行列式按一行列展開

行列式按一行列展開1第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二例如一、余子式與代數(shù)余子式2第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如3第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二4第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．證當位于第一行第一列時,即有又從而再證一般情形,此時5第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二得6第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二得7第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二8第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二中的余子式9第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二故得于是有10第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二定理4.1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即或二、行列式按行（列）展開法則11第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二下面我們對行的情形給出證明：證12第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二13第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二例114第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二15第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二

證用數(shù)學歸納法例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式16第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二17第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二n-1階范德蒙德行列式18第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或19第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二證20第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二同理相同21第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)22第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二例３計算行列式解按第一行展開，得23第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二例４計算行列式解24第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二25第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二*拉普拉斯定理26第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二27第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二28第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二定理4.1（拉普拉斯定理）設在行列式D中任意取定了k(1≤k<n)個行。由這k行元素所組成的一切k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。29第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二例證明30第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二證明按前k行展開根據(jù)拉普拉斯定理，去掉為零的項立即可得結(jié)論，這相對上一節(jié)的方法而言，明顯簡單得多。31第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二例1計算5階行列式32第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二

所以D=12－6=6.解:對D的第1,3行用Laplace定理,在第1,3行中不為零的二階子式分別是

它們各自對應的代數(shù)余子式是33第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二例2計算2n階行列式34第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二解對的第n,n+1行應用Laplace定理（按第n,n+1

行展開）得35第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二利用這個遞推關(guān)系式有36第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期二定理4.2(對角塊行列式乘法法則)

,則若若

三角塊，則推論37