2023年高考最后一輪復習微專題21 圓錐曲線經(jīng)典難題之一類探索性問題的通性通法研究（原卷版）

微專題21圓錐曲線經(jīng)典難題之一類探索性問題的通性通法研究【秒殺總結】1、基本思路（1）探索性問題，一般先對結論作肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證.（2）若導出矛盾，則否定先前假設（否定型）；若推出合理的結論，則說明假設正確（肯定型），由此得出問題的結論.（3）“假設一推證一定論”是解答此類問題的三個步驟.2、技巧總結（1）解決是否存在常數(shù)的問題時，應首先假設存在，看是否能求出符合條件的參數(shù)值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在.（2）解決是否存在點的問題時，可依據(jù)條件，直接探究其結果；也可以舉特例，然后再證明.（3）解決是否存在直線的問題時，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解（存在）.（4）解決是否存在最值問題時，可依據(jù)條件，得出函數(shù)解析式，依據(jù)解析式判定其最值是否存在，然后得出結論.【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習）已知直線l1是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準線，直線l2：，且l2與拋物線C沒有公共點，動點P在拋物線C上，點P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于2．(1)求拋物線C的方程；(2)點M在直線l1上運動，過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為P1，P2，在平面內(nèi)是否存在定點N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，請求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由．例2．（2023·全國·高三專題練習）設橢圓E的方程為（a＞1），點O為坐標原點，點A，B的坐標分別為，，點M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若斜率為k的直線l交橢圓E于C，D兩點，交y軸于點（t≠1），問是否存在實數(shù)t使得以CD為直徑的圓恒過點B？若存在，求t的值，若不存在，說出理由．例3．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左焦點坐標為，直線與雙曲線交于兩點，線段中點為.(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過點與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個不同點，點，直線與雙曲線分別交于另一點.①若直線與直線的斜率都存在，并分別設為.是否存在實常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.②證明：直線恒過定點.例4．（2023·上海·高三專題練習）已知橢圓是左、右焦點．設M是直線l：上的一個動點，連結，交橢圓Γ于N（）．直線l與x軸的交點為P，且M不與P重合．(1)若M的坐標為，求四邊形的面積；(2)若PN與橢圓Γ相切于N且，求的值；(3)作N關于原點的對稱點，是否存在直線，使得上的任一點到的距離為，若存在，求出直線的方程和N的坐標，若不存在，請說明理由．例5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：，長軸是短軸的3倍，點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在點，使得直線TM，TN斜率之積為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.例6．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）的左?右焦點分別為，，點在橢圓上，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)是否存在過點的直線，交橢圓于，兩點，使得？若存在，求直線的方程，若不存在，請說明理由.例7．（2023·全國·高三專題練習）圓：與軸的兩個交點分別為，，點為圓上一動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，直線與交于點，試問：是否存在一個定點，當變化時，為等腰三角形【過關測試】1．（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開學考試）在平面直角坐標系中，點P到點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)設過點F且不與x軸重合的直線l與C交于A，B兩點，求證：在曲線C上存在點P，使得直線的斜率成等差數(shù)列.2．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線：（，）與雙曲線的漸近線相同，點在上，為的右焦點．(1)求的方程；(2)已知是直線：上的任意一點，是否存在這樣的直線，使得過點的直線與相切于點，且以為直徑的圓過點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由．3．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線（，）的漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)設，是雙曲線右支上不同的兩點，線段AB的垂直平分線交AB于，點的橫坐標為2，則是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．4．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學校聯(lián)考期末）已知橢圓：的長軸為4，離心率為(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過點的直線與交于，，過，作直線：的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，問：是否存在實數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）的左右焦點為，，上、下端點為，.若從，，，中任選三點所構成的三角形均為面積等于2的直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過點作兩條不重合且，斜率之和為2的直線分別與橢圓交于，，，四點，若線段，的中點分別為，，試問直線是否過定點？如果是，求出定點坐標，如果不是，請說明理由.6．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓過點，且離心率是.(1)求橢圓的方程和短軸長；(2)已知點，直線過點且與橢圓有兩個不同的交點，問：是否存在直線，使得是以點為頂點的等腰三角形，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.7．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）已知圓上的動點P在y軸上的投影為Q，動點M滿足．(1)求動點M的軌跡方程C；(2)動直線與曲線C交于A，B兩點，問：是否存在定點D，使得為定值，若存在，請求出點D的坐標及該定值；若不存在，請說明理由．8．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓：經(jīng)過點，且點到兩個焦點的距離之和為8.(1)求橢圓的方程；(2)直線：與橢圓分別相交于兩點，直線，分別與軸交于點，.試問是否存在直線，使得線段的垂直平分線經(jīng)過點，如果存在，寫出一條滿足條件的直線的方程，并證明；如果不存在，請說明理由.9．（2023秋·山東煙臺·高三山東省煙臺第一中學?？计谀┮阎謩e是橢圓的左、右焦點，A是C的右頂點，，P是橢圓C上一點，M，N分別為線段的中點，O是坐標原點，四邊形OMPN的周長為4．(1)求橢圓C的標準方程(2)若不過點A的直線l與橢圓C交于D，E兩點，且，判斷直線l是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．10．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？奸_學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為A，鈍角三角形的面積為，斜率為的直線交橢圓C于P，Q兩點.當直線經(jīng)過，A兩點時，點到直線的距離為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設O為坐標原點，當直線的縱截距不為零時，試問是否存在實數(shù)k，使得為定值?若存在，求出此時面積的最大值；若不存在，請說明理由.11．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為.(1)以為圓心的圓經(jīng)過橢圓的左焦點和上頂點，求橢圓的離心率；(2)已知，設點是橢圓上一點，且位于軸的上方，若是等腰三角形，求點的坐標；(3)已知，過點且傾斜角為的直線與橢圓在軸上方的交點記作，若動直線也過點且與橢圓交于兩點（均不同于），是否存在定直線，使得動直線與的交點滿足直線的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)的值；若不存在，請說明理由.12．（2023·全國·高三專題練習）橢圓的左右焦點分別為，右頂點為為橢圓上任意一點，且的最大值的取值范圍是，其中(1)求橢圓的離心率的取值范圍(2)設雙曲線以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點，是雙曲線在第一象限上任意一點，當取得最小值時，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.13．（2023·高三課時練習）已知曲線，過點作直線和曲線交于A、B兩點．(1)求曲線的焦點到它的漸近線之間的距離；(2)若，點在第一象限，軸，垂足為，連結，求直線傾斜角的取值范圍；(3)過點作另一條直線，和曲線交于、兩點，問是否存在實數(shù)，使得和同時成立？如果存在，求出滿足條件的實數(shù)的取值集合，如果不存在，請說明理由．14．（2023·全國·高三專題練習）已知，，點滿足，記點的軌跡為，(1)求軌跡的方程；(2)若直線過點且法向量為，直線與軌跡交于、兩點．①過、作軸的垂線、，垂足分別為、，記，試確定的取值范圍；②在軸上是否存在定點，無論直線繞點怎樣轉動，使恒成立？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由．15．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線相切．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點為雙曲線的左焦點，試問在軸上是否存在一定點，過點任意作一條直線交雙曲線于，兩點，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，其左、右焦點分別為，，短軸長為．點在橢圓上，且滿足△的周長為6．(1)求橢圓的方程；(2)設過點的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一個定點，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點的坐標；若不存在，請說明理由．17．（2023·全國·高三專題練習）雙曲線的左、右頂點分別為，，過點且垂直于軸的直線與該雙曲線交于點，，設直線的斜率為，直線的斜率為．(1)求曲線的方程；(2)動點，在曲線上，已知點，直線，分別與軸相交的兩點關于原點對稱，點在直線上，，證明：存在定點，使得為定值．18．（2023·全國·高三專題練習）橢圓經(jīng)過兩點，，過點的動直線與橢圓相交于，兩點．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的右焦點是，其右準線與軸交于點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：；(3)設點是橢圓的長軸上某一點（不為長軸頂點及坐標原點），是否存在與點不同的定點，使得恒成立？只需寫出點的坐標，無需證明．19．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系內(nèi)，橢圓，離心率為，右焦點到右準線的距離為2，直線過右焦點且與橢圓交于、兩點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線