2023年山東省高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，圓。的半徑為1,A,3是圓上的定點(diǎn)，OB±OA,P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為P',

角x的始邊為射線。4,終邊為射線。尸，將|加-萬|表示為x的函數(shù)“X）,則y=在[0,句上的圖像大致

為（）

2.在空間直角坐標(biāo)系。一型中，四面體O43C各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:

0（0,0,0）,A（0,0,2）,B（：G,0,O1C[O,|G,O].假設(shè)螞蟻窩在0點(diǎn)，一只螞蟻從O點(diǎn)出發(fā)，需要在AB，AC上

分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回。點(diǎn).那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長度是（）

A.20B.711-V21C.?+亞D.

3.在直三棱柱ABC-A4G中，己知AB=BC=2,Cg=2及，則異面直線與所成的角

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單

位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（）

5.已知函數(shù)/（x）=e、+8的一條切線為y=a（x+l）,貝!k灑的最小值為（）

6.若2〃+3a=3〃+2%則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)是（）

@b<a<0?a=b?Q<a<h<\?\<b<a

A.1B.2C.3D.4

7.已知函數(shù)/（x）=（lnorf（f+?一4）,若x>0時(shí)，〃x）2。恒成立，則實(shí)數(shù)”的值為（）

A.2eD-/

8.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB//CZ）,若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線

CE,E尸相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為加，n,則下列結(jié)論正確的是（）

D.m+n<S

4

9.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）

（I-/）-

A.2zB.-2zC.2D.-2

10.國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見》中提出，要優(yōu)先落實(shí)教育投入.某研究

機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了2010年至2018年國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在GDP中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表

可知下列敘述錯(cuò)誤的是（）

201（）-2018年國家財(cái)政件教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在CDP中的占比情況（單位：億元,％）

500005.00%

4?父％4.16%4.10%4斗％4.22%4.14%411%4.50%

45000

3.66%iS^^'*36990400%

40000

35000

30000

25000熊

20000I

1500()

10000

5000

0

201020112012201320142015201620172018

■i財(cái)i政性l教育L經(jīng)費(fèi)支出J（億元）■I財(cái)L政性教育經(jīng)L費(fèi)占GDPh比田：（％）

A.隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長

B.2012年以來，國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占GOP比例持續(xù)7年保持在4%以上

C.從2010年至2018年，中國GDP的總值最少增加60萬億

D.從2010年到2018年，國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長最多的年份是2012年

x2y2

11.已知6、用分別為雙曲線c：=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，過耳的直線/交。于A、B兩點(diǎn),

a2b1

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若。4,8",|A8|=|3g則。的離心率為（）

A.2B.y/5C.娓D.不

12.阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)左化>0,左。1）的點(diǎn)的

軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A，B的距離之比為6注，當(dāng)P,

2

A，B不共線時(shí)，的面積的最大值是（）

A.2V2B.0C.D.—

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,”若$3=6,56=-8,則Sg=—.

14.函數(shù)y=JlogJx的定義域?yàn)橐?

15.已知拋物線。：丁=4%，點(diǎn)P為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓加：（%—3）2+丁2=4的切線，切點(diǎn)分別為4,5,

則線段AB長度的取值范圍為.

16.在（2-力5的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐P-A3C。中，底面48co是矩形，ABCD,且E,f分別是棱48,

PC的中點(diǎn).求證：

（2）平面PCE_L平面PCD.

18.（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)

保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

天數(shù)61418272510

（D從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于［0,50］,（50,100］的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

0,涮100,

（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失》（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為>=220,100<%,250,,試估計(jì)該

1480,250<%,300,

企業(yè)一個(gè)月（按30天計(jì)算）的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.

19.（12分）已知橢圓C：0+2r=1（〃>〃>0）的左右焦點(diǎn)分別是耳，居，點(diǎn)P（l,-）在橢圓。上，滿足尸耳?:

ab"24

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線（過點(diǎn)P,且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線《與6的傾斜角互補(bǔ)，且與橢圓交于異于點(diǎn)尸的兩點(diǎn)“，N,與

直線x=l交于點(diǎn)K（K介于”,N兩點(diǎn)之間），是否存在直線〃，使得直線4,l2,的斜率按某種排序能構(gòu)

成等比數(shù)列？若能，求出的方程，若不能，請(qǐng)說理由.

12

20.（12分）已知矩陣加="的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.

2a

21.（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線G:/?cos（9-60sine—l=O,C2:p=2cos6>.

（1）求曲線G、的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；

（2）若曲線G、交于A、B兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離.

22.（10分）如圖，已知四邊形A8CD的直角梯形，AD//BC,AD1DC,AD=4,DC=BC=2,G為線段AD

的中點(diǎn)，PG,平面ABC。，PG=2,M為線段AP上一點(diǎn)（”不與端點(diǎn)重合）.

（1）若AM=MP,

（i）求證：PC〃平面BMG；

（ii）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值；

（2）否存在實(shí)數(shù)X滿足㈤彳=4而，使得直線依與平面BMG所成的角的正弦值為巫，若存在，確定的X值,

若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到函數(shù)圖象，即可求解.

【詳解】

由題意，當(dāng)X=0時(shí)，P與A重合，則P與B重合，

所以|而-網(wǎng)=|麗|=2,故排除C,D選項(xiàng)；

當(dāng)0<x<]時(shí)，|O/5-OF|=|P'P|=2sin(^-x)=2cosx,由圖象可知選B.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

2.C

【解析】

將四面體。LBC沿著。4劈開，展開后最短路徑就是ZMOO'的邊00',在△AOO中，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

將四面體。45C沿著。4劈開，展開后如下圖所示：

最短路徑就是AAOO'的邊0。'.

易求得ZOAB=ZO'AC=30°,

由AO=2,0B=^6知AB=±6

33

AC=-y[3,BC=y/OB2+OC2=-V6

33

冬…C=四上"生

2ABAC

16168

T+T-3^3

20x4產(chǎn)x4—產(chǎn)4

V3V3

由余弦定理知OO'2=AO2+AO'2-2A0-AO'-cosZOAO'

其中AO=AO'=2,cosNOA。=cos(60°+NBAC)=—

OO'2=5+V21,=OO'=75+721

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

3.C

【解析】

由條件可看出ABII4與，則NBAC1為異面直線AG與44所成的角，可證得三角形BAG中，AB1BQ,解得

tanZBACr從而得出異面直線A6與所成的角.

【詳解】

連接AG，BC一如圖：

又AB||AM,則NBAG為異面直線AC,與^耳所成的角.

因?yàn)锳B，BC,且三棱柱為直三棱柱，,AB1CCP/.AB，面BCC4,

AB1Bq,

又AB=BC=2,Cq=2正，：.BQ=3/可+2。=2日

：.tanZBAC,=也，解得NBAG=60°.

故選c

【點(diǎn)睛】

考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費(fèi)

開支占總開支的百分比.

【詳解】

水費(fèi)開支占總開支的百分比為------芝------x20%=6.25%.

250+450+100

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

求導(dǎo)得到/'(x)=e*,根據(jù)切線方程得到匕=alna,故"=設(shè)g(x)=finx,求導(dǎo)得到函數(shù)在0,”上

單調(diào)遞減，在e^,+8上單調(diào)遞增，故g(x)n“n=g-5,計(jì)算得到答案.

【詳解】

f(x)^ex+h,則/'(x)=e“，取e~=a,(a>0),故Xo=lna,/(%)=。+。.

故a+b=a(lna+l),故〃=alna,ab^a1ln?.

設(shè)8(%)=/111工，g'(x)=2xlnx+x=x(2Inx+l),取屋(x)=0,解得丫=”.

(\1

故函數(shù)在0,e巧上單調(diào)遞減，在e《,+8上單調(diào)遞增，故g(x)mM=ge&=--

\)\)\)

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

6.D

【解析】

a,8可看成是'=，與/(x)=2'+3x和g(x)=3'+2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.

【詳解】

令f(x)=2*+3x,g(x)=3x+2x,

作出圖象如圖，

由/(%)=2'+3x,g(x)=3*+2x的圖象可知，

〃O)=g(O)=l,〃l)=g(l)=5,②正確；

xe(-w,O),/(x)<g(x),有b<a<0,①正確；

xe(O,l),〃x)>g(x),有0<a<b<l,③正確；

xw(l,+8),/(x)<g(x),有l(wèi)<b<a,④正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

【解析】

通過分析函數(shù)y=lnar-l(x>0)與y=x2+ar-4(x>0)的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)/,解方程組

lnaf-1=0

即得解.

a2+at-4=0

【詳解】

如圖所示，函數(shù)、=1116-1(彳>0)與丫=丫2+以-4(》>0)的圖象,

因?yàn)?>()時(shí)，f(x)/0恒成立,

于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)r,

Inar-1=0

所以《

/+af—4=0

at=4-t2=e>

解得“=后，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平.

8.A

【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關(guān)系分別求得以〃的值，即可比較各選項(xiàng).

【詳解】

如下圖所示，CEu平面ABPQ,從而CE//平面4月6。1,

易知CE與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，

/.m=4,

?；EE//平面BPP&I，砂//平面AQQ|A，且族與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，

??,2=4,

...結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知，只有加="正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于中檔題.

9.A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.

【詳解】

442Z?

---7=--=—7=2/.

(1-z)2-2i-i2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

觀察圖表，判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確.

【詳解】

由表易知A、B、。項(xiàng)均正確，2010年中國GDP為人如裂。41萬億元，2018年中國GDP為當(dāng)型=90萬億元,

3.55%4.11%

則從2010年至2018年，中國GDP的總值大約增加49萬億，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)圖表是解題基礎(chǔ).

11.D

【解析】

作出圖象，取48中點(diǎn)E,連接EF2,設(shè)為A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到。2=7°2,進(jìn)而得

到e的值

【詳解】

解：取AB中點(diǎn)E,連接E入,則由已知可得〃尸1，后尸2,FtA=AE=EB,

設(shè)尸iA=x,則由雙曲線定義可得A尸2=2a+x,BF!-BF2=3x-2a-x=2a,

所以x=2a,貝!IE戶2=2百a,

由勾股定理可得(4a)2+(26a)2=(2c)2,

所以c2=7a2,

則e=￡=

a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問題，關(guān)

鍵是列出含有a,方,c中兩個(gè)量的方程，有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理，從而求出離心率.

12.A

【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,3間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,3的距離之比為注，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)

2

合求解.

【詳解】

如圖所示:

化簡得（x+3『+y2=8,

當(dāng)點(diǎn)P到AB（x軸）距離最大時(shí)，A7%3的面積最大，

；?ARAB面積的最大值是!x2x2及=2夜.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13,-42

【解析】

由邑，S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列，代入53=6,邑=-8可得39的值.

【詳解】

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列，

可得：2（5fi-53）=53+S9-56,代入$3=6,§6=-8,

可得：S9=-42,

故答案為：-42.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，相對(duì)不難.

14.(0,1]

【解析】

x>0

由題意得｛]og/?0：,解得定義域?yàn)?0,1].

2

15.[272,4)

【解析】

連接易得可得四邊形加06的面積為3歸〃卜|4河=歸山?|初4|,

從而可得|4理=2,21例=11一忸蘇,進(jìn)而求出|PM|的取值范圍，可求得|4用的范圍.

【詳解】

如圖，連接P例,易得所以四邊形RU仍的面積為:|PM|dABl,且四

邊形的面積為三角形B4"面積的兩倍，所以，2加卜|/回=|/刈|乂4|,所以

2|PA|-K=4M-4仁工

112

\PM\\PM\[\PM\

當(dāng)\PM\最小時(shí)，|AB1最小,設(shè)點(diǎn)P(x,y),則\PM\=+y2=dx2-6x+9+4x=>]x2-2x4-9,

所以當(dāng)x=l時(shí),\PM\.=272,貝！J|AB|.=4jl--=2y/2,

IIminIlimnug

當(dāng)點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)xf”時(shí)，歸河|—入，此時(shí)4,

因?yàn)閨A可隨著|/網(wǎng)的增大而增大，所以|A8|的取值范圍為[2加,41

故答案為：[272,4).

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中

檔題.

16.-40

【解析】

(2—Jr7的展開式的通項(xiàng)為：C；25-r(-x)r.

令r=3,得C；25-「(一幻，=-40/.

答案為：-40.

點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求

出其參數(shù).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)取的中點(diǎn)G構(gòu)造平行四邊形田G,得到EF7/AG,從而證出瓦'//平面PAD；

(2)先證即，平面PCD,再利用面面垂直的判定定理得到平面PC。J?平面PCE.

【詳解】

證明：(1)如圖，取PZ)的中點(diǎn)G,連接AG,FG,

?.,E是棱AB的中點(diǎn)，底面ABC。是矩形，

..AE//CD,且

2

又F,G分別是棱PC,PZ)的中點(diǎn)，

：.FG//CD,且bG=lAC,

2

AE//FG,且AE=FG,

四邊形但G為平行四邊形，

..EF//AG,

又平面PA￡>,AGu平面PAO，

EF//平面PADt

(2)-：PA=AD,點(diǎn)G是棱PO的中點(diǎn)，

AG±PD,

又；EF//AG,;.EF上PD,

?.BA，平面ABC。，CDu平面ABC。，

:.PA±CD,

?.,底面ABC。是矩形，.?.A￡>J_CD,

平面ABC。，ADu平面ABC。，且尸4門仞二人，

\CD人平面PAD，

又,/AGu平面PAD,CDJ_AG,

-,-FE//AG,：.CDA.EF,

又?.?CDu平面PCD,PDu平面PCD,且《30|尸。=。，

.,.EFL平面PCD,

又平面PCE,

平面PCD_L平面PCE.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的判定，首選判定定理，是中檔題.

18.(1)——(2)9060元

114

【解析】

（1）根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計(jì)算可得所求概率；（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為X元，分別求出

P（X=0）,P（X=220）,P（X=1480）,進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個(gè)月經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：（1）設(shè)自為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則

網(wǎng)”）=產(chǎn)仁=2）+尸（八3）=魯+警=焉

C20C201

（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為X元，則X的可能取值為0,220,1480,

701

p(x=o)=p(噫!k100)=-=-,

7()7

P(X=220)=P(100<K,250)=—=

P(X=1480)=P(250<X,300)=q,

171

所以￡X=0X￡+220X,+1480X—=302(元)，

51010

故該企業(yè)一個(gè)月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30￡X=9060(元).

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計(jì)算及數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.

19.（1）—+^-=1；（2）不能，理由見解析

43

【解析】

（1）設(shè)耳（一。,0）,6（。,0）,貝!|產(chǎn)冗，河=|—。2+'=（,由此即可求出橢圓方程；

311

（2）設(shè)直線乙的方程為丫-3=攵。-1）,聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得攵:-萬，則直線4斜率為務(wù)，設(shè)其方程為

y=gx+r,M（x，y）,N（X2，%），聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得PM，PN關(guān)于1=1對(duì)稱，可求得

勺=—；,4=；,假設(shè)存在直線〃滿足題意,沒kpM=_k,kpN=k,可得由此可得答案.

【詳解】

解：（1）設(shè)耳（一。,0）,6（。,0）,則尸片-PK=I—。2+\=',

c=1,6/=2,/?2=3,

22

所以橢圓方程為土+匕=1;

43

3

(2)設(shè)直線4的方程為y—/=1),

與工+匕=1聯(lián)立得(3+4〃與2+與(3-2Z)x+(3—2攵了—12=0,

43

.,?△=(),%=——,

2

因?yàn)閮芍本€的傾斜角互補(bǔ)，所以直線/2斜率為:，

設(shè)直線的方程為y=gx+，,M(5，y)N(x2，y2)，

聯(lián)立整理得+Zx+廣-3=0,△>0,廣<4,%+%=T，菁%2=——3,

_3,_3

yy2

'~2.~2_玉々+(/—2)(內(nèi)+x2)-(2r-3)_

?k4-I——V

??八PM二八PN

X|-1x2-I(%)-l)(x2-1)

所以關(guān)于x=l對(duì)稱，

PMMKPNNK

由正弦定理得----------=-----------,---------------------,

sinZPKMsinZMPKsinNPKNsinNNPK

因?yàn)镹MPK=NNPK/PKM+NPKN=180°,^\PM\-\KN\^\PN\-\KM\,

由上得勺

?222

假設(shè)存在直線4滿足題意，

設(shè)kpM=-k,kpN=k,次按某種排列成等比數(shù)列，設(shè)公比為q,則q=-l,

所以后=g,則此時(shí)直線PN與4平行或重合，與題意不符，

所以不存在滿足題意的直線人

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于難題.

-1

20.另一個(gè)特征值為1,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量a=.

【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3,可得4=1,再回代到方程/(2)=0即可解出另一個(gè)特征值為4=-1,最后利用求

特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.

【詳解】

矩陣"的特征多項(xiàng)式為：

2-1-2

=（A-l）（A-?）-4,

/（止-2A-a

???4=3是方程/（2）=0的一個(gè)根，

/、/、F12

；.（3-1）（3-a）-4=0,解得a=1,即M=1

二方程/（4=0即（丸一1）（丸一1）—4=0,幾2一22一3=0,

可得另一個(gè)特征值為：4=-1,

設(shè)人=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為：a=

_y_

cf-2x-2y=0

則由4a=Ma,得＜,得工=一丁，

-2x-2y=0

令x=l,貝!|丁=一1,

所以矩陣M另一個(gè)特征值為-1,

-1

對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量a=

一1

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式，屬于基礎(chǔ)題.

21.（1）G：%-6＞一1=0表示一條直線，G：（X—I）2+V=I是圓心為（i,o）,半徑為1的圓；⑵2.

【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線G的方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而可判斷出曲線

"222

a的形狀，在曲線G的方程兩邊同時(shí)乘以「得02=22cos。，由°=*+-v可將曲線c,的方程化為直角坐標(biāo)方

pcos3-x

程，由此可判斷出曲線G的形狀；

（2）由直線G過圓的圓心，可得出A3為圓a的一條直徑，進(jìn)而可得出|AB|.

【詳解】

(1)vC,:pcos6>-V3psin6>-l=0,則曲線G的普通方程為-1=0，

曲線G表示一條直線；

由C2：0=2COS。，得p2=2pcos。，則曲線G的直角坐標(biāo)方程為/+Y2=2X,即—+V=1.

所以，曲線G是圓心為。，0)，半徑為1的圓；

(2)由⑴知，點(diǎn)(1,0)在直線x-6y-1=0上，，直線