全國(guó)通用版講義第一章 立體幾何初步1-2-1

§1.2點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面的基本性質(zhì)與推論，能運(yùn)用平面的基本性質(zhì)及推論去解決有關(guān)問(wèn)題.2.會(huì)用集合語(yǔ)言來(lái)描述點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì).3.理解異面直線的概念．知識(shí)點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)與推論思考1直線l與平面α有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.直線l是否在平面α內(nèi)？有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？答案前者不在，后者在．思考2觀察圖中的三腳架，你能得出什么結(jié)論？答案不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．思考3觀察正方體ABCD—A1B1C1D1(如圖所示)，平面ABCD與平面BCC1B1有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)B，C嗎？答案不是，平面ABCD與平面BCC1B1相交于直線BC.梳理(1)平面的基本性質(zhì)平面內(nèi)容作用圖形基本性質(zhì)1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過(guò)直線)判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)基本性質(zhì)2經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面)確定平面及兩個(gè)平面重合的依據(jù)基本性質(zhì)3如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線判斷兩平面相交，線共點(diǎn)，點(diǎn)共線的依據(jù)(2)平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系及表示思考直線和平面都是由點(diǎn)組成的，聯(lián)系集合的觀點(diǎn)，點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系，如何用符號(hào)來(lái)表示？直線和平面呢？答案點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號(hào)“∈”或“?”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號(hào)“?”或“?”表示．梳理點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及表示文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言A在l上A∈lA在l外A?lA在α內(nèi)A∈αA在α外A?αl在α內(nèi)l?αl在α外l?αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l知識(shí)點(diǎn)三共面與異面直線思考如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，點(diǎn)A在α外，那么直線l與直線AB能不能在同一個(gè)平面內(nèi)？為什么？直線l與直線AB的位置關(guān)系是怎樣的？答案不可能在同一個(gè)平面內(nèi)，因?yàn)槿绻谕粋€(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)A就在α內(nèi)，這與點(diǎn)A在α外矛盾．由圖知，直線l與直線AB沒(méi)有公共點(diǎn)，所以它們不相交，直線l與直線AB不可能平行，否則它們就會(huì)同在平面α內(nèi)，所以直線l與直線AB既不相交也不平行．梳理共面與異面直線(1)共面①概念：空間中的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線，都在同一平面內(nèi)．②特征：共面的直線相交或者平行．(2)異面直線①概念：既不平行又不相交的直線．②判斷方法：與一平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線是異面直線．1．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線．(×)2．兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．(√)類型一點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號(hào)表示例1如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思與感悟(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①.(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖②.(3)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC，如圖③.類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1點(diǎn)、線共面問(wèn)題例2如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.解因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個(gè)平面β.所以直線a?β，點(diǎn)P∈β.因?yàn)镻∈b，b?α，所以P∈α.又因?yàn)閍?α，所以α與β重合，所以PQ?α.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)．解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c和l共面．證明：如圖，∵a∥b，∴a與b確定一個(gè)平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∵b∥c，∴b與c確定一個(gè)平面β，同理l?β.∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B，由推論2知：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面．反思與感悟證明多線共面的兩種方法(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi)．(2)重合法：先說(shuō)明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線也在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合．跟蹤訓(xùn)練2已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明方法一(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．命題角度2點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問(wèn)題例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．證明如圖，連接EF，D1C，A1B.∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又∵A1B綊D1C，∴EF綊eq\f(1,2)D1C，∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，∴D1F與CE相交，設(shè)交點(diǎn)為P.又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據(jù)基本性質(zhì)3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一點(diǎn)．反思與感悟(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用基本性質(zhì)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上．(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問(wèn)題可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．證明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本性質(zhì)3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點(diǎn)共線．方法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線．類型三異面直線的判定例4如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么NC，DE，AF，BM這四條線段所在的直線是異面直線的有多少對(duì)？試以其中一對(duì)為例進(jìn)行證明．解將展開圖還原為正方體(如圖)．NC與DE，NC與AF，NC與BM，DE與AF，DE與BM，AF與BM，都是異面直線，共有6對(duì)．以NC與AF是異面直線為例證明如下：方法一連接BE，若NC∥AF，則由NC∥BE，可知AF∥BE，這與AF與BE相交矛盾．故NC與AF不平行．若NC與AF相交，則平面ABFE與平面CDNM有公共點(diǎn)，這與正方體的性質(zhì)矛盾．故NC與AF不相交．所以NC與AF異面．方法二連接BE，如圖，因?yàn)橹本€NC?平面BCNE，直線AF∩平面BCNE＝O.O?直線NC，所以NC與AF異面．反思與感悟判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交．(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．跟蹤訓(xùn)練4分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．以上都有可能答案D解析如圖(1)所示，直線a與b互相平行；如圖(2)所示，直線a與b相交；如圖(3)所示，直線a與b異面．1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直線AB，則()A．C∈αB．C?αC．AB?αD．AB∩α＝C答案A解析因?yàn)锳∈平面α，B∈平面α，所以AB?α.又因?yàn)镃∈直線AB，所以C∈α.2．平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為()A．3B．4C．5D．6答案C解析如圖，用列舉法知符合要求的棱為：BC，CD，C1D1，BB1，AA1，故選C.3.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，與AA1異面的是()A．ABB．BB1C．DD1D．B1C1答案D解析由異面直線的定義知，與AA1異面的直線應(yīng)為B1C1.4．線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系是________．答案直線AB?α解析由基本性質(zhì)1知直線AB在平面α內(nèi)．5.如圖，已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)D，E兩點(diǎn)，若直線AB與平面α的交點(diǎn)是P，則點(diǎn)P與直線DE的位置關(guān)系是________．答案P∈直線DE解析因?yàn)镻∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直線DE.1．解決立體幾何問(wèn)題首先應(yīng)過(guò)好三大語(yǔ)言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語(yǔ)言描述圖形語(yǔ)言，將圖形語(yǔ)言用文字語(yǔ)言描述出來(lái)，再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言．文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號(hào)語(yǔ)言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛．2．在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問(wèn)題時(shí)初步體會(huì)三個(gè)公理的作用，突出先部分再整體的思想．3．異面直線是既不平行也不相交的直線．一、選擇題1．下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是()答案D解析畫兩個(gè)相交平面時(shí)，被遮住的部分用虛線表示，并畫出兩平面的交線．2．空間中，可以確定一個(gè)平面的條件是()A．三個(gè)點(diǎn)B．四個(gè)點(diǎn)C．三角形D．四邊形答案C解析由平面的基本性質(zhì)及推論得：在A中，不共線的三個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面，共線的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；在B中，不共線的四個(gè)點(diǎn)最多能確定四個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；在C中，由于三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，因此三角形能確定一個(gè)平面，故C正確；在D中，四邊形有空間四邊形和平面四邊形，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)誤．故選C.3．如果A點(diǎn)在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在α內(nèi)，可以表示為()A．A?a，a?α，B∈αB．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?αD．A∈a，a∈α，B∈α答案B解析A點(diǎn)在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在α內(nèi)，表示為：A∈a，a?α，B∈α，故選B.4．空間四點(diǎn)A，B，C，D共面而不共線，那么這四點(diǎn)中()A．必有三點(diǎn)共線B．必有三點(diǎn)不共線C．至少有三點(diǎn)共線D．不可能有三點(diǎn)共線答案B解析A，B，C，D共面而不共線，這四點(diǎn)可能有三點(diǎn)共線，也可能任意三點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；如果四點(diǎn)中沒(méi)有三點(diǎn)不共線，則四點(diǎn)共線，矛盾，故B正確；當(dāng)任意三點(diǎn)不共線時(shí)，也滿足條件，故C錯(cuò)誤；當(dāng)其中三點(diǎn)共線，第四個(gè)點(diǎn)不共線時(shí)，也滿足條件，故D錯(cuò)誤，故選B.5．有下列說(shuō)法：①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)；②三條平行直線必共面；③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案B解析因?yàn)樘菪蔚纳舷碌谆ハ嗥叫?，所以梯形是平面圖形，故①正確；三條平行直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故②錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面的三個(gè)公共點(diǎn)不共線，則兩平面重合，若三個(gè)公共點(diǎn)共線，兩平面有可能相交，故③錯(cuò)誤，故選B.6．三條兩兩相交的直線最多可確定的平面的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．無(wú)數(shù)答案C解析在空間中，兩兩相交的三條直線最多可以確定3個(gè)平面，如圖所示．PA，PB，PC相交于一點(diǎn)P，則PA，PB，PC不共面，則PA、PB確定一個(gè)平面PAB，PB，PC確定一個(gè)平面PBC，PA，PC確定一個(gè)平面PAC.故選C.7.如圖所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(guò)()A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)MD．點(diǎn)C和點(diǎn)M答案D解析∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據(jù)基本性質(zhì)3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上．8．長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線與長(zhǎng)方體的棱所組成的異面直線有()A．2對(duì)B．3對(duì)C．6對(duì)D．12對(duì)答案C解析如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，與對(duì)角線AC1成異面直線位置關(guān)系的棱是：A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC，所以組成6對(duì)異面直線．二、填空題9．如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是________．(填序號(hào))答案③解析根據(jù)異面直線的定義可得．10．三條平行直線最多能確定的平面的個(gè)數(shù)為________．答案3解析當(dāng)三條平行直線在一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，可以確定1個(gè)平面；當(dāng)三條平行直線不在同一平面上時(shí)，可以確定3個(gè)平面．綜上，最多可確定3個(gè)平面．11．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l.答案∈解析因?yàn)閍∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.12．已知A∈α，B?α，若A∈l，B∈l，那么直線l與平面α有________個(gè)公共點(diǎn)．答案1解析若直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)，則l?α，那么B∈α，這與B?α矛盾，∴l(xiāng)∩α＝A.三、解答題13.已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖所示．求證：直線AD，BD，CD共面．證明因?yàn)镈?l，所以l與D可以確定平面α，因?yàn)锳∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD?α.同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面．四、探究與拓展14．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝e