2021人教A版數(shù)學選修2-1配套訓練：3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示

[A組學業(yè)達標]→→→1．O，A，B，C為空間四點，且向量OA，OB，OC不能構(gòu)成空間的一個基底，則()→→→A.OA，OB，OC共線→→B.OA，OB共線→→C.OB，OC共線D．O，A，B，C四點共面解析：由OA→→→，OB，OC不能構(gòu)成基底知OA→→→，OB，OC三向量共面，所以一定有O，A，B,C四點共面．答案：D2．已知i，j，k是空間直角坐標系Oxyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，→且AB＝－i＋j－k，則B點的坐標為()A．(－1,1，－C．(1，－1，－1)B．(－i，j，－k)1)D．不確定解析：AB＝－i＋j－k，只能確定AB→的坐標為(－1,1，－1)，而A點坐標不確定，→所以B點坐標也不確定．答案：D→3.如圖所示，已知平行六面體OABC-O′A′B′C′，OA→→＝a，OC＝c，OO′＝b，D是四邊形OABC的中心，則()→A.O′D＝－a＋b＋c→1122B.O′D＝－b－a－c→1212C.O′D＝a－b－c→1212D.O′D＝a－b＋c-1-→解析：O′D＝O′O＋OD→＝O′O＋→→→OB→→→)＝a－b＋c.12121212＝O′O＋＋OC(OA答案：D4．設{i，j，k}是單位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，則向量p在基底{i，j，k}下的坐標是()A．(12,14,10)C．(14,12,10)B．(10,12,14)D．(4,3,2)解析：依題意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐標是(12,14,10)．答案：A5．設{e1，e2，e3}是空間向量的一個單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，則a，b的坐標分別為________．解析：由于{e1，e2，e3}是空間向量的一個單位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)6．在如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，則點B1的坐標為________．解析：∵在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1(a,0，c)，C(0，b,0)，∴可知AD＝a，DC＝b，DD1＝c.∴B1的坐標為(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．三棱錐P-ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M為→→→→PC的中點，N為AC中點，以{BA，BC，BP}為基底，則MN的坐標為________．-2-→→→解析：MN＝BN－BM→→→→＋BC)1212＝＝＋BC(BA)－(BP1→→BABP1－，22→1212即MN＝，0，－.11答案：，0，－228．棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱DD1，D1C1，BC的→→→中點，以{AB，AD，AA1}為正交基底，求下列向量的坐標：→→→→→→(1)AE，AF，AG；(2)EF，EG，DG.解析：(1)AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋→1，12＝AA101，，2→→→→D11＝AA＋A＋DAF1F1→→1→1＝AA＋AD＋＝，1，1，AB221AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋1→2＝12，.0，1AD→→→1212，，01(2)由(1)得EF＝AF－AE＝，1，1－112＝，0，，2EG→＝AG→－AE→112＝＝0，－01，1，，2121，－，，－12DG→＝AG→－AD→＝12，－(0,1,0)0，1-3-10，.2＝，－1→→→9．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點．→→(1)用向量a，b，c表示D1B，EF；→(2)若D1F＝xa＋yb＋zc，求實數(shù)x，y，z的值．→→→→→→＝D＋DB＝－AA＋AB－AD＝a－b－c，解析：(1)如圖，D1BD11EF→＝EA→＋AF→＝→→＝－→→→→12＋AD＋AD12121212DA＋AC(AA1)＋(AB)＝(a－c)．1→→→1＝＋D1B)(2)D1F(D1D2→→＋D1B)12＝＝(－AA112(－c＋a－b－c)＝11a－b－c，221212∴x＝，y＝－，z＝－1.[B組能力提升]→→→10．已知M，A，B，C四點互不重合且無三點共線，則能使向量MA，MB，MC成為空間的一個基底的關系是()→A.OM＝OA＋OB＋OC→→→111333→→→B.MA＝MB＋MC→→→→C.OM＝OA＋OB＋OC-4-→→→D.MA＝2MB－MC解析：對于選項A，由OM＝xOA→＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點共→→→面，知MA→，MB→，MC→共面；對于選項B，D，易知MA→，MB→，MC→共面，故選C.答案：C→→11．已知向量OA和OB在基底{a，b，c}下的坐標分別為(3,4,5)和(0,2,1)，若OC＝AB，→→25→則向量OC在基底{a，b，c}下的坐標是()64586458A.－，－，－B.，－，－565554855648C.－，－，D.，，5555解析：∵AB＝OB－OA＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，∴OC→＝→→→→＝－AB256548a－b－c，55∴向量OC→在基底{a，b，c}下的坐標是－，－，－，故選A.654585答案：A12．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，當d＝αa＋βb＋γc時，α＋β＋γ＝________.＋γ＝1，α故有α＋β＋γ＝解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.所以α＋β＝2，γ＋β＝3，3.答案：313．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，→→若EF＋λA1D＝0(λ∈R)，則λ＝________.-5-解析：如圖，連接A1C1，C1D，則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上，12易知EF綊AD，1→→1∴EF＝，AD21→→1即EF－＝0，AD2112∴λ＝－.1答案：－214．如圖所示，在空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，→→→→設OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示GH.→→→→→2解析：∵OG＝OA＋AG＝OA＋AD3→→→→→23132＋3＝OA＋－OA(OD)＝OAOD→→→211＝＝＋＋OC)OA×(OB33213(a＋b＋c)，→→→→2123又OH＝＝＋OC)OD×(OB32-6-13＝(b＋c)，∴GH→＝OH→－OG→＝131313(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.15.如圖，正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側(cè)棱長為6，M，N分別為AB，BC的中點，以O為原點，射線OM，ON，OP分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系．若E，F(xiàn)分別為PA，PB的中點，求A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標．解析：∵正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側(cè)棱長為6，