數(shù)字圖像處理第三章圖像變換

數(shù)字圖像處理第三章圖像變換第一頁，共111頁。2第三章圖像變換第二頁，共111頁。

3.1概述

3.2一維離散傅里葉變換重點3.3一維快速傅里葉變換3.4二維離散傅里葉變換重點第3章圖像變換3.5離散余弦變換第三頁，共111頁。第3章圖像變換

3.6沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換（自學(xué)）

3.7

霍特林變換（自學(xué)）3.8拉東變換（自學(xué)）第四頁，共111頁。53.1概述第五頁，共111頁。6空間域表示法變換域表示法空間域處理法（或稱空域法）頻域法（或稱變換域法）圖像表示法圖像處理法第六頁，共111頁?；谧儞Q的圖像處理與分析圖像變換技術(shù)新空間中的圖像表達(dá)（r,u,v）新圖像特征在新空間進行處理圖像重建處理后的圖像模式分析原空間輸入圖像（R,x,y）第七頁，共111頁。83.2一維離散傅里葉變換第八頁，共111頁。9離散傅里葉變換有限長序列變換核

定義

第九頁，共111頁。10離散傅里葉變換矩陣形式

第十頁，共111頁。11離散傅里葉變換例第十一頁，共111頁。12離散傅里葉變換例…第十二頁，共111頁。13離散傅里葉變換的性質(zhì)線性

如果則第十三頁，共111頁。14離散傅里葉變換的性質(zhì)對稱性

如果則第十四頁，共111頁。15離散傅里葉變換的性質(zhì)時移性

如果則第十五頁，共111頁。16離散傅里葉變換的性質(zhì)頻移性

如果則第十六頁，共111頁。17離散傅里葉變換的性質(zhì)卷積定理

如果則第十七頁，共111頁。18離散傅里葉變換的性質(zhì)相關(guān)定理

如果則第十八頁，共111頁。19離散傅里葉變換的性質(zhì)帕斯瓦爾定理

如果則第十九頁，共111頁。203.3一維快速傅里葉變換

第二十頁，共111頁。21基本思想變換矩陣第二十一頁，共111頁。22基本思想變換矩陣元素③對稱性②周期性①不必乘第二十二頁，共111頁。23基本思想由變換矩陣元素可見，利用矩陣元素的周期性與對稱性之后，變換矩陣中許多元素相同。換言之，變換矩陣與輸入信號相乘過程中存在著不必要的重復(fù)計算。利用變換矩陣元素的周期性與對稱性，合理安排（即避免）重復(fù)出現(xiàn)的相乘運算，就能顯著減少計算工作量。改進DFT的關(guān)鍵第二十三頁，共111頁。24一維FFTFFT重要環(huán)節(jié)重新安排計算次序矩陣分解第二十四頁，共111頁。25一維FFT重新安排計算次序設(shè)N=2n，經(jīng)過n步計算后，其結(jié)果為fn(k)=F(l)其中k的二進制表示為第二十五頁，共111頁。26一維FFT矩陣分解當(dāng)N=2n，將變換矩陣分解成n個矩陣，使每個矩陣中每一行僅含有兩個非零元素。有兩種分解方法：一種是按時間分解一種是按頻率分解下面僅介紹按時間分解的FFT算法第二十六頁，共111頁。27一維FFT矩陣分解u和x的二進制表示為第二十七頁，共111頁。28一維FFT矩陣分解N=8=23

第二十八頁，共111頁。29一維FFT矩陣分解N=8=23

第二十九頁，共111頁。30一維FFT矩陣分解矩陣表示第三十頁，共111頁。31一維FFT矩陣分解矩陣表示第三十一頁，共111頁。32一維FFT矩陣分解矩陣表示第三十二頁，共111頁。33一維FFTFFT流程圖N=8時FFT流程圖

第三十三頁，共111頁。34一維FFTFFT流程圖(1)整個流程需要的計算步數(shù)為n=log2N(N=2n)；(2)在第r步計算中，要乘的因子為(3)第r步計算中有2r-1個組，每組有（N/2r-1）個元素，每組的W因子各不相同，且每組只有一種類型的W因子，此因子在組中上一半為正，下一半為負(fù)。第三十四頁，共111頁。35一維FFTFFT流程圖(4)對比DFT與IDFT的定義式，只要將上述FFT算法中W因子用其共軛代替，并將最后結(jié)果乘以1/N，就是計算IDFT即離散傅里葉反變換的快速算法。(5)在每步計算中，需要的乘法次數(shù)N/2，加法次數(shù)為N，因此FFT的總計算量為：乘法次數(shù)為

加法次數(shù)為而直接計算DFT的計算量為：乘法次數(shù)為N2，加法次數(shù)為N(N-1)。當(dāng)N=2048時，DFT需要4194304次乘法運算，而FFT只需要11264次乘法運算，二者之比為第三十五頁，共111頁。363.4二維離散傅里葉變換

第三十六頁，共111頁。37二維DFTMN圖像正變換核反變換核第三十七頁，共111頁。38二維DFTF(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)幅度譜相位譜功率譜第三十八頁，共111頁。39二維DFT性質(zhì)分離性

第三十九頁，共111頁。40二維DFT性質(zhì)線性

如果則第四十頁，共111頁。41二維DFT性質(zhì)周期性與共軛對稱性

如果則第四十一頁，共111頁。42二維DFT性質(zhì)位移性

如果則第四十二頁，共111頁。例對一副圖進行傅里葉變換，求出其頻譜圖，然后利用平移性質(zhì)，在原圖的基礎(chǔ)上乘以求傅里葉變換的頻譜圖。

（a）原圖（b）頻譜圖（c）中心移到零點的頻譜圖圖二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖（結(jié)果看下）

二維DFT性質(zhì)位移性

第四十三頁，共111頁。44二維DFT性質(zhì)尺度變換

如果則第四十四頁，共111頁。

【例】比例尺度展寬。（a）原始圖像（b）比例尺度展寬前的頻譜（c）比例尺度a=0.1，b=1，展寬后的頻譜二維DFT性質(zhì)尺度變換

第四十五頁，共111頁。46二維DFT性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性

如果則第四十六頁，共111頁。

（a）原始圖像（b）原圖像的傅（c）旋轉(zhuǎn)后的圖像（d）旋轉(zhuǎn)后圖像的里葉頻譜傅里葉頻譜上例表明，對旋轉(zhuǎn)一個角度對應(yīng)于將其傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度。

二維DFT性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性

第四十七頁，共111頁。48二維DFT性質(zhì)平均值

u=v=0第四十八頁，共111頁。49二維DFT性質(zhì)卷積

如果則第四十九頁，共111頁。性質(zhì)的應(yīng)用1）頻譜的圖像顯示DFT在計算機圖像處理中計算的中間過程和結(jié)果要圖像化。對DFT來講不但f(x,y)是圖像,F(u,v)也要用圖像來顯示其結(jié)果。譜圖像就是把|F(u,v)|作為亮度顯示在屏幕上。但在傅里葉變換中F(u,v)隨u,v的衰減太快，其高頻項只看到一兩個峰，其余皆不清楚。由于人的視覺可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示效果，即為了顯示這個頻譜，可用下式處理，設(shè)顯示信號為D(u,v),2023/4/18二維DFT性質(zhì)第五十頁，共111頁。即用顯示D(u,v)來代替只顯示|F(u,v)|不夠清楚的補救方法。譜的顯示加深了對圖像的視覺理解。如一幅遙感圖像受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻率并可方便地從頻域去除。如圖4.7為圖像的傅里葉頻譜圖像2023/4/18二維DFT性質(zhì)第五十一頁，共111頁。2023/4/18圖4.7圖像的傅里葉頻譜圖像，原始圖像，(b)頻譜直接顯示，(c)頻譜經(jīng)過變換后的結(jié)果(b)(c)a.a.二維DFT性質(zhì)第五十二頁，共111頁。2.頻譜圖像的移中顯示常用的傅里葉正反變換公式都是以零點為中心的公式，其結(jié)果中心最亮點卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其中心最亮點將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的零點移到顯示的中心。當(dāng)周期為N時，應(yīng)在頻域移動N/2。利用DFT的平移性質(zhì)，先把原圖像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再進行傅里葉變換，其結(jié)果譜就是移N/2的F(u,v)。圖4-8所示。應(yīng)當(dāng)注意，顯示是為了觀看，而實際F(u,v)數(shù)據(jù)仍保留為原來的值。2023/4/18二維DFT性質(zhì)第五十三頁，共111頁。2023/4/18圖4.8頻譜圖像的移中顯示(a)未移至中心的頻譜圖像，(b)移至中心后的頻譜圖像(a)(b)4.1.2離散傅里葉變換第五十四頁，共111頁。55二維FFT基于二維離散傅里葉變換的分離性，二維離散FFT算法可以用兩個一維FFT算法來實現(xiàn)第五十五頁，共111頁。56二維FFT第五十六頁，共111頁。2023/4/18圖

二維傅里葉變換的頻譜分布

二維FFT第五十七頁，共111頁。2023/4/18

數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布和統(tǒng)計特性

1)數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分如上圖所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個角的周圍對應(yīng)于低頻成分，中央部位對應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央，可采用圖示的換位方法，根據(jù)傅里葉頻率位移的性質(zhì)，只需要用f(x，y)乘上因子進行傅里葉變換即可實現(xiàn)，變換后的坐標(biāo)原點移動到了窗口中心，圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻。二維FFT第五十八頁，共111頁。2023/4/18圖4.11頻率位移示例二維FFT第五十九頁，共111頁。2023/4/18

上圖為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對中心點是共軛對稱的，利用這個特性，在數(shù)據(jù)存儲和傳輸時，僅存儲和傳輸它們中的一部分，進行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對稱性補充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。

二維FFT第六十頁，共111頁。2）圖像傅里葉變換的統(tǒng)計分布（1）傅里葉變換后的零頻分量F（0，0），也稱作直流分量，根據(jù)傅里葉變換公式有：

它反映了原始圖像的平均亮度。

二維FFT第六十一頁，共111頁。2023/4/18（2）對大多數(shù)無明顯顆粒噪音的圖像來說，低頻區(qū)集中了85％的能量，這一點成為對圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對高頻分量不傳送，反變換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達(dá)到壓縮的目的。（3）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域，對應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。二維FFT第六十二頁，共111頁。63Matlab實現(xiàn)fft函數(shù)一維DFTfft2函數(shù)二維DFTfftn函數(shù)N維DFTifft函數(shù)一維IDFTifft2函數(shù)二維IDFTifftn函數(shù)N維IDFT

快速傅里葉變換函數(shù)第六十三頁，共111頁。Matlab實現(xiàn)例%建立簡單圖像d并顯示之d=zeros(32,32);%圖像大小32*32d(13:20,13:20)=1;%中心白色方塊大小為8*8figure(1);%建立圖形窗口1imshow(d,'notruesize');%顯示圖像d如圖3.5所示%計算傅里葉變換并顯示之D=fft2(d);%計算圖像d的傅里葉變換，fft2(d)=fft(fft(d).').'figure(2);%建立圖形窗口2imshow(abs(D),[-1,5],'notruesize');%顯示圖像d的傅里葉變換譜如圖3.5(b)所示第六十四頁，共111頁。Matlab實現(xiàn)例DF=fftshift(D);figure(3);imshow(log(abs(DF)),[-15],'notruesize');第六十五頁，共111頁。66Matlab實現(xiàn)

例簡單圖像傅里葉變換譜對數(shù)傅里葉變換譜傅里葉變換中心譜第六十六頁，共111頁。figure(1)A=imread('image1.jpg')%裝入真彩圖像，見圖1.1（b）B=rgb2gray(A)%將真彩圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像imshow(B)%顯示灰度圖像如圖3.7（a）所示C=fftshift(fft2(B))%計算傅里葉變換并移位figure(2)imshow(log(abs(C)),[])%顯示傅里葉變換譜如圖3.7（b）所示Matlab實現(xiàn)例第六十七頁，共111頁。68Matlab實現(xiàn)

例風(fēng)景圖像傅里葉變換中心譜第六十八頁，共111頁。693.5離散余弦變換

第六十九頁，共111頁。70一維DCT第七十頁，共111頁。將變換式展開整理后，可以寫成矩陣的形式，即F=Gf其中一維DCT第七十一頁，共111頁。72一維FDCT利用FFT的快速算法基于代數(shù)分解的快速算法第七十二頁，共111頁。73一維FDCT利用FFT的快速算法余弦變換核實際上就是傅里葉變換核的實部。而變換計算中的乘法運算就是f(x)與變換核的乘法運算。一種自然的想法就是先對f(x)執(zhí)行FFT，然后對其取實部就可以了第七十三頁，共111頁。74一維FDCT基于代數(shù)分解的快速算法與FFT類似，利用代數(shù)分解的FDCT就是利用余弦函數(shù)的周期性以及正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的關(guān)系，同時合理安排計算次序來實現(xiàn)的。第七十四頁，共111頁。75一維FDCT基于代數(shù)分解的快速算法第七十五頁，共111頁。76一維FDCT基于代數(shù)分解的快速算法第七十六頁，共111頁。77二維DCT由于二維離散余弦變換的可分離性，二維DCT可以用一維DCT來實現(xiàn)

第七十七頁，共111頁。

通常根據(jù)可分離性，二維DCT可用兩次一維DCT來完成，其算法流程與DFT類似，即二維DCT第七十八頁，共111頁。要注意的是二維DCT的頻譜分布，其譜域分布與DFT相差一倍，如圖1-1所示。從圖中可以看出，對于DCT而言，(0,0)點對應(yīng)于頻譜的低頻成分，(N-1,N-1)點對應(yīng)于高頻成分，而同階的DFT中，(N／2,N／2)點對應(yīng)于高頻成分（注：此頻譜圖中未作頻譜中心平移）。

由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此可用它們實現(xiàn)快速DCT和IDCT算法FCT及IFCT。不過，由于FFT及IFFT中要涉及到復(fù)數(shù)運算，因此這種FCT及IFCT算法并不是最佳的。二維DCT第七十九頁，共111頁。圖1-1DFT和DCT的頻譜分布（a）DFT頻譜分布；（b）DCT頻譜分布二維DCT第八十頁，共111頁。81Matlab實現(xiàn)RGB=imread('image2.jpg');%裝入真彩圖像figure(1);imshow(RGB);%顯示彩色圖像GRAY=rgb2gray(RGB);%將真彩圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像figure(2);imshow(GRAY);%顯示灰度圖像DCT=dct2(GRAY);%進行余弦變換figure(3);imshow(log(abs(DCT)),[]);%顯示余弦變換例第八十一頁，共111頁。82Matlab實現(xiàn)

原圖像余弦變換例第八十二頁，共111頁。細(xì)節(jié)較少圖片的傅立葉變換和離散余弦變換第八十三頁，共111頁。細(xì)節(jié)中等圖片的傅立葉變換和離散余弦變換第八十四頁，共111頁。細(xì)節(jié)較多圖片的傅立葉變換和離散余弦變化第八十五頁，共111頁。86應(yīng)用離散余弦變換在圖像壓縮中具有廣泛的應(yīng)用例如，在JPEG圖像壓縮算法中，首先將輸入圖像劃分為88的方塊，然后對每一個方塊執(zhí)行二維離散余弦變換，最后將變換得到的量化的DCT系數(shù)進行編碼和傳送，形成壓縮后的圖像格式。在接受端，將量化的DCT系數(shù)進行解碼，并對每個88方塊進行二維IDCT，最后將操作完成后的塊組合成一幅完整的圖像。

第八十六頁，共111頁。JPEG壓縮編碼的算法框架圖：

JPEG算法處理的彩色圖像是單獨的彩色分量圖像，因此它可以壓縮來自不同彩色空間的數(shù)據(jù)。第八十七頁，共111頁。二、DCT在數(shù)字水?。╠igitalwatermarking）技術(shù)中的應(yīng)用

數(shù)字水印技術(shù)是將特定的信息嵌入到數(shù)字信息的內(nèi)容中,要求嵌入的信息不能被輕易的去除,在一定的條件下可以被提取出來,以確認(rèn)作者的版權(quán)。原始圖像原始水印圖像嵌入水印圖像恢復(fù)水印圖像應(yīng)用第八十八頁，共111頁。數(shù)字水印有多種分類方法按照可視性：可見水印和隱形水?。话凑蒸敯粜裕捍嗳跣运『徒研运?；按照嵌入方法：空間域和變換域水??；按照檢測與提取方法分類：私有水印、半公開水印和公開水印；應(yīng)用二、DCT在數(shù)字水印（digitalwatermarking）技術(shù)中的應(yīng)用第八十九頁，共111頁。原始圖像水印圖像DCT變換DCT變換DCT系數(shù)組合反DCT變換含水印的圖像基于DCT算法的數(shù)字水印產(chǎn)生原理待測圖像原始圖像水印提取提取的水印水印檢測水印嵌入框圖水印檢測框圖應(yīng)用第九十頁，共111頁。原圖及水印信息嵌入水印的圖及恢復(fù)的水印信息第九十一頁，共111頁。923.6沃爾什和哈達(dá)瑪變換

第九十二頁，共111頁。93離散沃爾什變換（略）第九十三頁，共111頁。94離散哈達(dá)瑪變換一維離散哈達(dá)瑪變換

一維離散哈達(dá)瑪反變換

第九十四頁，共111頁。95離散哈達(dá)瑪變換第九十五頁，共111頁。96離散哈達(dá)瑪變換二維離散哈達(dá)瑪變換

二維離散哈達(dá)瑪反變換

第九十六頁，共111頁。973.7霍特林變換

第九十七頁，共111頁。98霍特林變換霍特林（Hotelling）變換是一種基于圖像統(tǒng)計特性的變換霍特林變換可直接用于對數(shù)字圖像的變換它在連續(xù)域?qū)?yīng)的變換是KL（Karhunen-Loeve）變換霍特林變換：特征值變換、主分量變換、離散KL變換第九十八頁，共111頁。99霍特林變換N維隨機向量數(shù)學(xué)期望協(xié)方差矩陣均值向量cii