橋梁結(jié)構(gòu)數(shù)值分析理論

專題一橋梁結(jié)構(gòu)數(shù)值分析理論橋梁結(jié)構(gòu)分析的有限元法橋梁結(jié)構(gòu)的非線性分析理論現(xiàn)在是1頁\一共有123頁\編輯于星期三

一、概述1850年矩陣符號問世，1956年Turner等人將剛架位移法推廣應(yīng)用到彈性力學(xué)的平面問題，并在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)獲得成功現(xiàn)代有限元法在各個領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用:1.由彈性力學(xué)平面問題擴(kuò)展到空間問題和板殼問題：拱壩、渦輪葉片、飛機(jī)、船體及大型橋梁2.由平衡問題擴(kuò)展到穩(wěn)定問題與動力問題：結(jié)構(gòu)地震、抗風(fēng)與波浪力、動力反應(yīng)3.由彈性問題擴(kuò)展到彈塑性與粘彈性問題、土力學(xué)與巖石力學(xué)問題，疲勞與脆性斷裂問題4.由結(jié)構(gòu)計算問題擴(kuò)展到結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題5.由固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、滲流與固結(jié)理論、熱傳導(dǎo)與熱應(yīng)力問題（焊接殘余應(yīng)力、原子反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力）、磁場問題（感應(yīng)電動機(jī)的磁場分析）以及建筑聲學(xué)與噪音問題6.由工程力學(xué)擴(kuò)展到力學(xué)的其它領(lǐng)域（冰川與地質(zhì)力學(xué)、血管與眼球力學(xué)等）現(xiàn)在是2頁\一共有123頁\編輯于星期三傳統(tǒng)的桿單元、板單元、塊單元、殼單元不斷完善，索單元、虛擬層合單元等使得復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析得以簡化.

本章--簡述有限元法的基本思路匯總出橋梁結(jié)構(gòu)分析中的常用單元剛度矩陣

現(xiàn)在是3頁\一共有123頁\編輯于星期三橋梁結(jié)構(gòu)分析的有限元法概述有限元分析基本步驟結(jié)構(gòu)的離散單元剛度矩陣坐標(biāo)變換等價集中力和荷載列陣總剛的形成邊界條件的處理線性方程求解現(xiàn)在是4頁\一共有123頁\編輯于星期三概述解析法根據(jù)力學(xué)原理，建立微分方程，求解邊值問題，得到問題的解析解。半解析法在數(shù)值分析方法中引入部分解析解或解析函數(shù)，得到問題的近似解。數(shù)值分析方法數(shù)值分析方法一般采用有限元法用程序進(jìn)行求解?，F(xiàn)在是5頁\一共有123頁\編輯于星期三解析法彈性力學(xué)平面問題的求解：2個平衡方程、3個幾何方程、3個物理方程在具體的邊界條件（位移、荷載）下偏微分方程組的數(shù)學(xué)求解過程?，F(xiàn)在是6頁\一共有123頁\編輯于星期三7平面問題的平衡微分方程平面幾何方程平面應(yīng)力問題物理方程平面應(yīng)變問題物理方程現(xiàn)在是7頁\一共有123頁\編輯于星期三將解析與數(shù)值方法相結(jié)合的方法稱為半解析法(semi-analyticmethod)。它既克服了純解析的理論分析在數(shù)學(xué)上的困難及應(yīng)用的局限性，又大大降低了基于全離散原理的純數(shù)值方法的計算工作量。有線條單元結(jié)構(gòu)的組合單元是沿結(jié)構(gòu)縱向分布的“條”,條間縱向用接縫連接，由于正交異性板的縱向結(jié)構(gòu)和這種“條”式單元基本一致，故采用此法分析十分有效。半解析法現(xiàn)在是8頁\一共有123頁\編輯于星期三將整個結(jié)構(gòu)看成由有限個力學(xué)小單元組成的集合體，用有關(guān)的參數(shù)來表述這些被離散單元的力學(xué)性質(zhì)，而整個結(jié)構(gòu)的力學(xué)性質(zhì)就只這些有限個單元特征的總和。由此來建立力的平衡關(guān)系和變形協(xié)調(diào)關(guān)系，求解桿件的內(nèi)力。有限元將一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題進(jìn)行求解。如果將區(qū)域劃分成很細(xì)的網(wǎng)格，也即單元的尺寸變得越來越小，或隨著單元自由度的增加及插值函數(shù)精度的提高，解的近似程度將不斷被改進(jìn)。如果單元是滿足收斂要求的，近似解最后可收斂于精確解。有限元法現(xiàn)在是9頁\一共有123頁\編輯于星期三有限元分析的基本步驟有限元法分析的實(shí)施過程（三個階段）(1)前處理階段（約占整個工作量的60%）：將整體結(jié)構(gòu)或其一部分簡化為理想的數(shù)學(xué)力學(xué)模型，用離散化的單元代替連續(xù)實(shí)體結(jié)構(gòu)或求解區(qū)域；(2)分析計算階段（約占整個工作量的10%）：運(yùn)用有限元法對結(jié)構(gòu)離散模型進(jìn)行分析計算；(3)后處理階段（約占整個工作量的30%）：對計算結(jié)果進(jìn)行分析、整理和歸納?，F(xiàn)在是10頁\一共有123頁\編輯于星期三二、橋梁結(jié)構(gòu)有限元法的分析過程

結(jié)構(gòu)有限元法的分析過程六個步驟：（1）結(jié)構(gòu)的離散化

將要分析的橋梁結(jié)構(gòu)物分割成有限個單元體，并在單元體的指定點(diǎn)設(shè)置結(jié)點(diǎn)，使相鄰單元的有關(guān)參數(shù)具有一定的連續(xù)性，并構(gòu)成一個單元的集合體，以它代替原來的結(jié)構(gòu)。（2）選擇位移模式

假定位移是坐標(biāo)的某種函數(shù)，稱為位移模式或插值函數(shù)。根據(jù)所選定的位移模式，就可以導(dǎo)出用結(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系式：:例如分析對象是桁架橋時，可以取每根桿件作為一個單元，因?yàn)殍旒軜虮緛砭褪怯蓷U件組成的。但如果分析的對象是連續(xù)體，如板橋，那末為了有效地逼近實(shí)際的連續(xù)體，就需要考慮選擇單元的形狀和分割方案以及確定單元和結(jié)點(diǎn)的數(shù)目等問題。:選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法分析中的關(guān)鍵。通常選擇多項(xiàng)式作為位移模式。其原因是因?yàn)槎囗?xiàng)式的數(shù)學(xué)運(yùn)算（微分和積分）比較方便，并且由于所有光滑函數(shù)的局部，都可以用多項(xiàng)式逼近。至于多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和階次的選擇，則要考慮到單元的自由度和解的收斂性要求。一般來說，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于單元的自由度數(shù)，它的階次應(yīng)包含常數(shù)項(xiàng)和線性項(xiàng)等。這里所謂單元的自由度是指單元結(jié)點(diǎn)獨(dú)立位移的個數(shù)?，F(xiàn)在是11頁\一共有123頁\編輯于星期三（3）分析單元的力學(xué)特性

①利用幾何方程，由位移表達(dá)式導(dǎo)出用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變

②利用本構(gòu)方程，由應(yīng)變的表達(dá)式導(dǎo)出用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力

③利用變分原理，建立單元的平衡方程

單元坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系不一致時，需用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

單元剛度矩陣是單元特性分析的核心內(nèi)容現(xiàn)在是12頁\一共有123頁\編輯于星期三（4）建立整個結(jié)構(gòu)的平衡方程

兩個方面：一是將各個單元的剛度矩陣，集合成整個物體的整體剛度矩陣；二是將作用于各單元的等效結(jié)點(diǎn)力列陣，集合成總的荷載列陣。常用方法---直接剛度法集合所依據(jù)的理由是要求所有的相鄰的單元在公共結(jié)點(diǎn)處的位移相等。整個結(jié)構(gòu)的平衡方程（5）求解未知結(jié)點(diǎn)位移

考慮幾何邊界條件將方程作適當(dāng)修改之后，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，選擇合適的計算方法，可解出未知位移。（6）計算單元應(yīng)力及所需要的結(jié)果利用已求出的結(jié)點(diǎn)位移，計算各單元應(yīng)力，加以整理得出所要求的結(jié)果。

現(xiàn)在是13頁\一共有123頁\編輯于星期三結(jié)構(gòu)的離散對象離散方法

自然離散（桁架）

逼近離散（連續(xù)體）

有限元網(wǎng)格有限單元節(jié)點(diǎn)現(xiàn)在是14頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是15頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是16頁\一共有123頁\編輯于星期三青島海灣大橋大沽河航道橋現(xiàn)在是17頁\一共有123頁\編輯于星期三索鞍單元和邊界模擬現(xiàn)在是18頁\一共有123頁\編輯于星期三吊索與主纜和加勁梁的連接模擬現(xiàn)在是19頁\一共有123頁\編輯于星期三臨時墩模擬現(xiàn)在是20頁\一共有123頁\編輯于星期三施工索塔、橋墩、臨時墩

架設(shè)加勁梁

現(xiàn)在是21頁\一共有123頁\編輯于星期三架設(shè)主纜吊索張拉過程

現(xiàn)在是22頁\一共有123頁\編輯于星期三吊索張拉完畢

成橋

現(xiàn)在是23頁\一共有123頁\編輯于星期三西安浐灞生態(tài)區(qū)2#橋

西安浐灞生態(tài)區(qū)2#橋，異形斜拉主橋結(jié)構(gòu)形式為斜獨(dú)塔斜拉橋，半飄浮體系。跨徑布置為145米+48米+42米，其中145米為鋼箱梁主跨?，F(xiàn)在是24頁\一共有123頁\編輯于星期三有限元模型現(xiàn)在是25頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是26頁\一共有123頁\編輯于星期三錨具與錨體錨具與散索鋼箱梁鋼錨梁現(xiàn)在是27頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是28頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是29頁\一共有123頁\編輯于星期三（b）引入裂縫統(tǒng)計特征后的斜裂縫分布混凝土損傷評估——剪彎曲段模擬現(xiàn)在是30頁\一共有123頁\編輯于星期三其它示例現(xiàn)在是31頁\一共有123頁\編輯于星期三其它示例現(xiàn)在是32頁\一共有123頁\編輯于星期三其它示例現(xiàn)在是33頁\一共有123頁\編輯于星期三其它示例現(xiàn)在是34頁\一共有123頁\編輯于星期三單元剛度矩陣35平面梁單元回顧平面梁單元剛度矩陣現(xiàn)在是35頁\一共有123頁\編輯于星期三1）平面梁單元剛度矩陣36圖2所示兩結(jié)點(diǎn)梁單元，每個節(jié)點(diǎn)有三個位移:兩個線位移u、w一個角位移θ。兩個節(jié)點(diǎn)共有六個位移，組成節(jié)點(diǎn)位移列陣：用一般的結(jié)構(gòu)力學(xué)方法可以求得結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系為：—局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣e-element現(xiàn)在是36頁\一共有123頁\編輯于星期三37單元的六個桿端力與六個桿端位移關(guān)系現(xiàn)在是37頁\一共有123頁\編輯于星期三38現(xiàn)在是38頁\一共有123頁\編輯于星期三坐標(biāo)變換39

為了在整體坐標(biāo)系中集合單元剛度矩陣，要把局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中去。為此，要先求出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。設(shè)桿i、j在整體坐標(biāo)系中的位置如圖。桿軸方向與整體坐標(biāo)系的軸之間的夾角為α。設(shè)局部坐標(biāo)系中的桿端結(jié)點(diǎn)力向量為

：在整體坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)力向量為現(xiàn)在是39頁\一共有123頁\編輯于星期三40兩者存在著下列轉(zhuǎn)換關(guān)系：式中—坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，它是一個正交矩陣，即有坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣平面梁的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣現(xiàn)在是40頁\一共有123頁\編輯于星期三同理，結(jié)點(diǎn)位移在兩種坐標(biāo)系中存在著相同的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即：式中—局部坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移向量—整體坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移向量在局部坐標(biāo)系中有剛度方程41坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣現(xiàn)在是41頁\一共有123頁\編輯于星期三將式代入上式可得令則這就是整體坐標(biāo)系中的6×6階單元剛度矩陣。42坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣現(xiàn)在是42頁\一共有123頁\編輯于星期三等價集中力及荷載列陣

如果在單元內(nèi)有非節(jié)點(diǎn)荷載，就不可能直接建立結(jié)構(gòu)剛度方程，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)剛度方程表示的是節(jié)點(diǎn)力的平衡方程。下圖所示結(jié)構(gòu)具有3個節(jié)點(diǎn)，2個單元，

、

、

為節(jié)點(diǎn)荷載，

、

為非節(jié)點(diǎn)荷載。單元內(nèi)有非節(jié)點(diǎn)荷載作用的連續(xù)梁43現(xiàn)在是43頁\一共有123頁\編輯于星期三

要解決這個問題，需用等效節(jié)點(diǎn)荷載來代替非節(jié)點(diǎn)荷載來分析整體結(jié)構(gòu)受力，處理原則為在等效節(jié)點(diǎn)荷載作用下的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移與實(shí)際荷載作用下結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移應(yīng)相等。具體可按如下步驟處理：(1)求等效節(jié)點(diǎn)荷載計算非節(jié)點(diǎn)荷載的等效節(jié)點(diǎn)荷載時可分兩步進(jìn)行：第一步：在各節(jié)點(diǎn)加上約束，阻止節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移，計算結(jié)構(gòu)上所有非節(jié)點(diǎn)荷載的效應(yīng)，其中

、

、

為非結(jié)點(diǎn)荷載在增加的約束中引起的反力(彎矩)。單元(1)、(2)產(chǎn)生的固端力矩(加腳標(biāo)0表示固端力矩)為：

，

44現(xiàn)在是44頁\一共有123頁\編輯于星期三

各節(jié)點(diǎn)增加的約束中的反力分別為與該節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)單元的固端力矩之和：

第二步，去掉各節(jié)點(diǎn)的約束，相當(dāng)于在各節(jié)點(diǎn)施加外力矩向量{P}＝-{M0}；再疊加上原有的節(jié)點(diǎn)荷載

、

、

，總的節(jié)點(diǎn)荷載圖所示。

45現(xiàn)在是45頁\一共有123頁\編輯于星期三

(2)求各桿端彎矩連續(xù)梁在非節(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端彎矩由兩部分組成，一部分是在節(jié)點(diǎn)加阻止位移的約束時非節(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端彎矩，另一部分是在等效節(jié)點(diǎn)力荷載作用下的桿端彎矩。將兩部分桿端力進(jìn)行疊加，即得非節(jié)點(diǎn)荷載作用下各桿的桿端彎矩。

這種轉(zhuǎn)換的理論基礎(chǔ)是：在某任意位移下，真實(shí)分布力和等價集中力所做的虛功相等。46現(xiàn)在是46頁\一共有123頁\編輯于星期三等效節(jié)點(diǎn)荷載現(xiàn)在是47頁\一共有123頁\編輯于星期三總剛的形成

通過整體分析，建立了節(jié)點(diǎn)的平衡方程，即結(jié)構(gòu)的剛度方程，從而得到結(jié)構(gòu)剛度矩陣。但是，要實(shí)現(xiàn)電算，不可能對每一具體結(jié)構(gòu)都作一次總體分析，而應(yīng)該找一種規(guī)律，在確定了節(jié)點(diǎn)位移和荷載的排序后，使計算機(jī)能夠直接由單元剛度矩陣集成結(jié)構(gòu)剛度矩陣，從單元剛度方程得到結(jié)構(gòu)的剛度方程，這一方法稱為直接剛度法。下面回顧下用直接剛度法直接由單元剛度矩陣集成結(jié)構(gòu)剛度矩陣的過程。(1)確定結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階數(shù)現(xiàn)在是48頁\一共有123頁\編輯于星期三結(jié)構(gòu)剛度方程中第i行，表示該結(jié)構(gòu)第i個位移分量上力的平衡方程，因此，如果結(jié)構(gòu)有N個獨(dú)立位移分量，就可列出N個獨(dú)立平衡方程，結(jié)構(gòu)剛度矩陣就是N×N階的。本例有3個獨(dú)立的位移分量，故總剛必然為3×3階的，寫成：

49現(xiàn)在是49頁\一共有123頁\編輯于星期三(2)確定單元剛度矩陣中元素與結(jié)構(gòu)剛度矩陣中元素的關(guān)系若將單元剛度矩陣下標(biāo)寫成位移分量編號的形式。單元1：,單元2：,有：

，，，，

，

，

，

。

，50現(xiàn)在是50頁\一共有123頁\編輯于星期三可見，若將單元剛度矩陣中元素下標(biāo)寫成位移分量編號的形式，則結(jié)構(gòu)剛度矩陣中任一剛度元素與單元剛度矩陣中元素有如下關(guān)系：因此，用直接剛度法集成總剛，可歸納為以下幾步式中：e-單元號，ne-結(jié)構(gòu)單元總數(shù)因此，用直接剛度法集成總剛，可歸納為以下幾步：⑴結(jié)構(gòu)未知量進(jìn)行編號，確定各未知量在結(jié)構(gòu)剛度方程中

的位置(行號)；⑵確定結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階數(shù)N；⑶對單元e進(jìn)行循環(huán)，尋找e單元剛度矩陣中各元素下標(biāo)對應(yīng)于整體剛度方程中的未知量編號；并按此編號，根據(jù)上式分別疊加到結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣中的對應(yīng)位置上去。，51現(xiàn)在是51頁\一共有123頁\編輯于星期三對單元循環(huán)完畢時，結(jié)構(gòu)剛度矩陣就形成了。形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣是有限元分析過程中十分重要的環(huán)節(jié)，為了節(jié)約計算機(jī)存儲空間，加快剛度方程求解速度，還必須了解結(jié)構(gòu)剛度矩陣具有如下性質(zhì)：⑴結(jié)構(gòu)剛度矩陣是N×N階的方陣，N為結(jié)構(gòu)的未知量總數(shù)。⑵結(jié)構(gòu)剛度矩陣是對稱陣，即

，這一性質(zhì)由力-位移互等定理決定。⑶處于同一單元上的兩個未知量稱相關(guān)未知量。若兩個未知量不相關(guān)，則

。由式(13)可知，兩個未知量不相關(guān)，就沒有單元剛度矩陣貢獻(xiàn)，因此

，如本例中

;，現(xiàn)在是52頁\一共有123頁\編輯于星期三⑷結(jié)構(gòu)剛度矩陣為帶狀矩陣，其非0元素分布在主對角線元素附近。⑸結(jié)構(gòu)剛度矩陣是稀疏陣，非0元素很少。對于較大規(guī)模的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的非0元素只占總元素的10%左右。⑹結(jié)構(gòu)剛度矩陣是非負(fù)定矩陣，即對任意不為0的N維向量

有：

。，現(xiàn)在是53頁\一共有123頁\編輯于星期三邊界條件的處理

在建立了結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣后，可進(jìn)一步求結(jié)點(diǎn)位移，但是此時結(jié)構(gòu)未引入邊界條件（支承條件），是一個懸空結(jié)構(gòu)，如果荷載P本身不是平衡力系，則這個懸空結(jié)構(gòu)顯然無法維持平衡，因而在靜力學(xué)中無法求出它的內(nèi)力和位移；如果荷載P本身是平衡體系，則這個懸空結(jié)構(gòu)還可以做剛體運(yùn)動。現(xiàn)在是54頁\一共有123頁\編輯于星期三

整體剛度矩陣K是一個奇異矩陣，只有引入一定的支承條件后修改整體剛度矩陣，使之成為非奇異矩陣，才可以求出結(jié)點(diǎn)位移。也就是只有當(dāng)結(jié)構(gòu)加上幾何約束排除剛體位移，才能解出全部位移分量。所以，在求解結(jié)點(diǎn)位移之前，必須對結(jié)構(gòu)進(jìn)行邊界條件處理?，F(xiàn)在是55頁\一共有123頁\編輯于星期三在結(jié)點(diǎn)1、2加上固定支座，于是，在結(jié)點(diǎn)1、2的6個位移分量為0，結(jié)點(diǎn)位移未知量只有結(jié)點(diǎn)3、4的6個位移分量，因此結(jié)構(gòu)要求的位移分量只有6個。因此平衡方程式可以寫成：

直接法現(xiàn)在是56頁\一共有123頁\編輯于星期三為了求解結(jié)點(diǎn)3、4的6個位移分量，可以從上面方程中直接劃去前面兩個方程得到：這種方法稱為直接法?，F(xiàn)在是57頁\一共有123頁\編輯于星期三直接法的特點(diǎn)：（1）直觀；（2）矩陣的規(guī)模?。唬?）結(jié)點(diǎn)編號和排序改變，不利于計算機(jī)的規(guī)范化處理。現(xiàn)在是58頁\一共有123頁\編輯于星期三為了便于編制計算程序，希望修改后的矩陣仍然保留原矩陣的階數(shù)和排列順序，因此，將矩陣寫成如下形式：支承條件各式各樣，有固結(jié)、鉸接（固定支座、活動支座），需分別處理?，F(xiàn)在是59頁\一共有123頁\編輯于星期三1.結(jié)點(diǎn)位移為0的情況（如uk=0）將總剛K中的第3k-2行的主元素置為1，將3k-2行、3k-2列的其它元素劃0。然后，將方程組的右端荷載列陣中相應(yīng)的行改為0。2.結(jié)點(diǎn)位移為一已知量的情況（如vk=b)

將總剛K中的第3k-1行的主元素置為1.將3k-1行、3k-1列的其它元素劃0。將方程組的右端荷載列陣中相應(yīng)的行改為b。

置1劃0法現(xiàn)在是60頁\一共有123頁\編輯于星期三1.結(jié)點(diǎn)位移為0的情況（如uk=0）將總剛K中的第3k-2行的主元素乘以一個足夠大的大數(shù)A0，其余元素不變，將方程組的右端荷載列陣中相應(yīng)的行改為0。2.結(jié)點(diǎn)位移為一已知量的情況（如vk=b)

將總剛K中的第3k-2行的主元素乘以一個足夠大的大數(shù)A0（如1018），其余元素不變，將方程組的右端荷載列陣中相應(yīng)的行改為主元素乘以b，即。

對角元素乘大數(shù)法現(xiàn)在是61頁\一共有123頁\編輯于星期三線性方程的求解

高斯消去法對稱正定矩陣方程組的平方根法現(xiàn)在是62頁\一共有123頁\編輯于星期三

高斯消去法現(xiàn)在是63頁\一共有123頁\編輯于星期三

平方根法現(xiàn)在是64頁\一共有123頁\編輯于星期三桁架橋結(jié)構(gòu)分析現(xiàn)在是65頁\一共有123頁\編輯于星期三桁架橋結(jié)構(gòu)一般均為空間結(jié)構(gòu)，可按空間桿單元進(jìn)行分析，每個桁架桿即為一個單元。取結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系（），單元坐標(biāo)系（），則單元結(jié)點(diǎn)位移列陣和結(jié)點(diǎn)力列陣分別為單元坐標(biāo)系下單元剛度矩陣和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為現(xiàn)在是66頁\一共有123頁\編輯于星期三經(jīng)運(yùn)算，在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系單元剛度矩陣為其中：現(xiàn)在是67頁\一共有123頁\編輯于星期三在初步設(shè)計時，可將空間問題簡化為平面問題，用平面桁架來計算，如圖所示。這時y方向變位被取消，結(jié)點(diǎn)位移列陣

結(jié)點(diǎn)力列陣

單元坐標(biāo)系下單元剛度矩陣表達(dá)式同前，但分塊矩陣項(xiàng)

結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元剛度矩陣表達(dá)式同前，但

平面桁架及其單元現(xiàn)在是68頁\一共有123頁\編輯于星期三梁式橋結(jié)構(gòu)分析現(xiàn)在是69頁\一共有123頁\編輯于星期三多梁式簡支、連續(xù)及懸臂梁橋，可取板梁組合單元，也可取抗扭梁單元。如圖所示，此種梁單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣為結(jié)點(diǎn)力列陣為

梁式橋及其單元現(xiàn)在是70頁\一共有123頁\編輯于星期三單元剛度矩陣現(xiàn)在是71頁\一共有123頁\編輯于星期三梁及其單元

單梁式梁橋，單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系一致（下圖），去掉扭轉(zhuǎn)位移，單元結(jié)點(diǎn)位移向量可寫為結(jié)點(diǎn)力列陣

單元剛度矩陣

現(xiàn)在是72頁\一共有123頁\編輯于星期三如果考慮剪切變形影響時，梁單元剛度矩陣

為剪切影響系數(shù)為桿截面沿軸方向的有效抗剪面積材料抗剪模量

其中：

現(xiàn)在是73頁\一共有123頁\編輯于星期三分析懸臂梁橋時，會遇到一端鉸接另一端剛接的梁單元，單元結(jié)點(diǎn)位移列陣

鉸接懸臂梁鉸接懸臂梁單元單元剛度矩陣結(jié)點(diǎn)力列陣現(xiàn)在是74頁\一共有123頁\編輯于星期三剛架橋結(jié)構(gòu)分析現(xiàn)在是75頁\一共有123頁\編輯于星期三剛架橋結(jié)構(gòu)分析空間梁單元是分析剛架橋的常用單元，如圖所示，單元兩端各有6個自由度，結(jié)點(diǎn)位移列陣空間梁單元結(jié)點(diǎn)力列陣現(xiàn)在是76頁\一共有123頁\編輯于星期三單元剛度矩陣對稱現(xiàn)在是77頁\一共有123頁\編輯于星期三考慮剪切變形影響的單元剛彎矩陣對稱現(xiàn)在是78頁\一共有123頁\編輯于星期三單梁式剛架橋可按平面剛架進(jìn)行分析，單元結(jié)點(diǎn)列陣剛架橋及其單元結(jié)點(diǎn)荷載列陣單元剛度矩陣單元剛度列陣現(xiàn)在是79頁\一共有123頁\編輯于星期三橋梁專用有限元程序介紹平面桿系程序（1）DoctorBridge——同濟(jì)大學(xué)橋梁博士系統(tǒng)是一個集可視化數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)庫管理、結(jié)構(gòu)分析、打印與幫助為一體的綜合性橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計與施工計算系統(tǒng)。系統(tǒng)的編制完全按照橋梁設(shè)計與施工過程進(jìn)行，密切結(jié)合橋梁設(shè)計規(guī)范，充分利用現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)，完全符合設(shè)計人員的習(xí)慣。對結(jié)構(gòu)的計算是寧繁勿簡，充分考慮了各種結(jié)構(gòu)的復(fù)雜組成與施工情況，使用方便，計算精確。系統(tǒng)充分利用Windows平臺的特點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)一致的用戶界面、多任務(wù)系統(tǒng)、鼠標(biāo)的點(diǎn)取和強(qiáng)大的設(shè)備支持特性。另外，Dr.Bridge系統(tǒng)改用面向?qū)ο蟪绦蚓幹品椒?，使得用戶對系統(tǒng)的干預(yù)大大加強(qiáng)，便于處理各種復(fù)雜情況。

現(xiàn)在是80頁\一共有123頁\編輯于星期三軟件可以計算除懸索橋以外的大多數(shù)橋梁，如鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁、連續(xù)梁、剛構(gòu)橋、系桿拱橋、桁架梁、斜拉橋等多種橋梁。而且提供斜彎橋及異型橋計算模塊，可以采用梁格法計算斜橋、彎橋和異性橋梁?，F(xiàn)在是81頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是82頁\一共有123頁\編輯于星期三（2）公路橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計系統(tǒng)GQJS——交通部公路科研院公路橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計系統(tǒng)（漢語拼音縮寫為GQJS）于98年8月正式推出Windows版，該版本稱為GQJS4.0。其前身是由交通部組織行業(yè)專家聯(lián)合開發(fā)的橋梁綜合程序GQZJ(參見陸楸、王春富、馮國明編《公路橋梁設(shè)計電算》上、下冊（橋梁上部結(jié)構(gòu)）人民交通出版社1983年6月)。GQZJ程序1978年投入試用，1980年通過原交通部公路總局的技術(shù)鑒定。該系統(tǒng)在公路系統(tǒng)推廣應(yīng)用20年多年來，歷經(jīng)許多橋梁界計算機(jī)專家的修改完善，在工程上得到廣泛的使用與驗(yàn)證。在轉(zhuǎn)為Windows版時定名為公路橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計系統(tǒng)GQJS。因新的系統(tǒng)已不僅僅是單純進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，還包括的動態(tài)可視化的數(shù)據(jù)前處理界面、數(shù)據(jù)圖形檢驗(yàn)、結(jié)果圖形瀏覽和檢索、預(yù)拱度設(shè)置、施工圖繪制等一系列的設(shè)計功能。它改變了過去橋梁結(jié)構(gòu)計算只能以文本文件操作方式進(jìn)行的老模式，并對橋梁綜合程序輸入數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)做了改造，特別改變了單元坐標(biāo)和預(yù)應(yīng)力信息數(shù)據(jù)表達(dá)方式，使數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)大為簡化。軟件操作改為在仿Office的軟件界面的全新操作方式，輸入數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)計算、察看計算結(jié)果集成于同一界面系統(tǒng)之中。

現(xiàn)在是83頁\一共有123頁\編輯于星期三（3）MIDAS/Civil

——MIDAS/Civil是目前最先進(jìn)的土木結(jié)構(gòu)分析系統(tǒng),它對預(yù)應(yīng)力箱型橋、懸索橋、斜拉橋、水化熱分析等土木建筑的分析中所需要的各種功能進(jìn)行了綜合的考慮。

在計算機(jī)技術(shù)方面，MIDAS/Civil所使用的是客體指向性計算機(jī)語言VisualC++，因此可以充分地發(fā)揮32bit視窗環(huán)境的優(yōu)點(diǎn)特點(diǎn)。

以用戶為中心的輸入輸出功能使用的是精確而且直觀的用戶界面和尖端的電腦圖形技術(shù)，從而為考慮施工階段或者材料時間依存性的土木建筑物的建模和分析提供了很大的便利。

在結(jié)構(gòu)設(shè)計方面，MIDAS/Civil全面強(qiáng)化了實(shí)際工作中結(jié)構(gòu)分析所需要的分析功能。通過在已有的有限元庫中加入索單元、鉤單元、間隙單元等非線性要素，結(jié)合施工階段、時間依存性、幾何非線性等最新結(jié)構(gòu)分析理論，從而計算出更加準(zhǔn)確和切合實(shí)際的分析結(jié)果。

建模技術(shù)采用的是自行開發(fā)的新概念CAD形式的建模技術(shù)，可以更加提高建模效率。特別是由于擁有如結(jié)構(gòu)建模助手等高效自動化建模功能，所以只要輸入截面形狀、橋梁特點(diǎn)、預(yù)應(yīng)力橋的鋼束位置等基本數(shù)據(jù)，就可以自動建立橋梁模型以及施工階段的各種數(shù)據(jù)。

現(xiàn)在是84頁\一共有123頁\編輯于星期三MIDAS/Civil的適用領(lǐng)域如下：

所有形式的橋梁分析與設(shè)計鋼筋混凝土橋、鋼橋、聯(lián)合梁橋、預(yù)應(yīng)力橋、懸索橋、斜拉橋

大體積混凝土的水化熱分析

橋臺、橋墩、防波堤、地鐵、其它基礎(chǔ)建筑地下建筑的分析地鐵、通信電纜管道、上下水處理設(shè)施、隧道發(fā)電站及工業(yè)設(shè)施結(jié)構(gòu)設(shè)計發(fā)電站、鐵塔、壓力容器、水塔等其它國家基礎(chǔ)建設(shè)結(jié)構(gòu)設(shè)計飛機(jī)場、大壩、港灣等

現(xiàn)在是85頁\一共有123頁\編輯于星期三通用程序（1）通用有限元程序—ANSYS

ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件。軟件主要包括三個部分：前處理模塊，分析計算模塊和后處理模塊。前處理模塊提供了一個強(qiáng)大的實(shí)體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶可以方便地構(gòu)造有限元模型；分析計算模塊包括結(jié)構(gòu)分析（可進(jìn)行線性分析、非線性分析和高度非線性分析）、流體動力學(xué)分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦合分析，可模擬多種物理介質(zhì)的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析能力；后處理模塊可將計算結(jié)果以彩色等值線顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示（可看到結(jié)構(gòu)內(nèi)部）等圖形方式顯示出來，也可將計算結(jié)果以圖表、曲線形式顯示或輸出。軟件提供了100種以上的單元類型，用來模擬工程中的各種結(jié)構(gòu)和材料。

現(xiàn)在是86頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是87頁\一共有123頁\編輯于星期三（2）ALGORALGOR作為世界著名的大型通用工程仿真軟件，被廣泛應(yīng)用于各個行業(yè)的設(shè)計、有限元分析、機(jī)械運(yùn)動仿真中。包括靜力、動力、流體、熱傳導(dǎo)、電磁場、管道工藝流程設(shè)計等，能夠幫助設(shè)計分析人員預(yù)測和檢驗(yàn)在真實(shí)狀態(tài)下的各種情況，快速、低成本地完成更安全更可靠的設(shè)計項(xiàng)目。ALGOR以其分析功能齊全、使用操作簡便和對硬件的要求低，在從事設(shè)計、分析的科技工作者中享有盛譽(yù)。作為CAE分析工具的代表之一,ALGOR在汽車，電子,航空航天，醫(yī)學(xué)，日用品生產(chǎn)，軍事，電力系統(tǒng)，石油，大型建筑以及微電子機(jī)械系統(tǒng)等諸多領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用?，F(xiàn)在是88頁\一共有123頁\編輯于星期三ALGOR幾個主要分析功能：靜力學(xué)分析功能線性應(yīng)力分析復(fù)合材料分析間隙單元分析復(fù)合材料和間隙單元分析線性穩(wěn)定性分析線性動力學(xué)分析功能線性模態(tài)分析復(fù)合材料模態(tài)分析時間歷程分析響應(yīng)譜分析線性瞬態(tài)應(yīng)力分析復(fù)合材料瞬態(tài)應(yīng)力分析頻率響應(yīng)分析隨機(jī)振動分析載荷作用下的模態(tài)分析現(xiàn)在是89頁\一共有123頁\編輯于星期三非線性動力分析功能

非線性模態(tài)分析非線性動態(tài)響應(yīng)分析熱傳導(dǎo)分析功能穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)分析瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析流動分析功能二維穩(wěn)態(tài)流動分析二維瞬態(tài)流動分析三維穩(wěn)態(tài)流動分析三維瞬態(tài)流動分析電場分析功能管道設(shè)計及分析功能機(jī)械事件仿真功能多物理場分析能力

現(xiàn)在是90頁\一共有123頁\編輯于星期三（3）三維通用結(jié)構(gòu)分析設(shè)計程序—SAP2000

現(xiàn)在是91頁\一共有123頁\編輯于星期三

小結(jié)（1）有限元分析已經(jīng)滲透到橋梁結(jié)構(gòu)分析的各個領(lǐng)域，其分析精度亦因所采用的單元形式，單元數(shù)量和單元劃分情況等不同而有所差異。在大型通用分析軟件普級及廣泛應(yīng)用情況下，橋梁結(jié)構(gòu)建模在有限元分析中非常重要，科學(xué)合理的建模，不僅可以得到更為精確和期望結(jié)果，而且可節(jié)約計算時間，提高計算效率。（2）橋梁結(jié)構(gòu)的恒載內(nèi)力與施工方法關(guān)系密切，變形、內(nèi)力等有累計、重分布等特點(diǎn)，同一座橋如采用不同的施工方法，其恒載內(nèi)力差異很大，大多情況下需跟蹤分析，活載內(nèi)力計算時的動態(tài)加載非常重要，除橋梁專用分析軟件外，通用軟件一般不具備此功能，其基本方法可參見文獻(xiàn)?，F(xiàn)在是92頁\一共有123頁\編輯于星期三橋梁結(jié)構(gòu)的非線性分析

橋梁結(jié)構(gòu)的非線性問題橋梁結(jié)構(gòu)材料非線性分析橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析

小結(jié)

現(xiàn)在是93頁\一共有123頁\編輯于星期三橋梁結(jié)構(gòu)的非線性問題從20世紀(jì)中起，科學(xué)為困擾人們的非線性問題奠定了力學(xué)基礎(chǔ)上世紀(jì)60年代末，有限元法與計算機(jī)相結(jié)合，使工程中的非線性問題逐步得以解決；目前，求解橋梁結(jié)構(gòu)非線性問題，已經(jīng)不是特別困難，而重要的是提高精度、節(jié)省計算機(jī)時和尋找合理有效的本構(gòu)模型及其復(fù)雜問題的簡化方法。經(jīng)典線性理論基于:

小變形彈性本構(gòu)關(guān)系理想約束三個基本假定，使得:

本構(gòu)方程幾何運(yùn)動方程平衡方程成為線性。若研究的對象不能滿足以上假定中的任何一個時，就轉(zhuǎn)化為各種非線性問題?，F(xiàn)在是94頁\一共有123頁\編輯于星期三（1）材料非線性問題若被研究結(jié)構(gòu)的材料本構(gòu)方程成非線性方程，而引起基本控制方程的非線性，則稱其為材料非線性問題。如第13章所介紹的混凝土本構(gòu)關(guān)系中，大多本構(gòu)模型為非線性模型，必將引起平衡方程的非線性。在橋梁工程問題中:

混凝土的徐變、收縮、結(jié)構(gòu)彈塑性等都屬于材料非線性問題橋梁結(jié)構(gòu)中常用的低碳鋼在承載力的后期亦進(jìn)入彈塑性階段，呈現(xiàn)出材料非線性本質(zhì)。材料非線性問題可以分為非線性彈性問題和彈塑性問題兩大類，前者在卸載后無殘余應(yīng)變存在，后者會存在殘余變形。但兩者的本質(zhì)是相同的，求解方法亦完全一樣。（2）幾何非線性問題若放棄小變形假設(shè)，從幾何上嚴(yán)格分析單元體的尺寸、形狀變化，得到非線性的幾何運(yùn)動方程及控制方程，則稱其為幾何非線性問題。由于控制平衡方程是建立在結(jié)構(gòu)變形后的位置上，結(jié)構(gòu)的剛度除了與材料及初始構(gòu)形有關(guān)外，還與受載后的應(yīng)力、位移狀態(tài)有關(guān)。如:柔性橋梁結(jié)構(gòu)的恒載狀態(tài)確定問題現(xiàn)在是95頁\一共有123頁\編輯于星期三恒、活載計算問題結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等均屬幾何非線性問題。眾所周知的吊橋撓度理論以及第19章的拱橋撓度理論則是典型的橋梁幾何非線性問題。幾何非線性理論一般可分為大位移小應(yīng)變即有限位移理論和大位移大應(yīng)變即有限應(yīng)變理論兩種。橋梁工程中的幾何非線性問題一般都是有限位移問題。一些簡單幾何非線性問題可以找到解析解，如壓彎桿穩(wěn)定問題，拱圈剛度按一定規(guī)律變化的拱橋大撓度問題，懸索橋在簡單荷載作用下的大撓度問題等。但多數(shù)問題還需借助有限元及其它數(shù)值法求解（3）接觸問題若受力后的邊界條件在求解前是未知的，即不滿足理想約束假定而引起的邊界約束方程的非線性問題稱其為接觸問題。如:懸索橋主纜與鞍座的接觸狀態(tài)問題支架上預(yù)應(yīng)力梁在張拉后的部分落架現(xiàn)象等均屬此類，此問題在橋梁工程上表現(xiàn)不多，但不應(yīng)忽視?，F(xiàn)在是96頁\一共有123頁\編輯于星期三（4）橋梁結(jié)構(gòu)非線性材料非線性問題在混凝土橋中表現(xiàn)最為突出，由于混凝土材料本身的特性，可以說，混凝土橋從施工到運(yùn)營全過程中，非線性始終貫穿其中。由于收縮、徐變、開裂等因素的綜合作用，使得全因素精確分析非常困難，而不得不采用單因素或少因素非線性分析后，再近似疊加考慮綜合因素影響。圬土材料橋梁結(jié)構(gòu)的材料非線性特性是材料非線性問題在橋梁工程上的又一難點(diǎn)，這方面的研究文獻(xiàn)亦不多見，長安大學(xué)公路學(xué)院胡大琳教授的研究[3]具有代表性。相對材料非線性問題來說，橋梁結(jié)構(gòu)的幾何非線性問題更多一些，特別是跨徑增大，結(jié)構(gòu)變?nèi)幔到y(tǒng)復(fù)雜后，分析中的梁柱效應(yīng)、索垂度效應(yīng)、結(jié)構(gòu)位移與后期荷載的二次影響等變得不可忽略。所建立的撓度理論平衡微分方程求解也越來越困難。尋求更精確、更方便的理論和方法一直是研究者努力的方向，也是工程界所渴望的

現(xiàn)在是97頁\一共有123頁\編輯于星期三

橋梁結(jié)構(gòu)材料非線性分析(1)材料非線性問題的平衡方程以鋼材和混凝土為主要材料的橋梁結(jié)構(gòu)，所涉及的材料非線性主要是彈塑性問題。以有限元分析橋梁結(jié)構(gòu)時，所建立的平衡方程為

由于并未放棄小變形假定，對橋梁的材料非線性問題，上列兩式仍然成立，但物理方程是非線性的，可以寫成

注意到平衡方程式是以應(yīng)力表示的，由于小變形的關(guān)系仍然是線性的，但是以結(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程則不再是線性的，因?yàn)閼?yīng)力和應(yīng)變之間是非線性的，而應(yīng)力和位移之間也是由非線性關(guān)系所聯(lián)系，于是改寫為此即為材料非線性問題的平衡方程

現(xiàn)在是98頁\一共有123頁\編輯于星期三(2)迭代求解方法用迭代方法求解材料非線性問題的平衡方程，可分為

變剛度迭代法常剛度迭代法（a）變剛度迭代法變剛度法分為割線剛度法（直接剛度法）和切線剛度法。如果材料的本構(gòu)關(guān)系能夠表示成則應(yīng)力位移關(guān)系剛度矩陣平衡方程迭代公式迭代步驟如下

①首先取，則

②由式

現(xiàn)在是99頁\一共有123頁\編輯于星期三③取，算得

④⑤多次迭代直止給定小數(shù)，則就是方程的解

此圖是此種迭代過程的應(yīng)力變化，可以看出，彈性矩陣表示應(yīng)力應(yīng)變曲線上的割線斜率，所以此法稱為割線剛度法或稱直接迭代法

現(xiàn)在是100頁\一共有123頁\編輯于星期三如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系能夠表示為增量的形式，即

并將平衡方程式改寫為

上式的增量形式為

則有

切線剛度矩陣

切線彈性矩陣

可以采用Newton-Raphson切線剛度迭代法，其迭代公式為迭代步驟如下①已知，求得，切線彈性矩陣，現(xiàn)在是101頁\一共有123頁\編輯于星期三②算出及，則

③重復(fù)①、②步驟，直到接近真實(shí)解，使給定小數(shù)計算時，可取進(jìn)行首次迭代。下圖是此種迭代過程的應(yīng)力變化?？煽闯?，彈性矩陣表示應(yīng)力、應(yīng)變曲線上的切線斜率，所以此法亦稱為切線剛度法?，F(xiàn)在是102頁\一共有123頁\編輯于星期三（b）常剛度迭代法(自學(xué))如果材料的本構(gòu)關(guān)系可以寫為將其用具有初應(yīng)力的線彈性物理方程來代替初應(yīng)力列陣

線性彈性矩陣，即時的切線彈性矩陣

若調(diào)整，使上列兩式等價，則

假想彈性應(yīng)力

有平衡方程寫成迭代公式

迭代步驟類似于切線剛度法，首次近似解通常取，切線性彈性問題的解。以上敘述的是常剛度迭代法中的初應(yīng)力法，類似的還有適于求解蠕變問題的初應(yīng)變法，可參閱文獻(xiàn)[1]

現(xiàn)在是103頁\一共有123頁\編輯于星期三（3）增量求解方法（自學(xué)）（a）彈塑性本構(gòu)關(guān)系的特點(diǎn)單軸應(yīng)力下的材料典型彈塑性本構(gòu)關(guān)系如圖所示，其特點(diǎn)可歸納為：①應(yīng)力在達(dá)到比例極限前，材料為線彈性；②應(yīng)力在比例極限和彈性極限之間，材料為非線性彈性。③應(yīng)力超過屈服點(diǎn)（），材料應(yīng)變中出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變，應(yīng)力和應(yīng)變間為非線性關(guān)系④應(yīng)力在下卸載，則應(yīng)力增量與應(yīng)變增增量之間存在線性關(guān)系，即

⑤可用下列條件判斷是加載還是卸載：

當(dāng)時為加載，且滿足；當(dāng)時為卸載，且滿足

⑥在卸載后某應(yīng)力下重新加載，則當(dāng)時，

卸載前材料曾經(jīng)受到過的最大應(yīng)力值，稱后屈服應(yīng)力

⑦由卸載轉(zhuǎn)入反向加載，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系繼續(xù)依線性關(guān)系，一直到反向屈服?，F(xiàn)在是104頁\一共有123頁\編輯于星期三若，稱此材料為理想塑性材料若，稱此為硬化現(xiàn)象或加工硬化。

理想塑性材料（b）增量形式的彈塑性矩陣通式在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，判斷材料是否屈服，可用應(yīng)力的某種函數(shù)表示

即此式的幾何意義為現(xiàn)在是105頁\一共有123頁\編輯于星期三以為坐標(biāo)軸的空間超曲面。任一應(yīng)力狀態(tài)在此空間中代表一個點(diǎn)，當(dāng)此點(diǎn)落在屈服面之內(nèi)時，，材料呈彈性狀態(tài)；

時，材料開始進(jìn)入塑性。各向同性材料的屈服條件與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，屈服函數(shù)可以主應(yīng)力函數(shù)形式表示為屈服準(zhǔn)則表達(dá)形式較多，常用的有：①米賽斯（VonMises,1913）準(zhǔn)則：應(yīng)力偏量的第二不變量（）達(dá)到某一極限時，材料開始屈服，相當(dāng)于材料力學(xué)中的第四強(qiáng)度理論，即②特雷斯卡（Tresca,1864）準(zhǔn)則：最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時，材料開始屈服，相當(dāng)于材料力學(xué)中的第三強(qiáng)度理論，即

③Drucker-Prager準(zhǔn)則：現(xiàn)在是106頁\一共有123頁\編輯于星期三在一般情況下，對于彈塑性狀態(tài)的物理方程，無法建立起最終應(yīng)力狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)之量的全量關(guān)系，而只能建立反映加載路徑的應(yīng)力應(yīng)變之間的增量關(guān)系，且可反映加載和卸載過程。研究彈塑性增量理論必須從本構(gòu)矩陣開始。設(shè)屈服函數(shù)為

應(yīng)力狀態(tài)

硬化函數(shù)

全應(yīng)變增量可以分為兩部分：彈性增量塑性增量

而應(yīng)力增量與彈性應(yīng)變增量之間是線性關(guān)系，即

彈性矩陣

塑性變形不是唯一確定的，對應(yīng)于同一應(yīng)力增量，可以有不同的塑性變形增量。若采用相關(guān)聯(lián)流動法則（普朗特——路斯流動法則[1]）。塑性變形大小雖然不能斷定，但其流動方向與屈服面正交，用數(shù)學(xué)公式表示為現(xiàn)在是107頁\一共有123頁\編輯于星期三得

對全微分得

用乘上式，并消去，可得

現(xiàn)在是108頁\一共有123頁\編輯于星期三此即為增量理論的彈塑性矩陣通式。文獻(xiàn)[1]給出了三維空間問題、軸對稱問題、平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的顯式橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析

橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析一般采用有限位移理論，在建立以桿系結(jié)構(gòu)有限位移理論為基礎(chǔ)的大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析平衡方程時，一般考慮以下三方面的幾何非線性效應(yīng)：①桿端初內(nèi)力對單元剛度矩陣的影響。一般情況下是指單元軸力對彎曲剛度的影響，有時也考慮彎矩對軸向剛度的影響，常通過引入穩(wěn)定函數(shù)或單元幾何剛度矩陣的方法來考慮。結(jié)構(gòu)分析中的初應(yīng)力（或初應(yīng)變）問題，就是結(jié)構(gòu)現(xiàn)有內(nèi)力引起的剛度變化對本期荷載響應(yīng)的影響問題。現(xiàn)在是109頁\一共有123頁\編輯于星期三②大位移對建立結(jié)構(gòu)平衡方程的影響。此問題有兩種考慮辦法，一是將參考坐標(biāo)選在未變形的結(jié)構(gòu)上，通過引入大位移單元剛度矩陣來考慮大位移問題，稱為T.L列式法；另一種是以將參考坐標(biāo)選在變形后的位置上，讓節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)跟隨結(jié)構(gòu)一起變化，從而使平衡方程直接建立在變形后的位置上，稱為U.L列式法。③索垂度效應(yīng)對單元剛度的影響。此問題亦有兩種處理方法，一是引入Ernst公式，通過等效模量法來近似修正垂度效應(yīng)，而用桿單元近似模擬索類構(gòu)件；另一種是直接導(dǎo)出索單元切線剛度矩陣。（1）桿系結(jié)構(gòu)的U.L列式迭代求解法下圖所示的未變形平面梁單元在整體坐標(biāo)系內(nèi)，從結(jié)點(diǎn)和的坐標(biāo)值出發(fā)，算出，，和，當(dāng)單元變形后，結(jié)點(diǎn)位移用和表示，于是單元移動到如圖b)所示的位置建立起變形后結(jié)點(diǎn)和的局部坐標(biāo)。由圖b）中的幾何關(guān)系有于是梁單元在局部坐標(biāo)下的結(jié)點(diǎn)位移可以表示為

現(xiàn)在是110頁\一共有123頁\編輯于星期三亦可用局部坐標(biāo)系下結(jié)點(diǎn)位移列陣表示為現(xiàn)在是111頁\一共有123頁\編輯于星期三用角將其轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)中有

由于單元剛度矩陣是由局部坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)而得到的，轉(zhuǎn)換矩陣的方向余弦成為位移狀態(tài)的函數(shù)，所以是單元結(jié)點(diǎn)位移列陣的函數(shù)

迭代步驟

①首先對結(jié)構(gòu)以線性理論計算彈性位移，建立各單元的局部坐標(biāo)②計算在局部坐標(biāo)下各單元位移得到，建立在局部坐標(biāo)下各單元的剛度矩陣，并計算結(jié)點(diǎn)力

③變換和到整體坐標(biāo)下的和

④集合單元剛度矩陣，形成結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，此即為當(dāng)時變形位置的結(jié)構(gòu)剛度矩陣

若變形后的單元剛度矩陣用表示，那么它的單元結(jié)點(diǎn)力可以用結(jié)點(diǎn)位移表示為現(xiàn)在是112頁\一共有123頁\編輯于星期三⑤計算單元作用到結(jié)點(diǎn)上的力和不平衡力

⑥求解結(jié)構(gòu)平衡方程，得到位移增量，將加到前次迭代

中累積起來的結(jié)點(diǎn)位移中去，給出結(jié)點(diǎn)位移新的近似值

⑦檢查收斂性，直到趨于零為止。寫成迭代公式為

而和是以當(dāng)時的位移為基礎(chǔ)的，它要在每次迭代中加以修改，{F}可以一次計入，也可以分成幾個荷載水平，當(dāng)前級按上述方法求解后再進(jìn)入下一級荷載水平，即把迭代計算和增量計算結(jié)合起來進(jìn)行。若以位移為基礎(chǔ)作為收斂性判據(jù)有時會更好一些。這時可取某一給定小數(shù)時，認(rèn)為是收斂了

現(xiàn)在是113頁\一共有123頁\編輯于星期三(2)幾何非線性問題的一般拉格朗日（lagrangian）列式迭代法

建立有限元平衡方程的虛位移原理可以描述為：外力因虛位移所作的功等于結(jié)構(gòu)因虛應(yīng)變所產(chǎn)生的應(yīng)變能。用公式表示為

內(nèi)力和外力矢量的總和

虛位移

虛應(yīng)變

所有載荷列陣

若用應(yīng)變的增量形式寫成位移和應(yīng)變的關(guān)系，有

消去

即為非線性問題的一般平衡方程式，且不論