理學(xué)扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)

理學(xué)扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)第1頁/共77頁2概述§1扭矩及扭矩圖§2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)§3圓桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力·強(qiáng)度§4圓桿扭轉(zhuǎn)變形·剛度扭轉(zhuǎn)超靜定問題§5密圈螺旋彈簧§6非圓截面桿自由扭轉(zhuǎn)§7薄壁截面自由扭轉(zhuǎn)應(yīng)力第三章扭轉(zhuǎn)第2頁/共77頁3O軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件.受力特點(diǎn)：AB扭轉(zhuǎn)角：變形特點(diǎn):切應(yīng)變：直角的改變量.任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的角位移.外力偶——任意兩截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動.如：機(jī)器中的傳動軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等.轉(zhuǎn)動面垂直于桿軸線概述第3頁/共77頁4工程實(shí)例電主軸

螺旋鉆桿

第4頁/共77頁5工程實(shí)例傳動主軸扭轉(zhuǎn)操縱桿第5頁/共77頁6扭轉(zhuǎn)工程實(shí)例汽車傳動主軸輪軸第6頁/共77頁7扭轉(zhuǎn)工程實(shí)

例方向盤操縱桿第7頁/共77頁8鉆機(jī)

第8頁/共77頁9石油鉆旋挖式入巖鉆機(jī)第9頁/共77頁10一.外力偶矩NP—功率，千瓦（kW）

馬力（PS）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（r/min）傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：§1

扭矩(圖)1kW=1.36PS,

1PS=735.5N·m/s扭轉(zhuǎn)第10頁/共77頁11扭矩矢

(右手螺旋法則定)拉為正

二.扭矩及扭矩圖

由求出1

扭矩T

：MeMeMexT(扭矩矢沿外法線方向，背離截面為正,反之為負(fù))扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動面垂直于軸線的內(nèi)力偶矩

符號規(guī)定：

第11頁/共77頁12

2

扭矩圖：①扭矩變化規(guī)律②|T|max值及其截面位置,強(qiáng)度計算（危險截面）扭轉(zhuǎn)Me1Me2MeMe3表示沿桿軸線各橫截面位置---相應(yīng)截面扭矩的變化關(guān)系圖線。第12頁/共77頁13[例1]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入

P1=500kW，從動輪輸出

P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖m2m3

m1

m4解：①計算外力偶矩扭轉(zhuǎn)ABCD第13頁/共77頁14②求扭矩（按正方向設(shè)）6.374.784.784.78T4.789.566.37–（kNm）BC段為危險截面6.3715.94.784.78ABCD123第14頁/共77頁15CmLM已知[例]

鉆機(jī)鉆桿，繪制扭矩圖.設(shè)工件阻力矩m沿桿長度均勻分布.解：①求阻力矩——整體平衡②截面法——部分平衡xT(x)T圖x第15頁/共77頁16§2薄壁圓筒受扭一、薄壁圓筒受扭

實(shí)驗(yàn)前：圓筒壁厚（r為平均半徑）①繪縱向線，r②施加一對外力偶圓周線；第16頁/共77頁17扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)后：(各矩形網(wǎng)格均成同樣的歪斜平行四邊形)①各圓周線形狀大小和間距均未改變，

變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動平面假設(shè)：②各縱向線均傾斜同一微小角度

僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動第17頁/共77頁18結(jié)論：橫截面無正應(yīng)力,僅有切應(yīng)力觀察分析②方向垂直于半徑①大小沿圓周和壁厚不變（沿周向、徑向均勻分布）（左右兩微面無距離改變，僅相對錯動）(變形極對稱、筒壁很薄)(錯動沿圓周切線方向)扭轉(zhuǎn)δ筒壁表面變形

橫截面切應(yīng)力分布推論：T（轉(zhuǎn)向與截面扭矩一致）g第18頁/共77頁19δr

薄壁圓筒

大小：(由合力矩定理)扭轉(zhuǎn)T第19頁/共77頁20z二、切應(yīng)力互等

單元體相互垂直兩微面上，切應(yīng)力必成對出現(xiàn)，且（數(shù)值）相等，（方向）相反上式稱為切應(yīng)力互等定理

單元體上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)（都垂直于兩微面交線，方向都同指向或背離該交線）各微面切應(yīng)力關(guān)系第20頁/共77頁21三、剪切Hooke定律：

lT切應(yīng)力不超過材料剪切比例極限時（τ≤τp)，剪切Hooke定律：切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比第21頁/共77頁22

式中：G

材料的彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定.

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù).對各向同性材料可以證明，彈性常數(shù)G、E、υ存在關(guān)系扭轉(zhuǎn)第22頁/共77頁23§3圓桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

實(shí)驗(yàn)觀察：

同樣可得平面假設(shè)表面變形全同薄壁圓筒同樣可得結(jié)論:

橫截面上無正應(yīng)力,僅有切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)RR第23頁/共77頁24oodx①變形幾何關(guān)系一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力：取微段，兩截面相距dx.相對扭轉(zhuǎn)角b'ba②物理關(guān)系③靜力學(xué)關(guān)系xdx第24頁/共77頁25ooR1.變形幾何關(guān)系：距圓心為任一點(diǎn)處——

扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率切應(yīng)變分布規(guī)律:bb'方向垂直于半徑.與其到圓心的距離成正比，第25頁/共77頁26T2.物理關(guān)系：代入Hooke定律：切應(yīng)力分布規(guī)律:距圓心為任一點(diǎn)處與該點(diǎn)到圓心距離成正比,（Note:任一直徑，圓點(diǎn)兩側(cè)對稱等距離兩點(diǎn)——相等相反、平行不共線而形成力偶）方向垂直于半徑.第26頁/共77頁273.靜力學(xué)關(guān)系：T(令)dA由合力矩定理得:(

剪力微分)O(扭矩=各微剪力對圓形心之矩)

代入關(guān)系式：pITrtr=第27頁/共77頁28—橫截面上距圓心為

處任一點(diǎn)切應(yīng)力僅適用于各向同性、線彈性材料，小變形的等圓截面直桿②式中：T—橫截面上扭矩,③也適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同（可仿照實(shí)圓桿導(dǎo)出同樣公式）扭轉(zhuǎn)4.公式說明：Ip—極慣性矩，幾何量

—該點(diǎn)到圓心的距離第28頁/共77頁29DddD實(shí)心圓截面：空心圓截面：扭轉(zhuǎn)OOd第29頁/共77頁305080[例]漿葉攪拌器軸求n截面k點(diǎn)和軸的1KNm3KNm4KNmnk30解：①求②求第30頁/共77頁31TT（實(shí)心截面）二、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計算

應(yīng)力分布1.最大切應(yīng)力：

由截面應(yīng)力分布可知:（空心截面）扭轉(zhuǎn)出現(xiàn)在截面邊緣()第31頁/共77頁32Wt

—抗扭截面系數(shù)（模量），實(shí)心圓截面：空心圓截面：幾何量，單位：mm3或m3.D第32頁/共77頁33強(qiáng)度條件：(許用切應(yīng)力)強(qiáng)度計算三問題：①校核強(qiáng)度：②

設(shè)計截面尺寸：③

計算許可載荷：即:2.強(qiáng)度計算第33頁/共77頁34[例2]功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力

[]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度滿足強(qiáng)度要求D3=135D2=75D1=70ABCmm第34頁/共77頁35主軸牙嵌式離合器,已知：

[]=60MPa,傳遞最大偶矩為1.5KNm,空心圓軸的內(nèi)外徑之比

=0.8。二軸長度相同。求:實(shí)心軸徑d1和空心軸內(nèi)外徑；比較二軸重量比[例]TT扭轉(zhuǎn)第35頁/共77頁36解：①②③重量比[τ]=60MPaT=1.5KNm

=0.8第36頁/共77頁37TtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）

工程上有時采用空心截面構(gòu)件：以提高強(qiáng)度,節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛扭轉(zhuǎn)[討論]:如果其它條件相同,空心軸比實(shí)心軸重量輕,耗材少.此現(xiàn)象可用扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分布規(guī)律或截面材料分布來說明.第37頁/共77頁38車載旋挖鉆機(jī)扭轉(zhuǎn)

但其加工工藝難,壁厚過薄則易失穩(wěn),且管若開口(有縫)則承載力大為降低.第38頁/共77頁39開口/閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)比較扭轉(zhuǎn)第39頁/共77頁40§4圓桿扭轉(zhuǎn)變形

一、扭轉(zhuǎn)變形②若兩截面間值變化，則應(yīng)分段應(yīng)用上式任意相距

dx兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角相距

l兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角①若兩截面間值均不變(常數(shù)):l代數(shù)求和（離散變化）或積分（連續(xù)變化）x第40頁/共77頁41階梯形圓軸,求[例1]解：T（N·m）[例]（思考：代數(shù)和＋－？）1400620ACB1400N·m620N·m780N·m第41頁/共77頁42ACBLM已知m[例2]xxT(x)解：T圖前已解出：dx(微段dx的相對扭轉(zhuǎn)角）(A-B相對扭轉(zhuǎn)角=無數(shù)微段相對扭轉(zhuǎn)角集合）求A、B間相對扭轉(zhuǎn)角鉆桿，（已知L

、G、IP

）設(shè)工件阻力矩m

沿桿長度均勻分布.（思考:如何求A-C之間相對扭轉(zhuǎn)角?）mdφ第42頁/共77頁43單位扭轉(zhuǎn)角：二、剛度條件GIp反映截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面抗扭剛度（許用單位扭轉(zhuǎn)角）剛度條件

軸類零件除滿足強(qiáng)度條件外，還不應(yīng)有過大的扭轉(zhuǎn)變形，如：工程中扭轉(zhuǎn)變形可通過單位扭轉(zhuǎn)角控制

車床絲杠、磨、鏜床傳動軸若扭角過大，則易影響進(jìn)刀或引起扭振，影響加工精度、光潔度第43頁/共77頁44500400P1P3P2

ACB

[例3]某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率P1=368KW，輸出功率分別P2=147KW,P3=221KW，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m

，試確定：①AB

段直徑d1和BC段直徑d2

？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？解：①扭矩圖Tx–7.024–4.21(kNm)7.0244.212.814③主動輪與從動輪如何安排合理？第44頁/共77頁45

.由剛度條件：綜上：②全軸選同一直徑時.由強(qiáng)度條件：–7.024–4.21G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m(kNm)T第45頁/共77頁46Tx–4.21(kNm)2.814T–7.024–4.21(kNm)500400

ACB

500400

ACB

③軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)

該換位.7.0244.212.8147.0244.212.814換位后,扭矩圖所示,軸此時最大直徑為75mm第46頁/共77頁47三、扭轉(zhuǎn)超靜定問題①②MeMAMB（基本方法步驟同拉壓,以例說明）解：①軸力偶平衡①②變形幾何關(guān)系:③力偶-變形關(guān)系

③聯(lián)立①③②（T1=－MA

）①②ACBMe第47頁/共77頁48①②2.二軸因扭轉(zhuǎn)變形各企圖回彈,但受另端(固端)阻抗;3.二軸間有相互作用力偶(相等相反),即二軸的扭矩

裝配后,1.二軸端必在兩孔間某一位置相聯(lián);分析思考:（已知

）管1與軸2相互套接，端部銷釘孔相差角

求兩構(gòu)件裝配后所受扭矩[例5]第48頁/共77頁49①

力偶平衡②變形幾何關(guān)系:裝配后,1.二軸端必在兩孔間某一位置相聯(lián);③力偶-轉(zhuǎn)角關(guān)系②聯(lián)立①③①③2.二軸因扭轉(zhuǎn)變形各企回彈,但受另一端(固端)阻抗;3二軸間有相互作用力偶(相等相反),即為二軸的扭矩①②解：第49頁/共77頁50平衡方程；幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程）；物理方程平衡-補(bǔ)充方程聯(lián)立求解①②③④補(bǔ)充方程：(由幾何方程和物理方程得)扭轉(zhuǎn)超靜定問題求解方法步驟：第50頁/共77頁51(功之微分)(體積微分)考慮純剪切狀態(tài)的一單元體，計算其應(yīng)變能密度四、剪切應(yīng)變能第51頁/共77頁52[例]長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，若桿內(nèi)外徑之比

=0.8，G=80GPa，許用切應(yīng)力[]=30MPa，試設(shè)計桿的外徑；[]=2o/m，試校核此桿剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：①計算桿外徑2mm=20Nm/m第52頁/共77頁5340NmxT代入數(shù)值得：D0.0226m。②剛度條件校核剛度2mm=20Nm/m第53頁/共77頁5440NmxT③右端面轉(zhuǎn)角為：(弧度)第54頁/共77頁55[例5]長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為=0.8，外徑D=0.0226m，G=80GPa，試求固端反力偶。①平衡方程為：②幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程mm=20Nm/m2mABmAmB受力圖如圖示，

一次超靜定問題解：第55頁/共77頁56③綜合物理方程與幾何方程——補(bǔ)充方程：④由平衡方程和補(bǔ)充方程得：另:此題可由對稱性直接求得結(jié)果O第56頁/共77頁57

常用于緩沖減振（機(jī)車底盤壓簧、振動機(jī)械的緩沖簧、沙發(fā)壓簧……

）；§5圓柱形密圈螺旋彈簧緩沖減振、制動圓柱形螺旋彈簧工程應(yīng)用廣泛：第57頁/共77頁58機(jī)車底盤扭轉(zhuǎn)復(fù)位彈簧刀桿凸輪機(jī)構(gòu)頂桿

又多用于控制機(jī)械的返回運(yùn)動（凸輪機(jī)構(gòu)頂桿彈簧、氣閥彈簧、剎車制動系統(tǒng)的復(fù)位彈簧……）；

另外，還可用于測力（彈簧秤中的拉、壓、扭簧……）第58頁/共77頁59

螺旋彈簧其軸線為空間螺線，所以應(yīng)力、變形精確分析很復(fù)雜.固工程計算一般近似處理：①當(dāng)螺旋角很小，可近似認(rèn)為簧絲橫截面與簧圈軸線在同一平面②

當(dāng)簧絲直徑d遠(yuǎn)小于簧圈平均直徑D時，可略去簧絲曲率影響，近似用直桿公式計算d(絲徑)D(圈徑)第59頁/共77頁60一.簧絲橫截面應(yīng)力+=T（平移剪切）(旋轉(zhuǎn)剪切)（截面周邊）近似值：當(dāng)時：可省略：TDd(絲徑)(圈徑)D/2第60頁/共77頁61

簧絲強(qiáng)度條件:其中：稱為彈簧指數(shù)稱為曲度系數(shù)（修正公式）當(dāng)可省略：考慮彈簧曲率及切應(yīng)力不均勻影響第61頁/共77頁62二.簧圈變形(能量法）（外力功）（應(yīng)變能）（L—簧絲全長）（n—

有效圈數(shù)）思考：欲彈簧形變?。啃巫兇?？（V—

簧絲體積）d(絲徑)第62頁/共77頁63ABDEa/2a/2bL

Fd（軸承）（軸承）

軸AB

兩端與兩剛桿（變形不計）剛性連接，兩根彈簧剛度皆為C.加載前軸與兩桿都在水平面內(nèi).[例]扭轉(zhuǎn)分析思考:C點(diǎn)位移是因軸B點(diǎn)轉(zhuǎn)動引起:軸AB自身扭轉(zhuǎn)變形;軸AB因彈簧變形剛體轉(zhuǎn)動求力F

作用點(diǎn)位移.第63頁/共77頁64ABDEa/2a/2bL

Fd解：②軸扭轉(zhuǎn)變形：(彈簧位移)(彈簧桿轉(zhuǎn)角)①軸剛體轉(zhuǎn)動③總轉(zhuǎn)角C點(diǎn)位移扭轉(zhuǎn)第64頁/共77頁65[例]

圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：D=125mm，簧絲直徑為：d=18mm，受拉力P=500N的作用，試求最大剪應(yīng)力的近似值和精確值；若G=82GPa，欲使彈簧變形等于6mm，問彈簧至少應(yīng)有幾圈？解：①最大剪應(yīng)力的近似值：第65頁/共77頁66②最大剪應(yīng)力的精確值：③彈簧圈數(shù)：（圈）第66頁/共77頁67各截面發(fā)生翹曲——不保持平面.

非圓截面桿的翹曲情況，隨桿端約束情況不同而不同§6非圓截面桿自由扭轉(zhuǎn)非圓截面桿：平面假設(shè)不成立.一、自由和約束扭轉(zhuǎn)由等直圓桿扭轉(zhuǎn)推出的應(yīng)力、變形公式不再適用.須由彈性力學(xué)方法求解第67頁/共77頁68（各截面翹曲不受約束）（截面翹曲受約束）自由扭轉(zhuǎn)①約束扭轉(zhuǎn)②

任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同

——

相鄰截面翹曲程度不同，不可自由變形

——僅無既