高斯與斯托克公式市公開課金獎市賽課一等獎課件

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Donotworkhard,andhaveit.worksmart!第1頁第1頁第22章第一節(jié)、第一型曲面積分(或：對面積曲面積分)

第三節(jié)、高斯(Gauss)公式與斯托克(Stokes)公式曲面積分第22章本章內容：第二節(jié)、第二型曲面積分(或：對坐標曲面積分)

第四節(jié)、場論初步第2頁第2頁第3節(jié)高斯(Gauss)公式

與斯托克(Stokes)公式一、高斯(Gauss)公式二、斯托克(Stokes)公式第22章本節(jié)內容：第3頁第3頁一、高斯(Gauss)公式定理21.3設空間閉區(qū)域V由分片光滑閉曲V上有連續(xù)一階偏導數(shù),下面先證:函數(shù)P,Q,R在面S所圍成,S方向取外側,則有(Gauss公式)第4頁第4頁Green公式Gauss公式推廣高斯(1777–1855)德國數(shù)學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德,牛頓并列偉大數(shù)學家,他數(shù)學成就遍及各個領域,在數(shù)論、級數(shù)、復變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面都有一系列開創(chuàng)性奉獻,他還十分注重數(shù)學應用,地測量學和磁學研究中創(chuàng)造和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢論等.他在學術上十分謹慎,代數(shù)、非歐幾何、微分幾何、超幾何在對天文學、大遵守這樣“問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”.原則:返回第5頁第5頁證實:(1)設為XY型區(qū)域,則第6頁第6頁因此(2)若V

不是XY–型區(qū)域,則可引進輔助面將其分割成若干個XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：第7頁第7頁例1.用Gauss

公式計算其中S為柱面閉域V整個邊界曲面外側.解:這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標)及平面z=0,z=3

所圍空間思考:

若S改為內側,結果有何改變?若S

為圓柱側面(取外側),如何計算?第8頁第8頁例2.利用Gauss公式計算積分其中S為錐面解:作輔助面取上側介于z=0及z=h之間部分下側.所圍區(qū)域為V,則第9頁第9頁利用重心公式,注意第10頁第10頁例3.設S為曲面取上側,求解:

作取下側輔助面用柱坐標用極坐標第11頁第11頁在閉區(qū)域上含有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),證實格林(Green)第一公式例4.設函數(shù)其中S是整個V邊界面外側.分析:高斯公式第12頁第12頁證:令由Gauss公式得移項即得所證公式.第13頁第13頁斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學物理學家.他是19世紀英國數(shù)學物理學派主要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解主要數(shù)學物理問題有效且普通新辦法,在1845年他導出了著名粘性流體運動方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂概念.他提出斯托克斯公式是向量分析基本公式.他一生工作先后分五卷出版.第14頁第14頁二、斯托克斯(Stokes)公式

定理22.4設光滑曲面S邊界L是分段光滑曲線,(Stokes公式)個空間域內含有連續(xù)一階偏導數(shù),S

側與L

正向符合右手法則,在包括S在內一證:情形1

S與平行z軸直線只交于一點,

設其方程為為擬定起見,不妨設S取上側(如圖).則有第15頁第15頁則(利用格林公式)

第16頁第16頁因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;第17頁第17頁情形2曲面S與平行z軸直線交點多于一個,則可通過作輔助線面把S分成與z軸只交于一點幾部分,在每一部分上應用Stokes公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反兩個曲線積分相加剛好抵消,因此對這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意:假如S是xoy面上一塊平面區(qū)域,則Stokes公式就是Green公式,故Green公式是Stokes公式特例.證畢第18頁第18頁為便于記憶,Stokes公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:第19頁第19頁例5.利用斯托克斯公式計算積分其中L為平面x+y+z=1被三坐標面所截三角形整個解:記三角形域為S,取上側,則邊界,方向如圖所表示.利用對稱性第20頁第20頁例6.L

為柱面與平面y=z交線,從z

軸正向看為順時針,計算解:設S為平面z=y上被所圍橢圓域,且取下側,利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦第21頁第21頁三、空間曲線積分與路徑無關條件定理22.5設G是空間一維單連通域,含有連續(xù)一階偏導數(shù),則下列四個條件互相等價:(1)對G內任一分段光滑閉曲線L,有(2)對G內任一分段光滑曲線L,與路徑無關(3)在G內存在某一函數(shù)u,使(4)在G內處處有第22頁第22頁證:由斯托克斯公式可知結論成立;(自證)設函數(shù)則第23頁第23頁同理可證故有若(3)成立,則必有因P,Q,R一階偏導數(shù)連續(xù),故有同理證畢第24頁第24頁與路徑無關,并求函數(shù)解:

令積分與路徑無關,因此例7.驗證曲線積分第25頁第25頁思考與練習所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)為S第26頁第26頁作業(yè)P2951(1)，(3),(5)3(1);