第6章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

第6章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)第一頁(yè)，共75頁(yè)。2內(nèi)容提要6.1引言6.2線(xiàn)性相位FIR濾波器的特點(diǎn)6.3利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器6.4利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器6.5FIR濾波器和IIR濾波器的比較第二頁(yè)，共75頁(yè)。本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)了解兩類(lèi)線(xiàn)性相位的概念，掌握FIR數(shù)字濾波器線(xiàn)性相位條件的推導(dǎo)與證明；掌握相位條件FIR濾波器的幅度特點(diǎn)和零點(diǎn)特性；掌握窗函數(shù)法和頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器的基本原理、步驟和實(shí)現(xiàn)；了解等波紋逼近法、簡(jiǎn)單整系數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的方法；掌握IIR及FIR數(shù)字濾波器的比較。3第三頁(yè)，共75頁(yè)。46.1引言一、IIR濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：

可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計(jì)有大量圖表可查，方便簡(jiǎn)單。精度高。

缺點(diǎn)：

相位的非線(xiàn)性，若須線(xiàn)性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，使濾波器設(shè)計(jì)變得復(fù)雜。第四頁(yè)，共75頁(yè)。5信號(hào)通過(guò)3種系統(tǒng)后的輸出不發(fā)生相位失真的條件群時(shí)延（常數(shù)）幅度失真相位失真無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)谖屙?yè)，共75頁(yè)。6二、FIRDF優(yōu)點(diǎn)

在滿(mǎn)足幅度特性的同時(shí)，很容易做到線(xiàn)性相位特性。

設(shè)FIR濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：

穩(wěn)定和線(xiàn)性相位是FIR濾波器突出的優(yōu)點(diǎn)。收斂域包含單位圓，因此，H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。第六頁(yè)，共75頁(yè)。7三、為何要設(shè)計(jì)FIR濾波器

（1）語(yǔ)音處理、圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸要求線(xiàn)性相位，任意幅度（信道具有線(xiàn)性相位特性），而FIR數(shù)字濾波器能夠很容易地實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性相位。

（2）FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因而濾波器一定是穩(wěn)定的。

（3）FIR數(shù)字濾波器可以用FFT算法來(lái)實(shí)現(xiàn)過(guò)濾信號(hào)。四、本章討論的主要內(nèi)容

（1）線(xiàn)性相位FIR濾波器的條件和特點(diǎn)（2）線(xiàn)性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法

——窗函數(shù)法和頻率采樣法第七頁(yè)，共75頁(yè)。86.2.1FIRDF具有線(xiàn)性相位的條件

對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為：

6.2線(xiàn)性相位FIR濾波器的條件和特點(diǎn)其中，——幅度特性，純實(shí)數(shù)，可正可負(fù)，即

——相位特性

注意：幅度特性≠幅頻特性第八頁(yè)，共75頁(yè)。9例如：第九頁(yè)，共75頁(yè)。10第十頁(yè)，共75頁(yè)。111．H(ejω)線(xiàn)性相位概念

H(ejω)線(xiàn)性相位是指是ω的線(xiàn)性函數(shù)，即群時(shí)延000為常數(shù)——第一類(lèi)線(xiàn)性相位為起始相位——第二類(lèi)線(xiàn)性相位第十一頁(yè)，共75頁(yè)。122．FIR濾波器具有線(xiàn)性相位的條件h(n)是實(shí)序列，且滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)或奇對(duì)稱(chēng)，即h(n)=h(N-1-n)或h(n)=-h(N-1-n)，對(duì)稱(chēng)軸第十二頁(yè)，共75頁(yè)。13N為奇數(shù)N為偶數(shù)第十三頁(yè)，共75頁(yè)。143．線(xiàn)性相位條件的證明

（1）h(n)偶對(duì)稱(chēng)的情況由此可得令m=N-1-n因此——第一類(lèi)線(xiàn)性相位

第十四頁(yè)，共75頁(yè)。15

（2）h(n)奇對(duì)稱(chēng)的情況因此——第二類(lèi)線(xiàn)性相位

第十五頁(yè)，共75頁(yè)。16N為奇數(shù)N為偶數(shù)第十六頁(yè)，共75頁(yè)。將和式中偶對(duì)稱(chēng)的項(xiàng)兩兩合并。由于N是奇數(shù)，故余下中間一項(xiàng)（），其余組合后共有項(xiàng)，得176.2.2線(xiàn)性相位FIR濾波器幅度特性的特點(diǎn)

（1）h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù)——1型均對(duì)(N-1)/2呈偶對(duì)稱(chēng)令m=(N-1)/2-n由于cosnω對(duì)ω=0、π、2π這些點(diǎn)偶對(duì)稱(chēng)，因此H

(ω)關(guān)于ω=0、π、2π偶對(duì)稱(chēng)。第十七頁(yè)，共75頁(yè)。18

（2）h(n)=h(N-1-n)，N為偶數(shù)——2型

由于N是偶數(shù)，故無(wú)單獨(dú)項(xiàng)。合并后可得令m=(N-1)/2-n第十八頁(yè)，共75頁(yè)。19

（3）h(n)=-h(N-1-n)，N為奇數(shù)——3型由，同理得到第十九頁(yè)，共75頁(yè)。20

（4）h(n)=-h(N-1-n)，N為偶數(shù)——4型第二十頁(yè)，共75頁(yè)。表6-1a四種線(xiàn)性相位FIR濾波器的特性第二十一頁(yè)，共75頁(yè)。22實(shí)際使用時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，1型適合構(gòu)成低通、高通、帶通、帶阻濾波器；2型適合構(gòu)成低通、帶通濾波器；3型適合構(gòu)成帶通濾波器；4型適合構(gòu)成高通、帶通濾波器。第二十二頁(yè)，共75頁(yè)。23表6-1b四種線(xiàn)性相位濾波器1型2型第二十三頁(yè)，共75頁(yè)。3型4型24第二十四頁(yè)，共75頁(yè)。256.2.3線(xiàn)性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)由式（6-9）和（6-16）得到：

如果H(zi)=0，則H(zi-1)=0。此外，因h(n)是實(shí)數(shù)，H(z)的零點(diǎn)必成共軛對(duì)出現(xiàn)，所以及也一定是H(z)的零點(diǎn)。所以，零點(diǎn)必是互為倒數(shù)的共軛對(duì)或者說(shuō)共軛鏡像。第二十五頁(yè)，共75頁(yè)。26圖6-5線(xiàn)性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置圖第二十六頁(yè)，共75頁(yè)。27第二十七頁(yè)，共75頁(yè)。第二十八頁(yè)，共75頁(yè)。296.3窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器（Fourier級(jí)數(shù)法）一、設(shè)計(jì)思路與方法

1.由理想的頻率響應(yīng)得到理想的；

2.將無(wú)限長(zhǎng)的hd(n)加窗截?cái)酁橛邢揲L(zhǎng)的h(n)；h(n)=hd(n)w(n)例如，。

3.由h(n)所設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)。非因果，無(wú)限長(zhǎng)要注意線(xiàn)性相位的約束條件！第二十九頁(yè)，共75頁(yè)。30例：設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位FIR數(shù)字低通濾波器。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)

無(wú)限長(zhǎng)偶對(duì)稱(chēng)

截短保留特點(diǎn)：解決方法：第三十頁(yè)，共75頁(yè)。31在一定意義上來(lái)看，窗函數(shù)決定了我們能夠“看到”多少個(gè)原來(lái)的單位脈沖響應(yīng)，“窗”這個(gè)用詞的含義也就在此。=(N-1)/2a第三十一頁(yè)，共75頁(yè)。32二、加窗對(duì)濾波器頻率特性的影響第三十二頁(yè)，共75頁(yè)。圖6-9矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響第三十三頁(yè)，共75頁(yè)。34第三十四頁(yè)，共75頁(yè)。吉布斯（Gibbs）效應(yīng)

由于對(duì)hd(n)截短，導(dǎo)致了所設(shè)計(jì)濾波器幅頻特性的起伏波動(dòng)，波動(dòng)的幅度強(qiáng)弱完全取決于窗函數(shù)的類(lèi)型，而與窗的寬度N無(wú)關(guān)。這種現(xiàn)象稱(chēng)為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。N=7N=21N=51N=101第三十五頁(yè)，共75頁(yè)。361.加矩形窗對(duì)濾波器頻響產(chǎn)生的影響

（1）出現(xiàn)過(guò)渡帶，寬度等于WR(ω)的主瓣寬度（對(duì)于矩形窗）；

（2）通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生波動(dòng)，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度。

2.對(duì)窗函數(shù)的要求主瓣寬度小，以獲得較陡的過(guò)渡帶；與主瓣的幅度相比，旁瓣應(yīng)盡可能小，把能量盡量集中在主瓣中，以減小通帶和阻帶中的波紋幅度。第三十六頁(yè)，共75頁(yè)。37三、常用窗函數(shù)

（1）矩形窗主瓣寬度：第三十七頁(yè)，共75頁(yè)。38

（2）升余弦窗（漢寧窗HanningWindow）主瓣寬度：第三十八頁(yè)，共75頁(yè)。39

（3）改進(jìn)的升余弦窗（漢明Hamming窗）主瓣寬度：第三十九頁(yè)，共75頁(yè)。40

（4）二階升余弦窗（布萊克曼Blackman窗）主瓣寬度：第四十頁(yè)，共75頁(yè)。41HammingBlackman圖6-10常用窗函數(shù)的時(shí)域波形第四十一頁(yè)，共75頁(yè)。圖6-11常用窗函數(shù)的頻譜HammingBlackmanRectangleHanning第四十二頁(yè)，共75頁(yè)。圖6-12理想低通加窗后的幅度響應(yīng)（N=51）HammingBlackmanRectangleHanning第四十三頁(yè)，共75頁(yè)。44

（5）凱塞窗（KaiserWindow）

這是一種適應(yīng)性較強(qiáng)的窗，其窗函數(shù)的表示式為式中，I0(x)是第一類(lèi)變形零階貝塞爾函數(shù)，是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)。凱塞窗可以在主瓣寬度和旁瓣衰減之間自由選擇。

第四十四頁(yè)，共75頁(yè)。45表6-2凱塞窗的性能第四十五頁(yè)，共75頁(yè)。46表6-3幾種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較

要求：熟悉各種窗函數(shù)的技術(shù)指標(biāo)和加窗后對(duì)濾波特性的影響，能根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)正確選擇窗函數(shù)類(lèi)型及其長(zhǎng)度N。第四十六頁(yè)，共75頁(yè)。四、窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位FIR濾波器的一般步驟

為了準(zhǔn)確控制濾波器通帶邊緣，常需進(jìn)行多次設(shè)計(jì)。若Hd(ejw)不能用簡(jiǎn)單函數(shù)表示，則可用求和運(yùn)算代替積分運(yùn)算。第四十七頁(yè)，共75頁(yè)。48例題

例6-4用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位帶通濾波器（1）設(shè)計(jì)N為奇數(shù)時(shí)的h(n)。（2）設(shè)計(jì)N為偶數(shù)時(shí)的h(n)。（3）若改用海明窗設(shè)計(jì)，求以上兩種形式的h(n)表達(dá)式。第四十八頁(yè)，共75頁(yè)。49

解：h(n)=hd(n)RＮ(n)

注意：N取奇、偶，雖然兩個(gè)表達(dá)式形式完全一樣，但在0≤n≤N-1上的取值上完全不同。第四十九頁(yè)，共75頁(yè)。50

例6-5根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器。

通帶截止頻率wp=0.2p，通帶允許波動(dòng)Ap=0.25dB；阻帶截止頻率ws=0.3p，阻帶衰減As=50dB。

解：查表6-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰減。但海明窗具有較小的過(guò)渡帶從而具有較小的長(zhǎng)度N。根據(jù)題意，所要設(shè)計(jì)的濾波器的過(guò)渡帶為

由表6-3可知，利用海明窗設(shè)計(jì)的濾波器的過(guò)渡帶寬Δw=8p/N，所以低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)度為第五十頁(yè)，共75頁(yè)。513dB通帶截止頻率為

由式（6-29）可知，理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為海明窗為則所設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為第五十一頁(yè)，共75頁(yè)。52例6-6用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器設(shè)N=11，wc=0.2prad。解：Matlab程序如下%漢寧窗N=11;n=[0:1:N-1];Wc=0.2*pi;hd=ideal_lp(Wc,N);w_han=(hanning(N))';h=hd.*w_han;[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1);plot(w/pi,db);%矩形窗w_han=(boxcar(N))';%布萊克曼窗w_han=(blackman(N))';第五十二頁(yè)，共75頁(yè)。53仿真曲線(xiàn)第五十三頁(yè)，共75頁(yè)。546.4利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器一、設(shè)計(jì)方法

（1）對(duì)待設(shè)計(jì)的濾波器頻響在之間等間隔采樣N點(diǎn)，得到

（2）將此Hd(k)作為所設(shè)計(jì)濾波器頻響的采樣值，即令H(k)=Hd(k)，k=0,1,…,N-1

（3）對(duì)N點(diǎn)H(k)求IDFT，得到h(n)。將h(n)代入z變換或DTFT公式，可得所設(shè)計(jì)濾波器的H(z)或H(ejw)。

也可以根據(jù)H(z)或H(ejw)的內(nèi)插公式，由H(k)內(nèi)插恢復(fù)出H(z)及H(ejw)。要注意線(xiàn)性相位的約束條件！第五十四頁(yè)，共75頁(yè)。55與窗函數(shù)法比較：第五十五頁(yè)，共75頁(yè)。（1）1型線(xiàn)性相位FIR濾波器（h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù)），令由于Hd(w)關(guān)于w=p偶對(duì)稱(chēng)，Hd(w)=Hd(2p-w)，因此Hk也滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)的要求。相位二、設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位濾波器的條件第五十六頁(yè)，共75頁(yè)。57（2）其他類(lèi)型線(xiàn)性相位FIR濾波器

頻率采樣法設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單，所得的系統(tǒng)頻率響應(yīng)在每個(gè)頻率采樣點(diǎn)上嚴(yán)格與理想特性一致，各采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。第五十七頁(yè)，共75頁(yè)。58三、逼近誤差

從時(shí)域方面分析根據(jù)頻域采樣定理，h(n)和hd(n)的關(guān)系為：由于時(shí)域混疊，引起h(n)和hd(n)有偏差，可增大N來(lái)減小。

從頻域方面分析

采樣點(diǎn)處H(ejw)與理想特性一致，采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。逼近誤差和Hd(ejw)的平滑程度有關(guān)。內(nèi)插函數(shù)第五十八頁(yè)，共75頁(yè)。59圖6-17內(nèi)插后矩形理想特性與梯形特性頻率采樣的響應(yīng)由圖可見(jiàn)：

誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線(xiàn)形狀。理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插（采樣）值越接近理想值，逼近誤差越小。第五十九頁(yè)，共75頁(yè)。60四、過(guò)渡帶采樣的最優(yōu)設(shè)計(jì)為了提高逼近質(zhì)量，在理想特性不連續(xù)點(diǎn)處人為加入過(guò)渡采樣點(diǎn)（1～3個(gè)），雖然加寬了過(guò)渡帶，但緩和了邊緣上兩采樣點(diǎn)之間的突變，將有效的減少起伏振蕩，提高阻帶衰減。

過(guò)渡點(diǎn)的值，可由計(jì)算機(jī)通過(guò)線(xiàn)性最優(yōu)化技術(shù)來(lái)確定。第六十頁(yè)，共75頁(yè)。

例6-8利用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位FIR低通濾波器，已知

（1）采樣點(diǎn)數(shù)N=33，wc=p/2；

（2）采樣點(diǎn)數(shù)N=34，wc=p/2，設(shè)置兩個(gè)過(guò)渡點(diǎn)|H1(k)|=0.5925，|H2(k)|=0.1099。

解：（1）首先選擇濾波器的種類(lèi)。由于要設(shè)計(jì)的是低通，且N為奇數(shù)，故選擇1型濾波器，于是有由，確定通帶內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)取整數(shù)k=8，應(yīng)在通帶內(nèi)設(shè)置9個(gè)采樣點(diǎn)（k=0～8），第10個(gè)采樣點(diǎn)已在通帶截止頻率之外，處于阻帶內(nèi)。第六十一頁(yè)，共75頁(yè)。62根據(jù)Hk=HN-k，可得Hk為因此將H(k)代入內(nèi)插公式即得所設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)。第六十二頁(yè)，共75頁(yè)。（2）選擇濾波器的種類(lèi)。由于要設(shè)計(jì)的是低通，且N為偶數(shù)，故選擇第2類(lèi)濾波器，于是有由，確定通帶內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)取整數(shù)k=8，應(yīng)在通帶內(nèi)設(shè)置9個(gè)采樣點(diǎn)（k=0～8），第10個(gè)采樣點(diǎn)已在通帶截止頻率之外，可將第10、11點(diǎn)設(shè)為過(guò)渡點(diǎn)。根據(jù)Hk=-HN-k，可得Hk為

Hk=1(k=0～8)，0.5925(k=9)，0.1099(k=10),-0.1099(k=24),

-0.5925(k=25)，-1(k=26～33)，0(其它)第六十三頁(yè)，共75頁(yè)。64第六十四頁(yè)，共75頁(yè)。65因此將H(k)代入內(nèi)插公式即得所設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)。第六十五頁(yè)，共75頁(yè)。66例6-9要求編程實(shí)現(xiàn)例題6-8中所要求的內(nèi)容。

解：Matlab主要程序%過(guò)渡帶不設(shè)置采樣點(diǎn)N=33;alpha=(N-1)/2;k=0:N-1;wk=(2*pi/N)*k;Hk=[ones(1,9),zeros(1,16),ones(1,8)];Hd=[1,1,0,0];wd=[0,0.5,0.5,1];angH=-alpha*(2*pi)/N*k;H=Hk.*exp(i*angH);h=real(ifft(H,N));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1);[Hr,ww,a,L]=Hr_Type1(h);subplot(2,2,1);plot(ww/pi,Hr,wk(1:17)/pi,Hk(1:17),'o',wd,Hd);axis([0,1,-0.5,1.2]);subplot(2,2,2);plot(w/pi,db);axis([0,1,-100,10]);grid第六十六頁(yè)，共75頁(yè)。仿真曲線(xiàn)第六十七頁(yè)，共75頁(yè)。686.5FIR濾波器和IIR濾波器的比較

前面討論了IIR和FIR兩種濾波器傳輸函數(shù)的設(shè)計(jì)方法。這兩種濾波器究竟各自有什么特點(diǎn)？在實(shí)際運(yùn)用時(shí)應(yīng)該怎樣去選擇它們呢？

為此對(duì)這兩種濾波器作一簡(jiǎn)單的比較。

1.從性能上比較

2.從結(jié)構(gòu)上比較

3.從設(shè)計(jì)工具上比較第六十八頁(yè)，共75頁(yè)。691.從性能上進(jìn)行比較IIR濾波器

傳輸函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟(jì)而效率高。但是這個(gè)高效率是以相位的非線(xiàn)性為代價(jià)的。選擇性越好，則相位非線(xiàn)性越嚴(yán)重。FIR濾波器

可以得到嚴(yán)格的線(xiàn)性相位，然而由于FIR濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)固定在原點(diǎn)，所以只能用較高的階數(shù)達(dá)到高的選擇性；對(duì)于同樣的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)可以比IIR濾波器高5-10倍，結(jié)果，成本較高，信號(hào)延時(shí)也較大。第六十九頁(yè)，共75頁(yè)。702.從結(jié)構(gòu)上進(jìn)行比較IIR濾波器