點(diǎn)線面的投影

點(diǎn)線面的投影第1頁(yè)/共67頁(yè)1.2點(diǎn)的投影

點(diǎn)、線、面是構(gòu)成物體形狀的基本幾何元素。為正確表達(dá)物體形狀，必須先掌握這些基本幾何元素的投影規(guī)律。1.2.1點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影

過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。第2頁(yè)/共67頁(yè)P(yáng)b●●AP采用多面投影。

過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B1●B2●B3●

點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。1、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a●解決辦法？1.2點(diǎn)的投影第3頁(yè)/共67頁(yè)HWV二、點(diǎn)的三面投影投影面◆正面投影面（簡(jiǎn)稱正面或V面）◆水平投影面（簡(jiǎn)稱水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面）投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線Y三個(gè)投影面互相垂直第4頁(yè)/共67頁(yè)WHVoX空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。a●a●a●A●ZY第5頁(yè)/共67頁(yè)WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動(dòng)投影面展開aaZaayayaXYYO●●az●x第6頁(yè)/共67頁(yè)●●●●XYZOVHWAaaa點(diǎn)的投影規(guī)律:①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸第7頁(yè)/共67頁(yè)●●aaax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa●第8頁(yè)/共67頁(yè)[例題1]已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。a第9頁(yè)/共67頁(yè)[例題2]已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作A點(diǎn)的三面投影圖。axayHayw151020aa'a"第10頁(yè)/共67頁(yè)18[例題3]已知點(diǎn)A的三面投影，試確定

點(diǎn)A的空間位置。x=12z=20y=1812A(12,18,20)20第11頁(yè)/共67頁(yè)[例題4]已知點(diǎn)A在H面上，點(diǎn)B在W面上，

點(diǎn)C在V面上，試求各點(diǎn)的投影。c'c"cb"b'bc"ca'a"Ob'ba'aa"AaBb"Cc'第12頁(yè)/共67頁(yè)

三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x坐標(biāo)大的在左

▲y坐標(biāo)大的在前▲

z坐標(biāo)大的在上baa

abb●●●●●●B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。XYHYWZ第13頁(yè)/共67頁(yè)2.比較兩點(diǎn)的相對(duì)位置(b)b'b"aa'a"第14頁(yè)/共67頁(yè)重影點(diǎn)：

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、C為H面的重影點(diǎn)●●●●●aacc被擋住的投影加()()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？ac第15頁(yè)/共67頁(yè)a(b)a(b)c'(d')e"(f")e"(f")c'(d')第16頁(yè)/共67頁(yè)立體上的重影點(diǎn)EBDCb'edcb"(a)(b)(c)a'(e')c'(d')e"(d")a"(c")a(b)A第17頁(yè)/共67頁(yè)b●a●b●a●b●a●1.2.2直線的投影

直線的投影可由直線上任兩點(diǎn)的同名投影來確定。如圖所示，分別作出直線AB上兩端點(diǎn)A、B的三面投影，用直線連接兩點(diǎn)的同面投影得到ab、ab和ab即為AB的三面投影。第18頁(yè)/共67頁(yè)各種位置直線的投影投影面平行線投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜垂直于某一投影面與三個(gè)投影面都傾斜的直線第19頁(yè)/共67頁(yè)(1)投影面平行線的投影特性BAa'b'a"b"abABb'Oaba'a"b"a"b"a'b'baBAa"b"a'b'abβγb'Oa'αγb"a"abOaba'b'b"a"αβ第20頁(yè)/共67頁(yè)baababbaabba①在其平行的那個(gè)投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)并反映直線與另兩投影面傾角。②另兩個(gè)投影面上，投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)βγααβbaaabb與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ第21頁(yè)/共67頁(yè)(2)物體上平行線的投影分析第22頁(yè)/共67頁(yè)（1）投影面垂直線的投影特性BAABBAa'b'b(a)a"b"(a')b'a"b"ababb'a'a"(b

")a'b'aba"(b")bab"a"(a')b'b(a)a'b'b"a"第23頁(yè)/共67頁(yè)鉛垂線正垂線側(cè)垂線②

在另外兩個(gè)投影上，反映線段實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。①

在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)第24頁(yè)/共67頁(yè)（2）物體上垂直線的投影分析第25頁(yè)/共67頁(yè)一般位置直線baababABYOXZVWHa′b′aba〞b〞投影特性：

三個(gè)投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。第26頁(yè)/共67頁(yè)例1：判別下列直線的空間位置鉛垂線正平線一般位置線第27頁(yè)/共67頁(yè)例1：判斷形體中直線的空間位置AB是

線AC是

線CD是

線側(cè)垂線鉛垂線水平線第28頁(yè)/共67頁(yè)例2：試分析立體表面上各線段的空間位置。第29頁(yè)/共67頁(yè)例題：判斷下列直線的位置第30頁(yè)/共67頁(yè)直線上點(diǎn)的投影（1）若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上（即不滿足從屬性）。判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa等比性從屬性（2）直線上的點(diǎn)分割直線之比與其投影分割直線投影之比相等。即：

第31頁(yè)/共67頁(yè)點(diǎn)C不在直線AB上例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點(diǎn)C在直線AB上第32頁(yè)/共67頁(yè)例2：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。ab●k因k不在ab上所以點(diǎn)K不在A上。abkabk●●方法1：利用從屬性方法2：利用等比性第33頁(yè)/共67頁(yè)兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：⒈兩直線平行

平行、相交、交叉等三種情況。VHabcdABCDcdba投影特性：

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。第34頁(yè)/共67頁(yè)abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。

對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD第35頁(yè)/共67頁(yè)bdcacbaddbac

結(jié)論:

對(duì)于投影面平行線，只有這兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。若要用兩個(gè)投影判斷，其中應(yīng)包括反映實(shí)長(zhǎng)的投影。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例1：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影如何判斷？第36頁(yè)/共67頁(yè)HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：

若空間兩直線相交，則其同名投影必交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律（三等）。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)第37頁(yè)/共67頁(yè)●●cabbacdkkd例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影第38頁(yè)/共67頁(yè)[例題8]

給出平面四邊形ABCD的V投影及其兩條邊的H投影，試完成四邊形的H投影。bcc'd'ab'a'kk'd第39頁(yè)/共67頁(yè)dbaabcdc1(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：（1）同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。（2）“交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼?、Ⅳ在H面是重影點(diǎn)。為什么？12●●3

4●●兩直線相交嗎？Ⅰ、Ⅱ在Ｖ面是重影點(diǎn)。第40頁(yè)/共67頁(yè)

例、判定兩直線是否相交XYWZYHd`c〞cc`a`b`abOda〞b〞●●d〞k`kk〞交點(diǎn)不符合投影規(guī)律第41頁(yè)/共67頁(yè)

OXa`b`c`d`abcd1(2)1`2`4`(3`)34例：判斷兩直線的位置關(guān)系交叉

判斷兩重影點(diǎn)其積聚性投影的可見性時(shí)，需要看兩重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。第42頁(yè)/共67頁(yè)判斷三棱錐可見性1(2)1'2'3'(4')34第43頁(yè)/共67頁(yè)相互垂直的二直線的投影（a）立體圖(b)二直相交線垂直(c)二直相交線垂直(d)二直相交線垂直定理一垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。第44頁(yè)/共67頁(yè)1.2.3平面的投影一、平面的表示方法

平面通常用確定該平面的點(diǎn)、直線或平面圖形等幾何元素的投影表示，如圖所示。圖1用幾何元素表示平面第45頁(yè)/共67頁(yè)平面的投影特性平行投影面垂直投影面傾斜于投影面投影特性a、平面平行投影面——投影反映實(shí)形b、平面垂直投影面——投影積聚成直線

c、平面傾斜投影面——投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性（1）平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性第46頁(yè)/共67頁(yè)與三個(gè)投影面都傾斜平行于某一投影面垂直于另兩個(gè)投影面垂直于某一投影面傾斜于另兩個(gè)投影面（2）各種位置平面的投影平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面第47頁(yè)/共67頁(yè)投影面垂直面HWVa′b′c′ABCacbbaC第48頁(yè)/共67頁(yè)YHYWYHYWHαβ(1)投影面垂直面的投影特性γβγα第49頁(yè)/共67頁(yè)abcacbcba積聚性鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。

另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？主、左視圖類似性第50頁(yè)/共67頁(yè)投影面平行面HWVacbabCABCa′b′c′第51頁(yè)/共67頁(yè)投影面平行面的投影特性第52頁(yè)/共67頁(yè)abcabcabc實(shí)形性投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。積聚性積聚性這是什么位置平面？水平面！第53頁(yè)/共67頁(yè)一般位置平面HWVACBabcabcabc第54頁(yè)/共67頁(yè)abcacbabcc、一般位置平面三個(gè)投影都是類似形。投影特性：第55頁(yè)/共67頁(yè)第56頁(yè)/共67頁(yè)1.2.4點(diǎn)、直線、平面的從屬關(guān)系

判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。（1）平面上取任意直線第57頁(yè)/共67頁(yè)abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一：根據(jù)定理一解法二：根據(jù)定理二問：有多少解？答：有無數(shù)解。第58頁(yè)/共67頁(yè)例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。nmnm10cabcab

答：唯一解！問：有多