三維各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并

各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并劉永宏指導(dǎo)教師：焦志蓮（太原師范學(xué)院物理系，太原030031）【摘要】給出了二維、三維各向異性諧振子的能級(jí)及波函數(shù)，并討論各種情況下二維、三維各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并問題?！娟P(guān)鍵詞】各向異性諧振子，能級(jí)，波函數(shù)，能級(jí)簡(jiǎn)并。0.引言各向同性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并問題，很多量子力學(xué)教材都進(jìn)行了討論，譬如：曾謹(jǐn)言寫的《量子力學(xué)導(dǎo)論》就對(duì)各向同性諧振子作了詳細(xì)而深刻的分析。但是對(duì)于各向異性諧振子的問題，則很少有教材中進(jìn)行專門的討論。各向異性諧振子有其獨(dú)特的能級(jí)簡(jiǎn)并和對(duì)稱性，且在一定的近似條件下，可轉(zhuǎn)變?yōu)楦飨蛲灾C振子來處理。所以對(duì)于各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并研究，既能進(jìn)一步加深對(duì)各向同性諧振子的理解和應(yīng)用，同時(shí)又能為學(xué)習(xí)和探究更深層次的各向異性諧振子奠定基礎(chǔ)。本文先給出二維，三維各向異性諧振子的能級(jí)及波函數(shù)，然后討論相應(yīng)各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并度問題。1.各向異性諧振子的能級(jí)及波函數(shù)1.1二維各向異性諧振子的能量及波函數(shù)當(dāng)各向異性諧振子為二維情況時(shí)，體系哈密頓量在。巧坐標(biāo)系中可以表示為TOC\o"1-5"\h\z°P2P211H——+y+—日①2X2+—日①2y2(1)P21P21（2）H=—+2日①2X2,H=―^+2日①2y2求解哈密頓本征值方程，可以得體系能量及波函數(shù)的表示為n,n匕〃(x,y)-匕(氣x)匕(ay)“x，幾y"x尤"yy其中，各維波函數(shù)為W(ax)—Nexp(-2a2x2)H(a（2）n,n匕〃(x,y)-匕(氣x)匕(ay)“x，幾y"x尤"yy其中，各維波函數(shù)為W(ax)—Nexp(-2a2x2)H(ax);a=」—,n-0,1,2，…x'方x（3）（4）（5）nyyy2yyyy、力y1.2三維各向異性諧振子的能量及波函數(shù)在三維空間o-xyz中，三維諧振子的哈密頓量為H(x,y,z廣P十￡+P+2岬2xX2+2呻y2y2+2岬z(mì)2Z2(7),EP21LP21TTP21(8)令H=2^+2日①2x2,H=+2日①y,H=2^+2日①z2(8)由三維諧振子體系哈密頓量的本征值方程，可以求出的體系哈密頓量的本征值及相應(yīng)的本征值函數(shù)為En,n,nEn,n,n(9)（10）中(x,y,z)=中(ax)中(ay)中(az)nx,ny,nz"xx"yynzz其中，中〃（a：）、中〃（ay）的具體表示與（5）、（6）式完全相同，z方向的波函數(shù)為nxxnyyW（az）=Nexp（-1a2z2）H（az）;a=：性，n=0,1,2,...（11）"zzz2zzzz、力z2各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并（10）一般情況下，各向異性諧振子的能級(jí)并不簡(jiǎn)并。以下我們分別就二維、三維諧振子情況，對(duì)能級(jí)簡(jiǎn)并進(jìn)行了討論。2.1二維各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并能級(jí)E〃所對(duì)應(yīng)的量子狀態(tài)只有一個(gè)，即中〃〃（x,y）態(tài)，可以用（七,n）表示這個(gè)能態(tài)。“x，幾y"x"y尤y由（3）式可知，當(dāng)s,s滿足一定關(guān)系時(shí)，能級(jí)E有可能出現(xiàn)簡(jiǎn)并。設(shè)存在另一組態(tài)（n,n），TOC\o"1-5"\h\zxynx,n）,xy其能量E,,與E相等，即"x,"y'"\o"CurrentDocument"（n-n）s+（n1-n）s=0（12）令B=s/s，下面對(duì)各種情況進(jìn)行討論。2.1.1P為有理數(shù)的情形當(dāng)P為有理數(shù)時(shí)，s/sy可以表示為（（13）式中p,q為不可約正整數(shù)，將（13）式代入（12）式得（14）（n-n）/（n，-n）=-s/s=-qjp由于（n,n',ny（14）由于（n,n',ny,ny）的取值均可為0，12，因此，要使（14）式成立有三種可能XX情形:（1）ny<（1）ny<n的情況n'-n=kq,=-kp（15）（16）由于n'>0,由于n'>0,n>kp可得k=I，2,…,jp］.，其中［njp］表示njp這個(gè)數(shù)的整數(shù)部分。于是（n',n）有「njp］個(gè)可能的組態(tài)滿足（12）式。（2）ny>n的情況（17）（18）n'=n-（18）由于n>0,n>kq可得k=1,2,…,\n,.q］，\n.，；q］表示n/q這個(gè)數(shù)的整數(shù)部分（下面的類似表示也代表同樣的意義）。于是（n；,ny）還有\(zhòng)n/q］個(gè)可能的組態(tài)也滿足（12）式。（3）n=n，n=n的情況xxyy這種情況下只有一組能態(tài)，即能級(jí)E〃所對(duì)應(yīng)的量子狀態(tài)只有一個(gè)，即q,n）態(tài)。n"n：yXy綜合上述三種情況，當(dāng)P=s.'sx'yn/p］+\n/q］+1。為有理數(shù)時(shí)，（七,ny）的可能組態(tài)個(gè)數(shù)共有（19）它們均滿足（12）式和（14）式，它們的能量均為E〃，所以此能級(jí)的簡(jiǎn)并度就是f，由此可見，X,y二維各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并與參量3旺有關(guān)。=0,即n=n,由此還可以得到n=n。使其能量也為Exy，即能量是=0,即n=n,由此還可以得到n=n。使其能量也為Exy，即能量是這就說明，當(dāng)s/s為無理數(shù)時(shí)，不可能存在另一組態(tài)（x'y非簡(jiǎn)并的。2.2三維各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并三維各向異性諧振子能級(jí)￡5”，x，y，z所對(duì)應(yīng)的量子狀態(tài)只有一個(gè)即中（x,y,z）三維各向異性諧振子能級(jí)￡5”，x，y，z所對(duì)應(yīng)的量子狀態(tài)只有一個(gè)nx,n,n（n,n,n）表示這個(gè)能態(tài)。根據(jù)（9）式，當(dāng)s,s,s滿足一定關(guān)系時(shí)，能級(jí)Exyzxyz有可能出現(xiàn)nx,n,n簡(jiǎn)并，設(shè)存在另一組態(tài)(n,n,n)，其能量e與E相等，即xyznx,ny,n；nx,ny吃/1_/1/1/1_,+(n+—)hs+(n+^)力s=(n+—)力s+(n+^)力s+(n+(20)(n—n)s+(n—n)s+(n—n)s=0xxxyyyzzz(21)2.令P=sJsy,y=sJsz，下面對(duì)各種情形下的能級(jí)簡(jiǎn)并進(jìn)行討論。2.1s=0的情況當(dāng)①=0時(shí)，z（21）式簡(jiǎn)化為:(n—n)s+(n—n)s=0(22)對(duì)于這種情形，體系能級(jí)簡(jiǎn)并度與二維諧振子能級(jí)簡(jiǎn)并討論完全相同，在這里面就不再累述。但是，需要注意①z=0時(shí)，三維諧振子體系并非轉(zhuǎn)化為二維諧振子，此時(shí)只是三維諧振子體系哈密頓量轉(zhuǎn)化為〃P2P2P211H=—x—+—y+—z-+—|ns2x2+—|Lis2y2（23）P2與二維各向異性諧振子哈密頓量（1）式比較，相差一項(xiàng)廠，即此時(shí)三維諧振子體系在z軸方2pi向只有動(dòng)能部分，不存在勢(shì)能作用。2.2.2s豐0的情形當(dāng)sz^0時(shí)，P=s/sy,（21）式變?yōu)?(24)「(n'P+n')-(nP+n)加+(n'-n詢=0xy工yyzzz(1)當(dāng)(n'P+n')-(nP+n)=0時(shí)，得n'=n,n'=n,n'=n.(24)xyxyxxyyzz這種情況下只有一組能態(tài)，即能級(jí)七〃n所對(duì)應(yīng)的量子狀態(tài)只有一個(gè)，即（氣,n,n）態(tài)。nx"ny，nzxyz（2）當(dāng)（n'P+n'）-（nP+n）豐0時(shí)，（24）化簡(jiǎn)為TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"XyXy（25）（26）（27）n—n①（nP+n）—（nP+n）①下面就Y的各種取值情形下的能級(jí)簡(jiǎn)并進(jìn)行討論。（25）（26）（27）（一）Y為有理數(shù)的情形當(dāng)Y為有理數(shù)時(shí)，Y=3y/①z可以表示為Y=m：：n式中m,n為不可約正整數(shù)，將（26）式代入（25）式得:n—n①m(n'P+n)—(nP+n)①n由于（n,n',n,n,n,n）的取值均可為0，1，2，，因此，要使（27）式成立有兩種XXyy可能的情形如下：（1）n'<n的情形在此情況下，（27）式為TOC\o"1-5"\h\zn—nlm（28）（n—n）P+（n—n）In由于氣<氣,可得到n‘—n=—lm（29）（n-n）P+（n—n）=In（30）由（29）式可以得到(31)n‘=n—lm由于n>0,由（31）式得：(31)l<nz（32）m又由于In>0，所以對(duì)于（30）式的討論又有以下三種情況：（a）n>n，n>n情況尤尤yy令：（n-n）p=%，則由（30）式可得n-n=In-%（33）由于n-n>0，可得：In—np>0，即nl>-^（34）n所以由（32）與（34）式聯(lián)立得：―^<1<y，于是（n',n,n）有/=t—―^+1個(gè)nmxyz|_m_||_n可能的組態(tài)滿足（28）式。（b）n<n，n>n情況xx令：（n-n）p=—%，則由（30）式可得n—n=In+%（35）由于n-n=In+n本身大于零。所以l可取任意正整數(shù)，由（32）式可知（n',n,n）有[nm]yyPxyzz個(gè)可能的組態(tài)滿足（28）式。（c）n>n，n<n情況xxyy令：（n;-n）P=%，則由（30）式可得n-n=ln-%（36）由于n-n<0，可得:ln—n<0，即lv&（37）pn又由ny>0,得:(38)所以l的取值為從(38)所以l的取值為從［皿盧］到minJ的正整數(shù),于是（n',n',n'）同時(shí)還有尤yzf=mi{n-'、］-［&/*個(gè)可能的組態(tài)滿足（28）式。n=ln+n-n>0,即lZyyyPn的可能組態(tài)數(shù)共綜合上面三種情況，當(dāng)y=s；'s為有理數(shù)且n<n時(shí)，（n',n,n）zzzxyz的可能組態(tài)數(shù)共[n]r[n]+min<[n]2-'Lm」Ln」Ln」f=三］｝-［峭（2）當(dāng)n>n的情形從上式可以得到由（40）式可知+2個(gè)。lmzz(n—n)P+(n—n)Xxyyn-n=lmln（39）（40）(n-n)P+(n-n)=—ln<0（41）l可取任意正整數(shù)，但此時(shí)對(duì)（41）式也同樣有以下三種情況討論。(a)n'<n，n'<n情況xxyy令：(n—n)p=-np，由(41)式得到n-n=n§-ln(42)由n-n<0，得到nl>-Pn(43)又由n=n+np-ln>0，得到(44)所以，由(所以，由(43),(44)得l的取值為從到Iny+npI的正整數(shù)，于是(n',n,n)有(39)式。令：(n—n)p=%，由(41)式得到n'—n=—ln—(39)式。令：(n—n)p=%，由(41)式得到n'—n=—ln—%(45)因此匕n=n—ln—n^>0，得到(46)所以1取值為l=1,2，…,式。(c)n'<n,n>n情況xxy，于是(n',n,n)也有f=|罕%|個(gè)可能的組態(tài)滿足(39)xyzn令：(n—n)p=—n，P，(41)式得到因此得到n—n=—ln+%>0(47)(48)由(47)式可知，ny=n-ln+n疽0可得n+n「n]-y__R-—Ln」Ln」+1個(gè)可能的組態(tài)滿足(b)n'>n,n'<n情況xxyy(49)所以，l取值為所以，l取值為l=1,2,…,n「的正整數(shù)，于是(n',n,n)在這種情況下有f=%nxyzn個(gè)可能的組態(tài)滿足（39）式。綜合上面三種情況，當(dāng)為有理數(shù)且n'znz時(shí)，（n',n',n'）的可能組態(tài)個(gè)數(shù)有:態(tài)滿足（39）式。綜合上面三種情況，當(dāng)為有理數(shù)且n'znz時(shí)，（n',n',n'）的可能組態(tài)個(gè)數(shù)有:(二)為無理數(shù)的情形為無理數(shù)時(shí)，要使即：1。（24）式成立，(n'n)n'必然要求:n=0n'yn，n‘n。yzz（50）所以，在這種情況下三維各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并情況討論，同二維各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并相同。即為無理數(shù)時(shí)，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，y可能的簡(jiǎn)并度為fny/p+njq+1；y各向異性諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)并運(yùn)動(dòng)學(xué)特征3.1二維各向異性諧振子運(yùn)動(dòng)學(xué)特征由經(jīng)典動(dòng)力學(xué)考慮求解其經(jīng)典動(dòng)力學(xué)方程可得d2xdt2xAcos(（51）d2ydt2kyy，y3.1二維各向異性諧振子運(yùn)動(dòng)學(xué)特征由經(jīng)典動(dòng)力學(xué)考慮求解其經(jīng)典動(dòng)力學(xué)方程可得d2xdt2xAcos(（51）d2ydt2kyy，yAcos(（52）由以上兩式消去t可得二維各向異性諧振子的運(yùn)動(dòng)軌跡，顯然它是兩個(gè)互相垂直且頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的結(jié)果，一般情況下其軌跡是一條既不封閉，也不穩(wěn)定的曲線。當(dāng)且僅當(dāng)y為有理數(shù)時(shí)，這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成才呈現(xiàn)出周期性。即x/yp/q，為不可約正整數(shù)，則周數(shù)為2p/x2q/y（53）在一個(gè)周期中，x方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)來回振蕩口次，而y方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)來回振蕩4次。這時(shí)，二維各向異性諧振子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條穩(wěn)定的封閉曲線，即利薩如圖。由此可見，.■■■'為有理數(shù)x'y反映在運(yùn)動(dòng)學(xué)上，為二維各向異性諧振子的周期性，同時(shí)也反映了二維各向異性諧振子的某種對(duì)稱3.2三維各向異性諧振子運(yùn)動(dòng)學(xué)特征同3.1描述相同，在x,y軸方向經(jīng)典動(dòng)力學(xué)方程同（51）、（52）式，乙軸方向有d2z（54）r=-kz，dt2z（54）其中3=京項(xiàng)R。由（51）、（52）、（54）式消去t可得三維各向異性諧振子的運(yùn)動(dòng)軌道方程。對(duì)于三維各向異性諧振子，顯然它是三個(gè)互相垂直且頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的結(jié)果，一般情況下其軌道是一個(gè)既不封閉，也不穩(wěn)定的曲面。當(dāng)且僅當(dāng)S*:Sy:sz為有理數(shù)時(shí)，這三個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成才呈現(xiàn)出周期性。即們*:Sy：Sz=p:q:s，為不可約正整數(shù)，則其周數(shù)為：匚=2兀p/s=2兀qjs=2兀s/S（55）在一個(gè)周期中，x方向的簡(jiǎn)振動(dòng)來回振蕩p次，y方向的簡(jiǎn)振動(dòng)來回振蕩q次，而z方向的簡(jiǎn)振動(dòng)來回振蕩s次。這時(shí)，三維各向異性諧振子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)穩(wěn)定的閉合曲面。由此可見，s’:①y：sz為有理數(shù)反映在運(yùn)動(dòng)學(xué)上，為三維各向異性諧振子的周期性，同時(shí)也反