2022年重慶大學(xué)數(shù)學(xué)分析研考題(精)-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦2022年重慶大學(xué)數(shù)學(xué)分析研考題(精)重慶高校2022年碩士討論生入學(xué)考試試題

科目代碼:621科目名稱:數(shù)學(xué)分析總分:150分

特殊提示:全部答案一律寫在答題紙上,直接寫在試題上的不給分。

一、計(jì)算(6分/每小題,共24分

(1((

(1

2

2lim111nnxx

x-→∞

+++(1x.七、(15分令2

1

sin(

(1xtftdxx

+∞

=+?,證實(shí):(1反常積分關(guān)于t在(,-∞+∞上全都收斂;

(2函數(shù)(ft在(,-∞+∞上延續(xù),且lim(0tft→+∞

=.八、(15分函數(shù)(fx為(,-∞+∞上的單調(diào)增強(qiáng)有界函數(shù),(1證實(shí):對于隨意(0,x

∈-∞+∞,(0

limxxfx→+存在;(2研究(limxfx→-∞

的存在性,并說明理由.九、(15分研究(絕對,給出證實(shí);否定,舉出反例:(1對無窮限反常積分,平方可積與肯定可積之間的關(guān)系;(2對無界函數(shù)反常積分,平方可積與肯定可積之間的關(guān)系.十、(15分設(shè)11a=,21a=,2123nnnaaa++=+,1n≥,

(1證實(shí){}

na的通項(xiàng)公式為113(12

nnna--+-=;

(2求

1

nnnax∞

=∑的收斂域與和函數(shù).

一、計(jì)算(6分/每小題,共24分(1((

(1

2

2lim111nnxx

x-→∞

+++(1x?>,有

((01fxf,有(((010fxffMα?xí)r,111sinlnnnnnααπ??+≤???,而∑∞=11nnα

收斂,所以?????

+∑∞=nnnnln1sin12πα肯定收斂

當(dāng)10≤≤α?xí)r,11sinlnnnnαπ?

?+???~nnln1α,而∑∞

=2ln1nn

nα

發(fā)散且

(nnnnnnln1sin1

1ln1sin1α

απ-=??

???+,nnln1sin1α單減趨于0,所以

?????

+∑∞

=nnn

nln1sin12πα

條件收斂當(dāng)0.解.直接分塊積分

1I=

2

2

2

axdydzxyz

∑

++??

,(

2

22

2

2

zadxdy

Ixyz

∑

+=

++??

1I=

222222

1

2yz

Daxdydzaxdydzayzdydzaxyz∑

∑

=

=++??

????其中yzD為yoz平面上的半圓22

2

,0yzaz+≤≤利用極坐標(biāo),得

其中Dxy為xoy平面上的圓域用極坐標(biāo)，得

因此七、（15分）令證實(shí)：（1）反常積分關(guān)于t在上全都收斂；（2）函數(shù)f(t在上延續(xù)，且

證實(shí)：（1）由于，而收斂，故由M-

判別法可知在上全都收斂。

（2）由于在上延續(xù)，且

在上全都收斂，故f(t在上延續(xù)。對隨意，由于使得對，有在

上全都收斂，故存在X>1，又按照黎曼引理，

，即

0，使得對，有從而按照(*和(**，對，有于是。

第6頁共9頁

八、（15分）函數(shù)為上的單調(diào)增強(qiáng)有界函數(shù)，（1）證實(shí)：對于隨意，存在；

（2）研究的存在性，并說明理由解：函數(shù)f為上的單調(diào)增強(qiáng)有界函數(shù)，函數(shù)

在x0處存在左右導(dǎo)數(shù).且

，

為上的單調(diào)增強(qiáng)有界函數(shù)，固然在單調(diào)增強(qiáng)有界，所以f在存在下確界，記為

由下確界定義，，有

又在單調(diào)增強(qiáng)，取，則當(dāng)，有即limf

類似可證

在無窮遠(yuǎn)處有

，

函數(shù)為上的單調(diào)增強(qiáng)有界函數(shù)，固然在上存在下確界，記為

，由下確界定義，有，，有由在上的單調(diào)增強(qiáng)，

，，當(dāng)初，有

即類似可

證

九、（15分）研究（絕對，給出證實(shí)；否定，舉出反例）：（1）對無窮限反常積分，平方可積與肯定可積之間的關(guān)系；（2）對無界函數(shù)反常積分，平方可積與肯定可積之間的關(guān)系.解（1）收斂不能保證肯定收斂，例如：第7頁共9頁，則4

收斂，但不是肯定收斂的；

肯定收斂不能保證收斂，例如：（2）由其他，則肯定收斂，但發(fā)散。，可知收斂保證

肯定收斂；2b但肯定收斂不能保證收斂，例如：

b1x，則肯定收斂，但發(fā)散.十、（15分）設(shè)

1，，，，（1）證實(shí)的通項(xiàng)公式為；2（2）求的收斂域與和函數(shù)解因，故，于是

由n為偶數(shù)時(shí)，，

，，將它們相加可解出

由n為奇數(shù)時(shí)，，，

2，將它們相