高考熱點(diǎn)題型聚焦(四)《解析幾何》

金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)2010年廣東高考熱點(diǎn)題型聚焦（四）《解析幾何》廣東課標(biāo)高考三年來風(fēng)格特點(diǎn)（1）表現(xiàn)形式上是多曲線綜合；（2）圓錐曲線重在定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；（3）核心是直線和圓的位置關(guān)系；（4）方法上強(qiáng)調(diào)：數(shù)形結(jié)合的思想方法、方程思想、待定系數(shù)法；（5）能力上要求：圖形探究能力、逆向探究能力、運(yùn)算求解能力、閱讀理解能力.參考題目：1.設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)圓過，且圓心在曲線上，是圓在軸上截得的弦，試探究當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長是否為定值？為什么？解：（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線………………2分∵∴∴曲線方程是………4分（2）解法1：過點(diǎn)M作ｘ軸的垂線，垂足為D,則點(diǎn)D平分EG,設(shè)圓心為，則,,即當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長為定值4.解法2：設(shè)圓的圓心為，∵圓過，∴圓的方程為………7分令得：設(shè)圓與軸的兩交點(diǎn)分別為，方法1：不妨設(shè)，由求根公式得，…………10分∴又∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴，即＝4--------------------------------13分∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長為定值4…………………14分〔方法2：∵，∴又∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長為定值4〕2．已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn).（1）求的方程；（2）過點(diǎn)且互相垂直的直線與圓分別相交于點(diǎn)和，求的最大值，并求此時(shí)直線的方程.解：（1）點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，.∴雙曲線，從而，∴，且.①又點(diǎn)在橢圓上，則②由①②得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)圓的圓心為，、被圓所截得弦的中點(diǎn)分別為，弦長分別為，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所?即，化簡得從而，等號成立，時(shí)，，解：（I）依題意，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上……2分因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離等于4所以圓心的軌跡是（II）解法一：由已知，故將（1）式兩邊平方并把（3）解（2）、（3）式得， 且有 …………8分拋物線方程為 所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是 ……11分 所以為定值，其值為0. …………13分 解法二：由已知N（0，2） ， …………8分后面解法和解法一相同5．已知圓：交軸于兩點(diǎn)，曲線是以為長軸，直線：為準(zhǔn)線的橢圓．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是直線上的任意一點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相交于兩點(diǎn)，求證：直線必過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖所示，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，試求此時(shí)弦的長．解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則：，從而：，故,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）設(shè)，則圓方程為與圓聯(lián)立消去得的方程為，過定點(diǎn)。（Ⅲ）解法一：設(shè)，則,………①，，即：代入①解得：（舍去正值），，所以，從而圓心到直線的距離，從而。解法二：過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，設(shè)的傾斜角為，則：，從而，由得：，，故，由此直線的方程為，以下同解法一。解法三：將與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去得：,設(shè)，則。，，所以代入韋達(dá)定理得：，