專題34幾何體外接球的與內(nèi)切球解題策略(解析版)

專題34幾何體外接球的與內(nèi)切球（解析版）幾何體的外接球問題：題目中涉及幾何體外接球體，或者球內(nèi)接幾何體，再或者說球面上有幾個點圍成幾何體，這類題型稱之為幾何體的外接球問題。幾何體的外接球問題你通常會想到：①畫出球體這類題80%以上①識別模型→②代入公式，、標明球心→②畫出球的內(nèi)接幾何體→③尋找突破口建立方程。圖，只需要2步搞定：就可以輕松求出外接球半徑R都不用畫常見幾何體的外接球半徑：正方體長方體正四面體例1．已知正方體棱長為2，點是上底面內(nèi)一動點，若三棱錐的外接球表面積恰ABCD1111________為，則此時點構(gòu)成的圖形面積為.【答案】.【分析】設(shè)三棱錐的外接球為球，分別取、的中點、，先確定球心在線段和中點的連線上，先求出OOOOOO，再用利勾股定值，然后用利勾股定理求出的值，于是得出1理求出點底面軌跡圓的半徑長，最后用利圓的面【詳解】如圖所示，設(shè)三棱錐的外接球為球，球的半徑的1在上積公式可求出答案．分別取、的中點、，則點在線段上，由于正方體的棱長為，2則的外接圓的半徑為，設(shè)球的半徑為，則，解得.所以，，3544OOOOOO2則11而點在上底面ABCD所形成的軌跡是以為圓心的圓，1111OPR2OO21，由于，所以11因此，點所構(gòu)成的圖形的面積為.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動點的軌跡，屬于中檔題.例2．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為，體積為，則這個球的表面積是416（）A．10B．20C．24D．32【答案】C【分析】各頂點都在一個球面上的正四棱柱，棱柱的體對角線即為球的直徑，再由球表面積公式即可求解.【詳解】因為正四棱柱高為4，體積為16，所以正四棱柱的底面積為，正四棱柱的底面的邊長為，正四棱柱的底面的對角線為，正四棱柱的對角線為，而球的直徑等于正四棱柱的對角線，即，R6,S4R224,球故選：CABCABC例3．在直三棱柱______.中，，，，，則該直三棱柱的外接球體積為111【答案】【分析】由直棱柱的特點可知，外接球球心位于上下底面外心連線的中點處，先通過解三角形得出底面的外接圓半徑，然后求出外接球半徑，得出外接球的體積.【詳解】ACAB2BC22ABBCcosπ5，得在中，由余弦定理得2.4所以的外接圓半徑.所以該三棱柱的外接球半徑.所以外接球體積.故答案為：.【點睛】本題考查直棱柱的外接球半徑計算，考查球的體積計算公式，難度一般，找出球心，解出半徑是關(guān)鍵.模型一——圓柱外接球模型r，高為h的圓柱，求它的外接球半徑一個底面半徑為.變形一：如果我們對圓柱上下底面對應(yīng)位置處，取相同數(shù)量的點，比如都取三個點，如右圖所示：我們可以得到（直）三棱柱，它的外接球其實就是這個圓柱的外接球，所以說直棱柱的外接球求半徑符合這個模型。在這里棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面外接圓的半徑則是公式中的r4例，一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為，則球的表面積為（）acmA．【答案】A【分析】B．C．D．由已知得正方體的體對角線就是正方體的外接球的直徑，求得外接球的半徑，再由球的表面積公式可得選項.【詳解】如圖所示，正方體的體解得，對角線就是正方體的外接球的直徑，設(shè)正方體的外接球為R，則，所以外接球的表面積為，故選：A.【點睛】本題考查正方體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于求出球的半徑，屬于基礎(chǔ)題.ABCABC中，，，，5例．在直三棱柱若該三棱柱的外接球表面積為，則三棱柱的高111為（）A．2【答案】C【分析】B．C．4D．利用余弦定理求得，利用正弦定理求得三角形外接圓半徑，由此求得外接球半徑的表達式，利用外接球的表面積列方程，解方程求得三棱柱的高.【詳解】ACAB2BC22ABBCcosπ5，得.在中，24所以的外接圓半徑.設(shè)該三棱柱的高為，則該三棱柱的外接球半徑.所以外接球表面積S4πR24π110h26π.解得24故選：C【點睛】本小題主要考查幾何體外接球的有關(guān)計算，考查運算求解能力.變形二：如果把上面的那個三棱柱上面的B,C1兩點去掉我們將得到右圖三棱錐：1.為同一球面上的四個點在△ABC中，，ABAC23；AD=6，6A?B?C?D例．已知___________⊥平面，【答案】【分析】則該球的體積為.設(shè)的外接圓圓心為，球心為，根據(jù)線面垂直關(guān)系先求出，再求出由余弦定理求出，由為球的半徑，所以為直角三角形，用勾股定理及可求出球的半徑，再由球的體積公式即可求解.【詳解】⊥平面，由題設(shè)的外接圓圓心為，球心為，所以平面，因為所以與平行，因為,OAOD，所以,因為，ABAC23，由余弦定理可得，所以，所以球的半徑，34積為V3212821.所以球的體故答案為：【點睛】本題主要考查球體積的求法，球的內(nèi)接問題，考查學生空間想象能力和計算能力.變形三規(guī)律總結(jié)：h2圓柱外接球模型-----Rr2適用于：4①圓柱-------r,h自帶②直棱柱-------r:底面外接圓半徑；h:直棱柱的高③一根側(cè)棱⊥底面的錐體-------r:底面外接圓半徑；h:垂直于底面的那條側(cè)棱④一個側(cè)面⊥矩形底面的四棱錐-------r:垂直底面的側(cè)面的外接圓半徑；h:垂直于那個側(cè)面的底邊長小結(jié)：求r的幾種方法：①等邊三角形：②直角三角形：r斜邊的一半③已知一組對邊和對角的非特殊三角形：利用正弦定理?。?！PABCD中，底面是正方形，PDAB2，平面．在這個四棱7例．如圖，在棱錐錐中放入一個球，則球的最大半徑為（）A．B．D．C．2D【答案】【分析】設(shè)球心為，連接，、、、，則把此四棱錐分為五個棱錐，利用這五個棱錐的體積之和等SPABCD的體積，則球的最大半徑可求于棱錐.【詳解】ABADPDADD，解：由平面，，又，所以平面，所以PAAB，，設(shè)此球半徑為，最大的球應(yīng)與四棱錐各個面都相切，設(shè)球心為，連接，、、、，則把RS此四棱錐分為五個棱錐，它們的高均為．R1SPD12222，2四棱錐的體積V333PABCDABCD四棱錐的表面積422，S2S△PAD2SS212221222222△PABABCD因為，所以．故選：D.【點睛】考查利用等體積法求四棱錐內(nèi)切球的半徑，基礎(chǔ)題.模型二——補全立方體模型.正四面體：方法：如圖所示正四面體ABCD的外接球，類型一轉(zhuǎn)化成正方體的外接球可轉(zhuǎn)化為正方體的外接球.8例．三棱錐的所有頂點都在半徑為的球的球面上若是等邊三角形，平面平面，2.ABBC，則三棱錐體積的最大值為________.【答案】3【分析】作圖，設(shè)，則，，312PO1xOO24x2，求出，根據(jù)圖像得，底面三角形的面積最大221時，即底面為等腰直角三角形時，三棱錐的體積最大，進而求解可得答案【詳解】根據(jù)ABBC可知，為三角形所在截面圓的直徑，又平面平面，為等邊三角形，所以在上，如圖所示，設(shè)，則，，312PO1xOO24x2，，221，，，，當?shù)酌嫒切蔚拿娣e最大時，即底面為等腰直角三角形時，三棱錐的體積最大，此時，故答案為：3【點睛】關(guān)鍵點睛：解題關(guān)鍵是根據(jù)三角形的形狀判斷球心的位置，得出到平面的最大距離，難度屬于中檔題類型二.有三個面是直角三角形的三棱錐：轉(zhuǎn)化成正方體或長方體的外接球DA平面ABCABBC，，例9：已知球的面上四點A、B、C、D，DA=AB=BC=3，則球的體積等于.解析：DA=AB=BC=3，則此長方體為正方體，所以長即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的體積等于.（如圖4）圖4類型三.有四個面是直角三角形的三棱錐：轉(zhuǎn)化成正方體或長方體的外接球AB平面BCDBCDC，若，例10.已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB6,AC=213,AD=8，則球的體積是.解析：構(gòu)造下面的長方體，于是為球的直徑（如圖5）類型四.對棱相等的三棱錐：轉(zhuǎn)化成長方體的外接球例．在三棱錐中，SABC5,SBAC17,SCAB10，則該三棱錐外接11球的表面積為（）A．B．C．D．C【答案】【分析】由于三棱錐對棱相等，可將它補成一個長方體，利用長方體求得其外接球的半徑，得球表面積．【詳解】因為SABC5,SBAC17,SCAB10，所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，設(shè)長方體的長寬、高分別為，，，則有整理得abcabc26，則該棱222錐外接球的半徑，4R226．球故選：C．【點睛】本題考查求三棱錐外接球的表面積，解題關(guān)鍵是求出球的半徑，方法是把球放在一個長方體中，三棱錐的各棱是長方體六個面上面對角線．三.確定球心位置法例．在四面體中，平面，90,2,AB1，則該四面體的外接球的表12ABCSAAC面積為（）A．B．C．D．C【答案】【分析】根據(jù)題目條件先確定出外接球的球心，得出外接球半徑，然后計算表面積.【詳解】因為平面，平面，所以，又ABC90，SAABA，且平面，平面，所以平面，所以BCSB.因為SAAC2,AB1，所以，，，根據(jù)該幾何體的特點可知，該四面體的外接球球心位于的中點，則外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積為.故選：C.,【點睛】本題考查棱錐的外接球問題，難度一般，根據(jù)幾何條件確定出球心是關(guān)鍵.例．張衡年年是中國東漢時期偉大的天文學家文學家數(shù)學家他的數(shù)學著作?13?(78~139).有《算球與內(nèi)切球上各有一個）罔論》，他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接動點，，若線段的最小值為，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外接球的表面積為（A．30B．C．D．36【答案】C【分析】設(shè)正方體的棱長為，正方體的內(nèi)切球半徑為，正方體的外接球半徑，再已知條件和球的表面積公式可得選項.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，正方體的內(nèi)切球半徑為，a222正方體的外接球半徑滿足：R22a，則.2由題意知：，則，，該正方體的外接球的表面積為，又因為圓周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，所以外接球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查正方體的外接球，內(nèi)切球的相關(guān)計算，以及數(shù)學文化，屬于中檔題.四．尋求軸截面圓半徑法ABCABC，其中，若，當四棱錐BAACC1例14．如圖所示的三棱柱體積最大1111時，三棱柱ABCABC外接球的體積為（）111A．【答案】C【分析】B．C．D．四棱錐BAACC體積是三棱柱ABCABC體積的，因此要三棱柱ABCABC體11111111積，而棱柱的高最大值為，因此只要最大即可，此時三棱柱ABCABC是直三棱柱，111且底面是直角三角形，是斜邊，因此其外接球球心是和的交點．由此可得外接球半徑．【詳解】1VABCABCV2，∴只要三棱柱ABCABC體積111∵VBABC，∴VBAACC33ABCABC11111取最大值，則四棱錐BAACC體積最大，三棱柱ABCABC的高最大值為，11111∴此時1ACBCAAACBC，ACBC2AB242ACBC，當且僅當221ACBC時等號成立，∴ACBC的最大值為2（此時ACBC2），∴．連接交EFAB，從而平面，由知是的外心，∴是三棱柱于點，設(shè)分別是的中點，則，且4OA34(2)3382．3ABCABC外接球的球心，在正方形中，，∴V1113故選：C．【點睛】本題考查球的體積，考查三棱柱與其外接球，考查棱柱與棱錐的體積．本題難點有兩個，一個是三棱柱體積最大時三棱柱中的線面位置關(guān)系，一個是外接球的球心位置．多面體的外接球球心一定在過各面外心的該面的垂線上．，PAPC例15．如圖所示，在三棱錐中，面面，ABC9032，BABC2，則三棱錐的外接球的體積為______.【答案】【分析】先確定底面等腰直角三角形的外接圓圓心是中點，則球心一定在面的垂線上，再利用是的外心列關(guān)系計算半徑，即求得體積.【詳解】如圖，取中點，連接，BABC2，ABC90，，且為的外心.PAPC32，是中點，POAC，又面面，交線是，故面，則三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)為點，則點是的外心，AGGP即為球半徑R.中，PAPC32，，故，22R2，解得，在RtAOG中GO2AO2AG2，4R2故球的體積為.故答案為：.【點睛】求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)其到其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.本題就是采用這個方法.1．2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ）已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，OOAB23，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，1OOOA,ROAOO2OA2OO2r24，11111.S4R264球的表面積故選：A【點睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．2018年全國卷Ⅲ理數(shù)高考試題同一個半徑為的球的球面為，則三棱錐DABC上四點，為等邊三角形且其面積設(shè)是4體積的最大值為A．B．C．D．【答案】B【詳解】分析：作圖，交點，點判斷出當平面時，三棱D為MO與球的M為三角形ABC的中心，錐DABC體積最大，然后進行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當平面時，三棱錐DABC體積最大此時，ODOBR4,點M為三角形ABC的中心RtOMBOMOB2BM22中，有1936183V3DABCmax點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由，則該球體積V的最大值是D．B.，故選.考點：球及其性質(zhì)4．2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅰ）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，△是邊長為的正三P-ABCOPA=PB=PCABC2角形，，分別是，的中點，∠°，則球的體積為EFPAABCEF=90OA．B．C．D．D【答案】【分析】先得證平面，再求得PAPBPC2，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:PAPBPC,ABC為邊長為2的等邊三角形，PABC為正三棱錐，PBAC，又，分別為、中點，EF//PBEFACEFCE，CEACC,EF平面，平面，，，，又PABC為正方體一部分，2R2226，即R6,V4R3436686，故選D．23解法二:設(shè)，分別為中點，EF//PB，且，為邊長為2的等邊三角形，又CEF90CE3x,AE1PAx22x243x2，作PDAC于，PAPC，中余弦定理cosEAC22xcosEACAD1為中點，，，PA2xPAPBPC2，又，PA,PB,PC兩兩垂直，，，，V4R34666，故選.D338【點睛】本題考查學生空間想象能力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進而補體成正方體解決．5．2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（全國2卷）體積為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為A．B．C．D．A【答案】【解析】82試題分析：因為正方體的體積為，所以棱長為，所以正方體的體對角線長為，所以正方，故選4(3)212A.體的外接球的半徑為，所以該球的表面積為【考點】正方體的性質(zhì)，球的表面積【名師點睛】與棱長為的正方體相關(guān)的球有三個：外接球、內(nèi)切球和與各條棱都相切的球，其半徑分別為、和.6．2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（新課標3卷），則該球體積V的最大值是D．【解析】.考點：球及其性質(zhì)已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體C．D．C【答案】【詳解】如圖所示，當點位于垂直C于面的直徑端點時，三棱錐OABC的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時VVCAOB11R2R1R336，故，則球的32表面積為OABC6S4R2144，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積．8．2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）新課標文科數(shù)學設(shè)長方體的長、寬、高分別為，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為A．3a2B．6a2C．12a2D．24a2【答案】B【詳解】方體的長、寬、高分別為,其頂點都在一個球面上,長方體的對角線的長就是外接球的直徑，所以球直徑為：，所以球的半徑為，所以球的表面積是，故選B9．（2017新課標全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A．B．D．C．【答案】B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，233ππ由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是Vr1π，故選B.22h4【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，定確球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.二、填空題10．2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（新課標1卷精編版）已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面平面SCB，，SBBC，三棱錐的體積為9，則球O的表面積為______．【答案】36π【解析】三棱錐S?ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S?ABC的體積為9，可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r，可得，解得r=3.球O的表面積為：4r236.點睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球