高斯與斯托克公式市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

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Donotworkhard,andhaveit.worksmart!第1頁(yè)第1頁(yè)第22章第一節(jié)、第一型曲面積分(或：對(duì)面積曲面積分)

第三節(jié)、高斯(Gauss)公式與斯托克(Stokes)公式曲面積分第22章本章內(nèi)容：第二節(jié)、第二型曲面積分(或：對(duì)坐標(biāo)曲面積分)

第四節(jié)、場(chǎng)論初步第2頁(yè)第2頁(yè)第3節(jié)高斯(Gauss)公式

與斯托克(Stokes)公式一、高斯(Gauss)公式二、斯托克(Stokes)公式第22章本節(jié)內(nèi)容：第3頁(yè)第3頁(yè)一、高斯(Gauss)公式定理21.3設(shè)空間閉區(qū)域V由分片光滑閉曲V上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),下面先證:函數(shù)P,Q,R在面S所圍成,S方向取外側(cè),則有(Gauss公式)第4頁(yè)第4頁(yè)Green公式Gauss公式推廣高斯(1777–1855)德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列偉大數(shù)學(xué)家,他數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域,在數(shù)論、級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面都有一系列開創(chuàng)性奉獻(xiàn),他還十分注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用,地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)研究中創(chuàng)造和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢(shì)論等.他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎,代數(shù)、非歐幾何、微分幾何、超幾何在對(duì)天文學(xué)、大遵守這樣“問(wèn)題在思想上沒(méi)有弄通之前決不動(dòng)筆”.原則:返回第5頁(yè)第5頁(yè)證實(shí):(1)設(shè)為XY型區(qū)域,則第6頁(yè)第6頁(yè)因此(2)若V

不是XY–型區(qū)域,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè)XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：第7頁(yè)第7頁(yè)例1.用Gauss

公式計(jì)算其中S為柱面閉域V整個(gè)邊界曲面外側(cè).解:這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標(biāo))及平面z=0,z=3

所圍空間思考:

若S改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何改變?若S

為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),如何計(jì)算?第8頁(yè)第8頁(yè)例2.利用Gauss公式計(jì)算積分其中S為錐面解:作輔助面取上側(cè)介于z=0及z=h之間部分下側(cè).所圍區(qū)域?yàn)閂,則第9頁(yè)第9頁(yè)利用重心公式,注意第10頁(yè)第10頁(yè)例3.設(shè)S為曲面取上側(cè),求解:

作取下側(cè)輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)第11頁(yè)第11頁(yè)在閉區(qū)域上含有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),證實(shí)格林(Green)第一公式例4.設(shè)函數(shù)其中S是整個(gè)V邊界面外側(cè).分析:高斯公式第12頁(yè)第12頁(yè)證:令由Gauss公式得移項(xiàng)即得所證公式.第13頁(yè)第13頁(yè)斯托克斯(1819-1903)英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家.他是19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)派主要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解主要數(shù)學(xué)物理問(wèn)題有效且普通新辦法,在1845年他導(dǎo)出了著名粘性流體運(yùn)動(dòng)方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂概念.他提出斯托克斯公式是向量分析基本公式.他一生工作先后分五卷出版.第14頁(yè)第14頁(yè)二、斯托克斯(Stokes)公式

定理22.4設(shè)光滑曲面S邊界L是分段光滑曲線,(Stokes公式)個(gè)空間域內(nèi)含有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),S

側(cè)與L

正向符合右手法則,在包括S在內(nèi)一證:情形1

S與平行z軸直線只交于一點(diǎn),

設(shè)其方程為為擬定起見(jiàn),不妨設(shè)S取上側(cè)(如圖).則有第15頁(yè)第15頁(yè)則(利用格林公式)

第16頁(yè)第16頁(yè)因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;第17頁(yè)第17頁(yè)情形2曲面S與平行z軸直線交點(diǎn)多于一個(gè),則可通過(guò)作輔助線面把S分成與z軸只交于一點(diǎn)幾部分,在每一部分上應(yīng)用Stokes公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,因此對(duì)這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意:假如S是xoy面上一塊平面區(qū)域,則Stokes公式就是Green公式,故Green公式是Stokes公式特例.證畢第18頁(yè)第18頁(yè)為便于記憶,Stokes公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:第19頁(yè)第19頁(yè)例5.利用斯托克斯公式計(jì)算積分其中L為平面x+y+z=1被三坐標(biāo)面所截三角形整個(gè)解:記三角形域?yàn)镾,取上側(cè),則邊界,方向如圖所表示.利用對(duì)稱性第20頁(yè)第20頁(yè)例6.L

為柱面與平面y=z交線,從z

軸正向看為順時(shí)針,計(jì)算解:設(shè)S為平面z=y上被所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦第21頁(yè)第21頁(yè)三、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件定理22.5設(shè)G是空間一維單連通域,含有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件互相等價(jià):(1)對(duì)G內(nèi)任一分段光滑閉曲線L,有(2)對(duì)G內(nèi)任一分段光滑曲線L,與路徑無(wú)關(guān)(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(4)在G內(nèi)處處有第22頁(yè)第22頁(yè)證:由斯托克斯公式可知結(jié)論成立;(自證)設(shè)函數(shù)則第23頁(yè)第23頁(yè)同理可證故有若(3)成立,則必有因P,Q,R一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),故有同理證畢第24頁(yè)第24頁(yè)與路徑無(wú)關(guān),并求函數(shù)解:

令積分與路徑無(wú)關(guān),因此例7.驗(yàn)證曲線積分第25頁(yè)第25頁(yè)思考與練習(xí)所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)為S第26頁(yè)第26頁(yè)作業(yè)P2951(1)，(3),(5)3(1);