經管類高等數學第八章

第八章定積分的應用第一節(jié)用定積分求平面圖形的面積第二節(jié)定積分在經濟上的應用下一頁第一節(jié)用定積分求平面圖形的面積一定積分應用的微元法二用定積分求平面圖形的面積下一頁上一頁返

回一定積分的微元法

我們來回顧一下求曲邊梯形面積的過程，其求解過程分為四個步驟：第一步分割：

將區(qū)間

[a,

b]

任意分為

n

個子區(qū)間[x

,x

](i=1,2,···,n)，其中x

=

a，x

=

b.i-1

i0n在任意一個子區(qū)間[x

,x

]上，任取一第二步取近似：點

x

，i-1i作小曲邊梯形面積A

的近似值，iiA

f(x

)x

.iii第三步求和：

曲邊梯形面積A下一頁上一頁返

回第四步取極限：n

，

=max{x

}

0，i第二步取近似時其形式f(x

)x

，與第四步積分ii中的被積分式f(x)dx具有類同的形式，

那么它就是第四步積分中的被積分式，如果把第二步中的x

用

x替代，ix

用

dx替代，基于此，我們把上述四步簡化為兩步：i下一頁上一頁返

回第一步:

寫出整體量A

在小區(qū)間x

上的部分量A

的近似值（稱為A的微元）.第二步：將微元dA＝

f

(x)

在區(qū)間[a,b]的積分（無限累加），即得這種先求整體量的微元再用定積分求整體量的方法稱為微元法.下一頁上一頁返

回二、用定積分求平面圖形的面積根據曲線的幾種不同情況，下面給出計算平面圖形面積的定積分表達式.（1）由曲線

直x=a,

x=b及

x成的形（如所示）的面

其中面的微元dA

o

ax

x+dxb下一頁上一頁返

回（2）由曲線f(x)(有正有負)，

直x=a,

x=b及

x所成的形（如所示）的面

y其中面的微元

a

x

x+dxxobdA下一頁上一頁返

回（

3）

由

兩

條

曲

線

y

=

f

(x)、

y

=

g

(x)與直線

x=a，

x=b所圍成的圖形(如圖所求)的面積為yy=f(x)其中面的微元

axx+dxb

xOy=g(x)下一頁上一頁返

回（

4

）

由

曲

線

x

=

(y

)、

x

=

(y

)與直線

y=c，

y=d所圍成的圖形(如圖所示)的面積為ydy+dy其中面的微元dAy

x=

(y)x=

(y)oxc圖8.4下一頁上一頁返

回例10.1求由曲線y

=

x

與直線

=3-1，

2

及

軸所圍成xx

=x的平面圖形的面積．解由上述公式得下一頁上一頁返

回例

10.2求y=sinx，

y=cosx，所圍成的平面圖形的面積.解由上述公式知下一頁上一頁返

回圖如下：制圖說明：需要作出正弦函數及余弦函數在區(qū)間上的圖像.下一頁的圖也需重作.下一頁上一頁返

回

例10.3求出拋物線y

=8x與

y=x2所圍成的平面圖形的面積2.解

求兩條拋物線的交點，即解方程組：y得交點o(0,0)和

A(2,4)，則0x下一頁上一頁返

回第二節(jié)定積分在經濟上的應用一現值和將來值二收入流的現值和將來值三消費者剩余和生產者剩余下一頁上一頁返

回一、現值和將來值現值是指某個時間段資金的起始價值；

將來值是指未來某一時間所獲得的貨幣總額，等于資金的起始價值（現值）與利息之和．貨幣的時間價值，等于貨幣的將來值減去貨幣的現值．即貨幣的時間價值是指當前持有的一定量的貨幣比未來獲得的等量貨幣具有更高的價值．也就是指一定量的資金在不同時點上的價值量差額.下一頁上一頁返

回若有

a元貨幣存入銀行，如按年利率r作復利算，則

t年后的價值為aer

t,

在這種情況下，

為現值，a將來;

反之，t年后要有

a元貨則幣按，連續(xù)復利計算，現aer

t在應有ae-rt元，在這種情況下，ae為現值，-r

ta將來.若有某a元，

如按年均勻折舊率i算，在種情況下，at年后的價a－tai元，，其中

，a－tai

為將來值.下一頁上一頁返

回二、收入流的現值和將來值[0,T]內，刻

t的位

收入f(

t

),稱此為收入率.

若按年利率的連續(xù)復利計算,在[t,t+t]內收入f(

t

)

edt,按照定分的微元分析-

r

t思路，在

[0,T]內得到的收入若收

入

率

t)＝

（

a為常

數

）

，

稱

此

為

均

勻

收

入

流

若年利率

r也為a,f(常數），則總收入的現值為下一頁上一頁返

回

設連續(xù)３年內保持收入率為每年15000

元不變，且利率穩(wěn)定在例8.4

7.5%

連續(xù)復利，問其收入現值是多少？解

由上述公式可知其收入現值為下一頁上一頁返

回例8.5

現對某企業(yè)給予一筆投資A，經測算，該企業(yè)在T

年中可以按照每年a元的均勻收入率獲得收入，若年利率為r，試求：（１）該投資的純收入貼現值為多少？（２）收回該筆投資的時間是多少？解

因為收入率為a

，年利率為r，所以在T

年中獲得總收入的現值為從而該投資的純收入的貼現值為下一頁上一頁返

回（２）收回投資，即總收入的現值等于投資，故有解得即收回投的

假若對某企業(yè)投資A＝800萬元，年利率為5%，設在20年中的均勻收入率為a＝200萬元／年，則總收入的現值為從而投資所得的純收入為收回該投資的時間為下一頁上一頁返

回三、消費者剩余和生產者剩余１．消費者剩余問題設需求函數Q=g(P)，其中Q為市場上單位時間內購買的商品量（需求），P是商品的單價，其反函數是單價表示成需顯然f(

Q)

是減函數.求量的函數，即P

=f(Q)，如圖所示.下一頁上一頁返

回若市場價格是P

，相應的需求是

y1Q

＝

g(P

),

則消費者愿意支付的11代價是OAEQ

，A1E但是實際支付的代價是OP

EQ

，P=f(Q)11P1因此消費者剩余就是需求曲線以下，市

o

x場價格以上AP

E的陰影部分面積(如Q11圖所示).即消費者剩余為下一頁上一頁返

回例8.6

設已知某商品的單價P

與需求x的關系是試求需求為30時的消費者剩余.解

由于商品的需求量為

=30時，對應的價格為x所以消費者的剩余為下一頁上一頁返

回2．消費者剩余問題

設供給函數Q=g(P)，其中Q為生產者單位時間內提供給市場的商品量（供給），P是商品的單價，其反函數P

=f(Q)，則把單價表示成了供給量的函數．

顯然f(Q)是增函數．如圖所示.

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回若市場價格是P

，相應的供給1P=f(Q)y是

Q

＝

g(P

),

則生產者愿意接受11的最小支付是OEFQ1，P1F但是實際上接受的總