講座能量泄漏以及窗函數(shù)

講座能量泄漏以及窗函數(shù)第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二可以看出100Hz波形與采樣點(diǎn)正弦曲線吻合，而另外兩個頻率的曲線誤差較大，而真正采樣后的曲線是三個虛線的疊加，于是高頻信號的采樣值就構(gòu)成虛假的低頻信號附加到原低頻的采樣值上，從而產(chǎn)生頻率混淆現(xiàn)象。第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

為避免混疊，就要將連續(xù)信號的頻譜進(jìn)行截斷，設(shè)其截斷頻率為。即使，

所選截斷頻率應(yīng)是欲分析的最高頻率fmax。

當(dāng)然其頻譜圖中頻率的最大值應(yīng)大于fc即這樣進(jìn)行采樣就無頻率混疊（淆），這就是所謂的采樣定理（Shannon定理）。即要達(dá)到頻率不混疊，只需采樣頻率大于等于2倍的最高頻率，也即只需一個周期中采兩個或兩個以上的點(diǎn)即可沒有頻率混疊，從而得到準(zhǔn)確的頻譜。第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二△t——采樣時間間隔；fs——采樣頻率(fs=1/△t)；N——總的采樣點(diǎn)數(shù)；T——總采樣時間，T＝N×△t；Fmax——信號中的最高頻率。有以下關(guān)系因此基于采樣定理，有該式建立起了最短采樣時間、最大采樣間隔、采樣點(diǎn)數(shù)及分析頻率之間的關(guān)系。先有儀器，往往N固定為1024.第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二譜窗、泄漏以及平滑一、有限數(shù)據(jù)的傅立葉變換在工程實(shí)際中，實(shí)際獲得的信號長度是有限的，該有限長度的信號可被認(rèn)為是無限長信號乘以單位矩形函數(shù)獲得的：根據(jù)傅立葉變換的卷積定理（兩函數(shù)乘積的傅立葉變換等于其傅里葉變換的卷積）：第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)某信號為一無限長余弦信號，以此為例進(jìn)行泄漏分析。其傅立葉變換為單位矩形函數(shù)——矩形窗函數(shù)b(t)的表達(dá)式為其傅立葉變換為第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二這樣我們?nèi)-τ，+τ]內(nèi)的有限長余弦信號就相當(dāng)于使用上述的矩形窗函數(shù)與無限長余弦函數(shù)相乘，于是該有限長余弦信號的傅里葉變換為：得到的圖形見右?？梢?，其頻譜不是兩條譜線了，而是發(fā)生了畸變，原來集中在f0處的能量被分散到較寬的頻帶上了，這種現(xiàn)象叫做泄漏。若僅僅從頻譜上分析信號的頻率組成，必然導(dǎo)致誤差。出現(xiàn)泄漏的原因是，窗函數(shù)的頻譜是連續(xù)譜，且包含一個主瓣和無數(shù)旁瓣，這樣進(jìn)行卷積時導(dǎo)致主瓣的能量被轉(zhuǎn)移到旁瓣中去了。第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二二、譜窗以及泄漏譜窗從有限長度樣本得到的譜密度原始估計(jì)值(區(qū)別于后述的經(jīng)平滑處理的估計(jì)值)用下式計(jì)算式中——相關(guān)函數(shù)的最大時移。上式是用有限區(qū)間的積分來估計(jì)由式所定義的真實(shí)譜密度?？梢园芽闯墒窃赱-，]區(qū)間截斷的結(jié)果。這種截斷必然導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生，是譜處理時必須考慮的一個問題。第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二U(τ)為矩形函數(shù)當(dāng)然其傅立葉變換為根據(jù)傅氏變換的卷積定理，有可寫成第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二把矩形函數(shù)稱為窗函數(shù)，它在時域上的稱為矩形時移窗（時域窗）。在頻域上稱為矩形譜窗。時移窗和譜窗互為傅氏變換。泄漏的概念譜密度處理時，矩形窗函數(shù)的存在，使相對于產(chǎn)生畸變。例如，設(shè)正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二則功率譜密度函數(shù)為：即頻率是f0的正弦波的雙邊功率譜是在頻率處±f0的兩個脈沖函數(shù)。如果以單邊功率譜表示，有第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二再看經(jīng)過截斷后有限數(shù)據(jù)的功率譜密度函數(shù)

一般f0×τm＞＞1，因此相應(yīng)的單邊譜為第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二f＝f0時有其最大值，為它們的圖形為可以看出原采集中于一個頻率的功率，由于副瓣的存在，能量被分散到一個較寬的頻率范圍上，這種功率分散的效應(yīng)稱為泄漏。泄漏效應(yīng)的產(chǎn)生，降低了譜估計(jì)的精度。第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

上述特例可以推廣至任意類型的函數(shù)。圖是某一任意函數(shù)譜估計(jì)時泄漏效應(yīng)的影響示意圖。由圖看到，原來比較光滑的功率譜密度函數(shù)曲線，經(jīng)用譜窗卷積之后，得到的是一條具有“皺波”的非光滑曲線。皺波或者偏離的形成，完全是因?yàn)樽V窗函數(shù)在主瓣兩側(cè)出現(xiàn)正負(fù)相間的副瓣所致。因此為了減小統(tǒng)計(jì)誤差，必須抑制泄漏。同時可以看出，泄漏的程度取決于副瓣或者旁瓣的大小。第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二三、抑制泄漏的措施

泄漏的程度取決于譜窗副瓣的大小。較小的副瓣，得到的曲線具有較小的皺波。因此，為了抑制泄漏，應(yīng)選擇副瓣較小的譜窗函數(shù)。工程上，提出了多種形式的譜窗，常用的有哈寧(Hanning)窗和海明(Hamming)窗。1、哈寧窗哈寧時移窗的函數(shù)式為其譜窗為：第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二從上式可看到，哈寧譜窗是由一個壓低1/2的矩形譜窗和兩個各左右位移1/(2τm)、峰高為1/4的矩形譜窗譜窗迭加而成,見圖，圖中虛線是三個變異矩形譜窗。分析可知，矩形譜窗的主瓣高為2τm

，寬為1/τm，第一副瓣的約為主瓣高的20％；而D(f)譜窗的主瓣高為τm，寬為2/τm

，第一副瓣高約為主瓣高的2.4％。哈寧窗副瓣有明顯的降低，達(dá)到了抑制泄漏的目的。但是它的主瓣寬卻加大了一倍。即，減少泄漏是以展寬主瓣為代價。主瓣的展寬意味著帶寬擴(kuò)展，從而使功率譜圖形的分辨能力降低。因此，功率譜處理時，往往需要在提高分辨力和減少泄漏兩者之間作折衷考慮。第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2.海明窗海明時移窗的函數(shù)式為相應(yīng)的海明譜窗為可見Hanning、Hamming譜窗結(jié)構(gòu)一樣，只是系數(shù)作了調(diào)整，以進(jìn)一步抑制泄漏，壓低副瓣高。其，但主瓣高約為1.08τm，第一副瓣高接近于零。因此，減少泄漏的效果更好一些。第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二必須指出，盡管泄漏效應(yīng)使得功率譜密度函數(shù)不準(zhǔn)確，但沒有使隨機(jī)過程的總功率有任何損失。例如前述的正弦函數(shù)：無泄漏時，功率為：有泄漏時，功率為：可見，隨機(jī)過程的功率并無損失。第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二3、平滑處理

前述抑制泄漏的措施，是通過對原始數(shù)據(jù)選用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)達(dá)到，反映在頻域上的效果是使功率譜密度函數(shù)的皺波減小。實(shí)際上這一效果也可以從另一角度達(dá)到：用矩形時移窗得到功率譜密度函數(shù)，然后對其進(jìn)行光滑，稱之為平滑處理。平滑的結(jié)果得到一條較為光滑的曲線，從而減少了譜處理的統(tǒng)計(jì)誤差。第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二右圖是平滑處理示意圖，圖中實(shí)線是，虛線是。平滑處理時，對于第k點(diǎn)的值，參考前后兩點(diǎn)，即第k－1點(diǎn)和第k－1點(diǎn)的值、，以圓滑過渡為目標(biāo)進(jìn)行修正，稱修正后的估計(jì)值為平滑估計(jì)值，記為，以區(qū)別于未經(jīng)平滑的原始估計(jì)值。平滑處理時，用下式計(jì)算（設(shè)k的最小、大值為0、m）利用矩形窗得到的功率譜密度第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二在k＝0、m處，取

上式是平滑處理中常用公式，但不是唯一的?？梢宰C明，利用上述的平滑處理抑制泄漏與與采用Hanning窗的效果完全相同。

數(shù)據(jù)處理時，是對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行抑制泄漏處理，還是在頻域上作平滑處理，可視數(shù)據(jù)處理的方便性進(jìn)行決定。第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二功率譜密度函數(shù)的計(jì)算1、信號傅里葉變換及余弦坡度窗函數(shù)設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程{x(t)}的一個樣本，則式中：x‘(t)——假想的平穩(wěn)隨機(jī)過程{x(t)}的一個無限長樣本，在[-T/2，T/2]內(nèi)與x(t)相同；

X’(f)——x‘(t)的傅立葉變換；

u(t)——矩形時移窗；

U(f)——u(t)的傅立葉變換。第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二實(shí)際處理中為抑制泄漏，采用Hanning/Hamming窗函數(shù)，這需要對信號的每一點(diǎn)進(jìn)行改造，但若信號很長，則費(fèi)時間。因而有時使用1/10余弦坡化數(shù)字窗代之：采用此窗只需對20％的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2、比例因子的概念及確定

在利用信號的傅里葉變換計(jì)算功率譜密度時，由于窗函數(shù)的引入，使得信號的形狀發(fā)生改變，矩形窗除外。如圖所示。這樣就導(dǎo)致加窗前后的信號總功率發(fā)生改變。因此若要保持原信號的總功率不變，必須對加窗后信號的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正——乘以一個因子。若原始數(shù)據(jù)的總功率為信號乘以窗函數(shù)后的總功率為第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二這兩個值是不等的，要使兩者相等，引入?yún)?shù)K，于是：K值為比例因子，可以計(jì)算得出：矩形窗1Hanning2.67hamming2.52余弦坡度窗1.43第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二3、獲得自功率譜密度函數(shù)的一般過程①