數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)組和廣義表

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)組和廣義表第一頁(yè)，共38頁(yè)。第5章數(shù)組和廣義表（Arrays&Lists）①元素的值并非原子類型，可以再分解，表中元素也是一個(gè)線性表（即廣義的線性表）。②所有數(shù)據(jù)元素仍屬同一數(shù)據(jù)類型。5.1數(shù)組的定義5.2數(shù)組的順序表示和實(shí)現(xiàn)5.3矩陣的壓縮存儲(chǔ)(即數(shù)組的應(yīng)用)5.4廣義表的定義5.5廣義表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)數(shù)組和廣義表的特點(diǎn)：一種特殊的線性表第二頁(yè)，共38頁(yè)。5.1

數(shù)組的定義

數(shù)組：由一組名字相同、下標(biāo)不同的變量構(gòu)成。注意：本章所討論的數(shù)組與高級(jí)語(yǔ)言中的數(shù)組有所區(qū)別：高級(jí)語(yǔ)言中的數(shù)組是順序結(jié)構(gòu)；而本章的數(shù)組既可以是順序的，也可以是鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，用戶可根據(jù)需要選擇。答：對(duì)的。因?yàn)椋孩贁?shù)組中各元素具有統(tǒng)一的類型；②數(shù)組元素的下標(biāo)一般具有固定的上界和下界，即數(shù)組一旦被定義，它的維數(shù)和維界就不再改變。③數(shù)組的基本操作比較簡(jiǎn)單，除了結(jié)構(gòu)的初始化和銷毀之外，只有存取元素和修改元素值的操作。討論：“數(shù)組的處理比其它復(fù)雜的結(jié)構(gòu)要簡(jiǎn)單”，對(duì)嗎？第三頁(yè)，共38頁(yè)。二維數(shù)組的特點(diǎn)：一維數(shù)組的特點(diǎn)：1個(gè)下標(biāo)，ai是ai+1的直接前驅(qū)2個(gè)下標(biāo)，每個(gè)元素ai,j受到兩個(gè)關(guān)系（行關(guān)系和列關(guān)系）的約束：一個(gè)m×n的二維數(shù)組可以看成是m行的一維數(shù)組，或者n列的一維數(shù)組。（見(jiàn)課本P91圖5.1）N維數(shù)組的特點(diǎn)：n個(gè)下標(biāo)，每個(gè)元素受到n個(gè)關(guān)系約束。一個(gè)n維數(shù)組可以看成是由若干個(gè)n－1維數(shù)組組成的線性表。a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

am1am2…amn

Amn=第四頁(yè)，共38頁(yè)。N維數(shù)組的數(shù)據(jù)類型定義n_ARRAY=(D,R)其中：

Ri

={<aj1,j2,…ji…jn,aj1,j2,…ji+1…jn

>|

aj1,j2,…ji…jn,aj1,j2,…ji+1…jn

D}數(shù)據(jù)關(guān)系：R={R1,R2，….Rn}數(shù)據(jù)對(duì)象：D={aj1,j2…jn|ji為數(shù)組元素的第i維下標(biāo)，aj1,j2…jn

Elemset}數(shù)組的抽象數(shù)據(jù)類型定義（略），參見(jiàn)教材P90構(gòu)造數(shù)組、銷毀數(shù)組、讀數(shù)組元素、寫數(shù)組元素基本操作：第五頁(yè)，共38頁(yè)。5.2

數(shù)組的順序存儲(chǔ)表示和實(shí)現(xiàn)問(wèn)題：計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)是一維的，而數(shù)組一般是多維的，怎樣存放？解決辦法：事先約定按某種次序?qū)?shù)組元素排成一列序列，然后將這個(gè)線性序列存入存儲(chǔ)器中。例如：在二維數(shù)組中，我們既可以規(guī)定按行存儲(chǔ)，也可以規(guī)定按列存儲(chǔ)。注意：若規(guī)定好了次序，則數(shù)組中任意一個(gè)元素的存放地址便有規(guī)律可尋，可形成地址計(jì)算公式；約定的次序不同，則計(jì)算元素地址的公式也有所不同；C和PASCAL中一般采用行優(yōu)先順序；FORTRAN采用列優(yōu)先。第六頁(yè)，共38頁(yè)。補(bǔ)充：計(jì)算二維數(shù)組元素地址的通式

設(shè)一般的二維數(shù)組是A[c1..d1,c2..d2]，這里c1,c2不一定是0。無(wú)論規(guī)定行優(yōu)先或列優(yōu)先，只要知道以下三要素便可隨時(shí)求出任一元素的地址（這樣數(shù)組中的任一元素便可以隨機(jī)存?。。憾S數(shù)組列優(yōu)先存儲(chǔ)的通式為：LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*Lac1,c2…ac1,d2…aij…

ad1,c2…ad1,d2

Amn=單個(gè)元素長(zhǎng)度aij之前的行數(shù)數(shù)組基址總列數(shù)，即第2維長(zhǎng)度aij本行前面的元素個(gè)數(shù)①開始結(jié)點(diǎn)的存放地址（即基地址）②維數(shù)和每維的上、下界；③每個(gè)數(shù)組元素所占用的單元數(shù)則行優(yōu)先存儲(chǔ)時(shí)的地址公式為：

LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)]*L第七頁(yè)，共38頁(yè)。例2：已知二維數(shù)組Am,m按行存儲(chǔ)的元素地址公式是：

Loc(aij)=Loc(a11)+[(i-1)*m+(j-1)]*K,按列存儲(chǔ)的公式是？

Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K

（盡管是方陣，但公式仍不同）例1〖軟考題〗：一個(gè)二維數(shù)組A，行下標(biāo)的范圍是1到6，列下標(biāo)的范圍是0到7，每個(gè)數(shù)組元素用相鄰的6個(gè)字節(jié)存儲(chǔ)，存儲(chǔ)器按字節(jié)編址。那么，這個(gè)數(shù)組的體積是

個(gè)字節(jié)。288例3：〖00年計(jì)算機(jī)系考研題〗設(shè)數(shù)組a[1…60,1…70]的基地址為2048，每個(gè)元素占2個(gè)存儲(chǔ)單元，若以列序?yàn)橹餍蝽樞虼鎯?chǔ)，則元素a[32,58]的存儲(chǔ)地址為

。8950LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*L得：LOC(a32,58)=2048+[(58-1)*(60-1+1)+32-1)]*2＝8950答：請(qǐng)注意審題！利用列優(yōu)先通式：答：

Volume=m*n*L=(6-1+1)*(7-0+1)*6=48*6=288第八頁(yè)，共38頁(yè)。Loc(j1,j2,…jn)=LOC(0,0,…0)＋若是N維數(shù)組，其中任一元素的地址該如何計(jì)算？其中Cn=L,Ci-1=bi×Ci，1<i≤nCi=bi+1×bi+2×……×bn×L一個(gè)元素長(zhǎng)度數(shù)組基址前面若干元素占用的地址字節(jié)總數(shù)第i維長(zhǎng)度與所存元素個(gè)數(shù)有關(guān)的系數(shù)，可用遞推法求出教材已給出低維優(yōu)先的地址計(jì)算公式，見(jiàn)P93（5-2）式該式稱為n維數(shù)組的映像函數(shù)：Ci=bi+1×bi+2×……×bn×L第九頁(yè)，共38頁(yè)。#defineMAX_ARRAY_DIM8//假設(shè)最大維數(shù)為8typedefstruct{ELemType*base;//數(shù)組元素基址

intdim;//數(shù)組維數(shù)

int*bound;//數(shù)組各維長(zhǎng)度信息保存區(qū)基址

int*constants;//數(shù)組映像函數(shù)常量的基址

}Array;即Ci信息保存區(qū)數(shù)組的基本操作函數(shù)說(shuō)明（有5個(gè)）（請(qǐng)閱讀教材P93-95）N維數(shù)組的順序存儲(chǔ)表示（見(jiàn)教材P93）第十頁(yè)，共38頁(yè)。順序存儲(chǔ)方式：按低地址優(yōu)先（或高地址優(yōu)先）順序存入一維數(shù)組。^……行指針向量a11a12…^a1nam1am2…^amn補(bǔ)充：

鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)方式：用帶行指針向量的單鏈表來(lái)表示。注：數(shù)組的運(yùn)算參見(jiàn)下一節(jié)實(shí)例（稀疏矩陣的轉(zhuǎn)置）（難點(diǎn)是多維數(shù)組與一維數(shù)組的地址映射關(guān)系）第十一頁(yè)，共38頁(yè)。5.3矩陣的壓縮存儲(chǔ)討論：1.什么是壓縮存儲(chǔ)？若多個(gè)數(shù)據(jù)元素的值都相同，則只分配一個(gè)元素值的存儲(chǔ)空間，且零元素不占存儲(chǔ)空間。2.什么樣的矩陣具備壓縮條件？

特殊矩陣（對(duì)稱矩陣，對(duì)角矩陣，三角矩陣）和稀疏矩陣。3.什么叫稀疏矩陣？矩陣中非零元素的個(gè)數(shù)較少（一般小于5%）重點(diǎn)介紹稀疏矩陣的壓縮和相應(yīng)的操作。第十二頁(yè)，共38頁(yè)。一、稀疏矩陣的壓縮存儲(chǔ)問(wèn)題：如果只存儲(chǔ)稀疏矩陣中的非零元素，那這些元素的位置信息該如何表示？解決思路：對(duì)每個(gè)非零元素增開若干存儲(chǔ)單元，例如存放其所在的行號(hào)和列號(hào)，便可準(zhǔn)確反映該元素所在位置。實(shí)現(xiàn)方法：將每個(gè)非零元素用一個(gè)三元組（i，j，aij）來(lái)表示，則每個(gè)稀疏矩陣可用一個(gè)三元組表來(lái)表示。二、稀疏矩陣的操作第十三頁(yè)，共38頁(yè)。例1：

三元組表中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于稀疏矩陣的一個(gè)非零元素，它包含有三個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)，分別表示該元素的

、

和

。行下標(biāo)列下標(biāo)元素值例2：寫出右圖所示稀疏矩陣的壓縮存儲(chǔ)形式。0

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700((1,2,12)

，(1,3,9)，(3,1,-3)，(3,5,14)，

(4,3,24)，(5,2,18)，(6,1,15)，(6,4,-7))法1：用線性表表示：0

1290000

00000

-30001400

0240000

18000015

00-700第十四頁(yè)，共38頁(yè)。法2：用三元組表表示：0

129000000000

-3000140002400001800001500-700121213931-3351443245218611564-7注意：為更可靠描述，通常再加一行“總體”信息：即總行數(shù)、總列數(shù)、非零元素總個(gè)數(shù)668ijvalue稀疏矩陣壓縮存儲(chǔ)的缺點(diǎn)：將失去隨機(jī)存取功能:-(012345678第十五頁(yè)，共38頁(yè)。法3：用帶輔助向量的三元組表示。

方法：

增加2個(gè)輔助向量：①記錄每行非0元素個(gè)數(shù)，用NUM（i）表示；②記錄稀疏矩陣中每行第一個(gè)非0元素在三元組中的行號(hào)，用POS（i）表示。76531211202NUM(i)6543POS(i)21i0

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700-7461516182524341453-3139311221866vji0123456783用途：通過(guò)三元組高效訪問(wèn)稀疏矩陣中任一非零元素。規(guī)律：POS(1)＝1POS(i)＝POS(i-1)+NUM(i-1)第十六頁(yè)，共38頁(yè)。法4：用十字鏈表表示用途：方便稀疏矩陣的加減運(yùn)算；方法：每個(gè)非0元素占用5個(gè)域。right

downvji同一列中下一非零元素的指針同一行中下一非零元素的指針十字鏈表的特點(diǎn)：①每行非零元素鏈接成帶表頭結(jié)點(diǎn)的循環(huán)鏈表；②每列非零元素也鏈接成帶表頭結(jié)點(diǎn)的循環(huán)鏈表。則每個(gè)非零元素既是行循環(huán)鏈表中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)；又是列循環(huán)鏈表中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)，即呈十字鏈狀。以剛才的稀疏矩陣為例：122100H19311825第十七頁(yè)，共38頁(yè)。

#defineMAXSIZE125000

//設(shè)非零元素最大個(gè)數(shù)125000

typedefstruct{

inti;

//元素行號(hào)

intj;

//元素列號(hào)

ElemTypee;

//元素值}Triple;

typedefstruct{

Tripledata[MAXSIZE+1];

//三元組表，以行為主序存入一維向量data[]中

intmu;

//矩陣總行數(shù)

intnu;

//矩陣總列數(shù)

inttu;

//矩陣中非零元素總個(gè)數(shù)}TsMatrix;三元組表的順序存儲(chǔ)表示（見(jiàn)教材P98）：//一個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)定義//整個(gè)三元組表的定義第十八頁(yè)，共38頁(yè)。二、稀疏矩陣的操作

0

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-7000

0–3001512

00018090024000

0000-70

0140000

00000(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)(1,3,-3)(1,6,15)(2,1,12)(2,5,18)(3,1,9)(3,4,24)(4,6,-7)(5,3,14)三元組表a.data三元組表b.data轉(zhuǎn)置后MT（以轉(zhuǎn)置運(yùn)算為例）目的：第十九頁(yè)，共38頁(yè)。答：肯定不正確！除了：（1）每個(gè)元素的行下標(biāo)和列下標(biāo)互換（即三元組中的i和j互換）；還應(yīng)該：（2）T的總行數(shù)mu和總列數(shù)nu與M的不同（互換）；（3）重排三元組內(nèi)元素順序，使轉(zhuǎn)置后的三元組也按行（或列）為主序有規(guī)律的排列。上述（1）和（2）容易實(shí)現(xiàn)，難點(diǎn)在（3）。

若采用三元組壓縮技術(shù)存儲(chǔ)稀疏矩陣，只要把每個(gè)元素的行下標(biāo)和列下標(biāo)互換，就完成了對(duì)該矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，這種說(shuō)法正確嗎？有兩種實(shí)現(xiàn)方法壓縮轉(zhuǎn)置(壓縮)快速轉(zhuǎn)置提問(wèn)：第二十頁(yè)，共38頁(yè)。方法1：壓縮轉(zhuǎn)置思路：反復(fù)掃描a.data中的列序，從小到大依次進(jìn)行轉(zhuǎn)置。三元組表a.data三元組表b.data①(1,3,-3)②(1,6,15)③(2,1,12)④

(2,5,18)⑤(3,1,9)⑥(3,4,24)⑦

(4,6,-7)⑧(5,3,14)(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)1122colq1234p1234第二十一頁(yè)，共38頁(yè)。StatusTransPoseSMatrix(TSMatrixM,TSMatrix&T){T.mu=M.nu;T.nu=M.mu;T.tu=M.tu;if(T.tu){

q=1;for(col=1;col<=M.nu;col++){for(p=1;p<=M.tu;p++){if(M.data[p].j==col){T.data[q].i=M.data[p].j;T.data[q].j=M.data[p].i;T.data[q].value=M.data[p].value;q++;}}}

}returnOK;}//TranposeSMatrix;壓縮轉(zhuǎn)置算法描述：（見(jiàn)教材P99）//用三元組表存放稀疏矩陣M，求M的轉(zhuǎn)置矩陣T//q是轉(zhuǎn)置矩陣T的結(jié)點(diǎn)編號(hào)//col是掃描M三元表列序的變量//p是M三元表中結(jié)點(diǎn)編號(hào)第二十二頁(yè)，共38頁(yè)。1、主要時(shí)間消耗在查找M.data[p].j=col的元素，由兩重循環(huán)完成:for(col=1;col<=M.nu;col++)循環(huán)次數(shù)＝nu

{for(p=1;p<=M.tu;p++)循環(huán)次數(shù)＝tu所以該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(nu*tu)----即M的列數(shù)與M中非零元素的個(gè)數(shù)之積最惡劣情況：M中全是非零元素，此時(shí)tu=mu*nu，時(shí)間復(fù)雜度為O(nu2*mu)注：若M中基本上是非零元素時(shí)，即使用非壓縮傳統(tǒng)轉(zhuǎn)置算法的時(shí)間復(fù)雜度也不過(guò)是O(nu*mu)（程序見(jiàn)教材P99）結(jié)論：壓縮轉(zhuǎn)置算法不能濫用。前提：僅適用于非零元素個(gè)數(shù)很少（即tu<<mu*nu）的情況。壓縮轉(zhuǎn)置算法的效率分析：第二十三頁(yè)，共38頁(yè)。方法2

快速轉(zhuǎn)置三元組表a.data三元組表b.data③(1,3,-3)①(2,1,12)⑥(2,5,18)②(3,1,9)⑧(4,6,-7)④(5,3,14)⑦(1,6,15)⑤(3,4,24)(1,2,12)(1,3,9)(3,1,-3)(3,5,14)(4,3,24)(5,2,18)(6,1,15)(6,4,-7)思路：依次把a(bǔ).data中的元素直接送入b.data的恰當(dāng)位置上（即M三元組的p指針不回溯）。關(guān)鍵：怎樣尋找b.data的“恰當(dāng)”位置？p1234q35第二十四頁(yè)，共38頁(yè)。如果能預(yù)知M矩陣每一列(即T的每一行)的非零元素個(gè)數(shù)，又能預(yù)知第一個(gè)非零元素在b.data中的位置,則掃描a.data時(shí)便可以將每個(gè)元素準(zhǔn)確定位（因?yàn)橐阎舾蓞⒖键c(diǎn)）。技巧：利用帶輔助向量的三元組表，它正好攜帶每行（或列）的非零元素個(gè)數(shù)NUM(i)以及每行（或列）的第一個(gè)非零元素在三元組表中的位置POS(i)

等信息。設(shè)計(jì)思路：i123456NUM(i)202112POS(i)133567不過(guò)我們需要的是按列生成的M矩陣的輔助向量。規(guī)律：POS(1)＝1POS(i)＝POS(i-1)+NUM(i-1)請(qǐng)回憶：請(qǐng)注意a.data特征：每列首個(gè)非零元素必定先被掃描到。第二十五頁(yè)，共38頁(yè)。令：M中的列變量用col表示；

num[col]：存放M中第col列中非0元素個(gè)數(shù)，

cpot[col]：存放M中第col列的第一個(gè)非0元素的位置，

（即b.data中待計(jì)算的“恰當(dāng)”位置所需參考點(diǎn)）討論：按列優(yōu)先的輔助向量求出后，下一步該如何操作？由a.data中每個(gè)元素的列信息，即可直接查出b.data中的重要參考點(diǎn)之位置，進(jìn)而可確定當(dāng)前元素之位置！col123456num[col]222110cpot[col]1規(guī)律：cpot(1)＝1cpot[col]

＝

cpot[col-1]+num[col-1]0

1290000

00000-30001400

0240000

18000015

00-700M35788col123456第二十六頁(yè)，共38頁(yè)。StatusFastTransposeSMatrix（TSMatirxM,TSMatirx&T）{T.mu=M.nu;T.nu=M.mu;T.tu=M.tu;if(T.tu){for(col=1;col<=M.nu;col++)num[col]=0;for(i=1;i<=M.tu;i++){col=M.data[i].j;++num[col];}cpos[1]=1;for(col=2;col<=M.nu;col++)cpos[col]=cpos[col-1]+num[col-1];for(p=1;p<=M.tu;p++){col=M.data[p].j;q=cpos[col];T.data[q].i=M.data[p].j;T.data[q].j=M.data[p].i;T.data[q].value=M.data[p].value;

++cpos[col];}//for}//ifreturnOK;}//FastTranposeSMatrix;快速轉(zhuǎn)置算法描述：//M用順序存儲(chǔ)表示，求M的轉(zhuǎn)置矩陣T//初始化M中各列元素個(gè)數(shù)為0//再生成每列首元位置輔助向量表//p指向a.data，循環(huán)次數(shù)為非0元素總個(gè)數(shù)tu//查輔助向量表得q，即T中位置//重要語(yǔ)句！修改向量表中列坐標(biāo)值，供同一列下一非零元素定位之用！第二十七頁(yè)，共38頁(yè)。1.與常規(guī)算法相比，附加了生成輔助向量表的工作。增開了2個(gè)長(zhǎng)度為列長(zhǎng)的數(shù)組(num[]和cpos[]）。

傳統(tǒng)轉(zhuǎn)置：O(mu*nu)壓縮轉(zhuǎn)置：O(mu*tu)

壓縮快速轉(zhuǎn)置：O(nu+tu)——犧牲空間效率換時(shí)間效率?？焖俎D(zhuǎn)置算法的效率分析：2.從時(shí)間上，此算法用了4個(gè)并列的單循環(huán)，而且其中前3個(gè)單循環(huán)都是用來(lái)產(chǎn)生輔助向量表的。

for(col=1;col<=M.nu;col++)循環(huán)次數(shù)＝nu;

for(i=1;i<=M.tu;i++)循環(huán)次數(shù)＝tu;

for(col=2;col<=M.nu;col++)循環(huán)次數(shù)＝nu;for(p=1;p<=M.tu;p++)循環(huán)次數(shù)＝tu;

該算法的時(shí)間復(fù)雜度＝(nu*2)+(tu*2)=O(nu+tu）討論：最惡劣情況是tu=nu*mu(即矩陣中全部是非零元素），而此時(shí)的時(shí)間復(fù)雜度也只是O(mu*nu)，并未超過(guò)傳統(tǒng)轉(zhuǎn)置算法的時(shí)間復(fù)雜度。小結(jié)：稀疏矩陣相乘的算法見(jiàn)教材P101-103第二十八頁(yè)，共38頁(yè)。5.4廣義表的定義廣義表是線性表的推廣，也稱為列表（lists）記為：LS=(a1,a2,……，an)

廣義表名表頭(Head）表尾(Tail)1、定義：①第一個(gè)元素是表頭，而其余元素組成的表稱為表尾；②用小寫字母表示原子類型，用大寫字母表示列表。n是表長(zhǎng)在廣義表中約定：討論：廣義表與線性表的區(qū)別和聯(lián)系？

廣義表中元素既可以是原子類型，也可以是列表；當(dāng)每個(gè)元素都為原子且類型相同時(shí)，就是線性表。第二十九頁(yè)，共38頁(yè)。2、特點(diǎn)：有次序性有長(zhǎng)度有深度可遞歸可共享一個(gè)直接前驅(qū)和一個(gè)直接后繼＝表中元素個(gè)數(shù)＝表中括號(hào)的重?cái)?shù)自己可以作為自己的子表可以為其他廣義表所共享特別提示：任何一個(gè)非空表，表頭可能是原子，也可能是列表；但表尾一定是列表。第三十頁(yè)，共38頁(yè)。E=(a,E)=(a,(a,E))=(a,(a,(a,…….)))，E為遞歸表1）A=()2）B=(e)3）C=(a,(b,c,d))4）D=(A,B,C)5）E=(a,E)例1：求下列廣義表的長(zhǎng)度。n=0，因?yàn)锳是空表n=1，表中元素e是原子n=2，a為原子，(b,c,d)為子表n=3，3個(gè)元素都是子表n=2，a為原子，E為子表D=(A,B,C)=((),(e),(a,(b,c,d)))，共享表第三十一頁(yè)，共38頁(yè)。ABDCeabcd②A=(a,(b,A))例2：試用圖形表示下列廣義表.（設(shè)代表原子，代表子表）

e①D=(A,B,C)=((),(e),(a,(b,c,d)))A