第四節(jié)一階線性微分方程

第四節(jié)一階線性微分方程1第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二一、一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式上面方程稱為上面方程稱為齊次的;非齊次的.線性一階

自由項2第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二如線性的;非線性的.判下列微分方程是否為一階線性微分方程：(1)、(4)是一階線性的，其余的是非線性的.3第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法),lnd)(||ln1CxxPy+-=ò4第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2.線性非齊次方程線性齊次方程是線性非齊次方程的特殊情況.顯然線性非齊次方程的解不會是如此,之間應(yīng)存在某種共性.線性齊次方程的通解是但它們5第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)想非齊次方程

待定函數(shù)的解是6第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二從而C(x)滿足方程7第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二一階線性非齊次微分方程的通解為即.)()(dd的解是xQyxPxy=+8第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二非齊次方程的一個特解對應(yīng)齊次方程通解一階線性方程解的結(jié)構(gòu)常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.9第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二解例一階線性非齊次方程10第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二解

積分方程例如圖所示,平行于y軸的動直線被曲線y=f(x)陰影部分的面積,一階非齊次線性方程即截下的線段PQ之長數(shù)值上等于求曲線y=f(x).)0(33=xxy與11第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二所求曲線為12第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)解初值問題:解將方程寫為????è?+ò-ò=ò---Cxexxeyxxxxxxd1cosd122d122213第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二由初始條件特解????è?+ò-ò=ò---Cxexxeyxxxxxxd1cosd122d122214第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例解方程若將方程寫成則它既不是線性方程,又不能分離變量.若將方程寫成以x為未知函數(shù),

即一階非齊次線性方程.分析y為自變量的15第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二此外,y=1也是原方程的解.解0d)ln(dln=-+yyxxyy16第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二注參數(shù)形式的.解方程時,

通常不計較哪個是自變量哪個是因變量,視方便而定,關(guān)系.關(guān)鍵在于找到兩個變量間的解可以是顯函數(shù),也可以是隱函數(shù),甚至是17第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二解

這是典型的一階線性方程.分析

由通解公式有

1992年考研數(shù)學(xué)一,3分練習(xí)xCxcos)(+xCxcos)(+=18第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二形如的方程,方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.稱為伯努利(Bernoulli)方程.

雅個布·伯努利(瑞士)1654-1705二、伯努利(Bernoulli)方程19第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.解法

事實上,用除方程的兩邊,得即20第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二可見只要作變換,方程就可化為z的一階線性方程伯努利方程的通解

令21第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二解例伯努利方程作變換則方程化為即22第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二它的通解為故原方程的通解為23第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例解方程解這不是線性方程,但若把y視為自變量,n=2的伯努利方程.也不是伯努利方程.方程寫為:即24第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二即25第25頁