉法四階龍格—庫塔法準確解01110.21.1866671.1832291.1832160.41.3483121.3416671.3416410.61.4937041.4832811.4832400.81.6278611.6125141.61245211.7542051.7321421.732051（注：書中P60已指出過準確解）編輯ppt四誤差的控制我們常用事后估計法來估計誤差，即從xi出發(fā)，用兩種辦法計算y(xi+1)的近似值。記為從xi出發(fā)以h為步長得到的y(xi+1)的近似值，記為從xi出發(fā)以h/2為步長跨兩步得到的y(xi+1)的近似值。設(shè)給定精度為。如果不等式成立，則即為y(xi+1)的滿足精度要求的近似值。編輯ppt

為了使初值問題的數(shù)值解達到事先指定的精度要求，我們采用不斷縮短步長的辦法（類似于變步長梯形法則所做的那樣）。從xi出發(fā)求y(xi+1)的滿足精度要求的近似值的具體步驟如下：第一步由xi出發(fā)，以xi+1為目標(biāo)，計算及第二步如果，即為y(xi+1)的滿足精度要求的近似值，否則，繼續(xù)下一步編輯ppt

第三步如果，則將步長h折半，從xi出發(fā)以區(qū)間[xi,xi+1]的中點（記為）為目標(biāo)，判別如果，則得的滿足精度要求的近似值，然后從出發(fā)，以xi+1為目標(biāo)，重復(fù)上述步驟，否則繼續(xù)下一步編輯ppt

第四步如果，則將步長再折半，從xi出發(fā)以區(qū)間的中點（記為）為目標(biāo)，判別如果，則得的滿足精度要求的近似值，然后從出發(fā)，以xi+1為目標(biāo)，重復(fù)上述步驟，否則繼續(xù)下一步編輯ppt

第N+2步必有，從而得的滿足精度要求的近似值，然后從出發(fā)，以xi+1為目標(biāo)，重復(fù)上述步驟，，最后得到y(tǒng)(xi+1)的滿足精度要求的近似值yi+1編輯ppt卷積

在求拉氏逆變換的過程中，卷積往往有著重要的應(yīng)用價值。定義稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積。注意：當(dāng)t<0時，f1(t)=f2(t)0

編輯ppt

交換律f1*f2=f2*f1例1求t*sint分配律f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3

編輯ppt例2求函數(shù)是卷積的“單位元”。編輯ppt卷積定理L[f1(t)*f2(t)]=L[f1(t)]L[f2(t)]=F1(p)F2(p)(或[F1(p)F2(p)]=f1(t)*f2(t)