精選有限單元法平面問(wèn)題例題講義

（優(yōu)選）有限單元法平面問(wèn)題例題現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四右圖為取1/4模型，離散后，單元、結(jié)點(diǎn)、荷載和約束的簡(jiǎn)圖。1簡(jiǎn)化力學(xué)模型、選取單元類(lèi)型

結(jié)構(gòu)及荷載沿雙軸對(duì)稱(chēng)，選取1/4結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)。

圖所示為平面應(yīng)力問(wèn)題，平面應(yīng)力單元類(lèi)型中，3結(jié)點(diǎn)三角形單元

現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四2結(jié)構(gòu)離散，單元編號(hào)、結(jié)點(diǎn)編號(hào)現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四將對(duì)象劃分成4個(gè)單元，共有6個(gè)結(jié)點(diǎn)，單元和結(jié)點(diǎn)上均編上號(hào)碼，其中結(jié)點(diǎn)的整體編碼1至6，以及個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)局部編碼i,j,m,均示于上圖中。單元號(hào)ⅠⅡⅢⅣ局部編碼整體編碼i3526j1253m2435現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3.1結(jié)點(diǎn)位移列陣、荷載列陣3單元分析（對(duì)逐個(gè)單元進(jìn)行分析。以單元1為例）現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3.2位移函數(shù)3單元分析現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3.3討論位移函數(shù)的收斂性

（1）完備性

（2）協(xié)調(diào)性3單元分析現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3.4推導(dǎo)形函數(shù)（只需分析1個(gè)單元，其余可直接用公式計(jì)算）

代入結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和位移3單元分析現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四常數(shù)3單元分析現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四設(shè)3單元分析現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四得到3單元分析現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析得到內(nèi)部任意一點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析得到內(nèi)部任意一點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析得到形函數(shù)矩陣現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析3.5推導(dǎo)內(nèi)部任意一點(diǎn)應(yīng)變和結(jié)點(diǎn)位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析3.6推導(dǎo)內(nèi)部任意一點(diǎn)應(yīng)力和結(jié)點(diǎn)位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系平面應(yīng)力的彈性矩陣為現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析把D、B矩陣代入公式即可應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析3.7得到單元?jiǎng)偠染仃?/p>

把B和D矩陣代入對(duì)3結(jié)點(diǎn)三角形，可以簡(jiǎn)化為現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四3單元分析3.8單元等效荷載計(jì)算

現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四4組成整體剛度矩陣暫時(shí)不考慮位移邊界條件，把所分析結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點(diǎn)平衡方程組列出：整體剛度矩陣寫(xiě)成6×6的矩陣，它的每個(gè)子塊是2×2的矩陣，實(shí)際它是一個(gè)12×12的矩陣。如K23，它的四個(gè)元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)3沿x或y方向有單位位移時(shí)，在結(jié)點(diǎn)2的x方向或y方向引起的結(jié)點(diǎn)力?，F(xiàn)在是24頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四4組成整體剛度矩陣整體剛度矩陣寫(xiě)成6×6的矩陣，它的每個(gè)子塊是2×2的矩陣，實(shí)際它是一個(gè)12×12的矩陣。如K23，它的四個(gè)元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)3沿x或y方向有單位位移時(shí)，在結(jié)點(diǎn)2的x方向或y方向引起的結(jié)點(diǎn)力?，F(xiàn)在是25頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四4整體剛度矩陣?yán)m(xù)由于于結(jié)點(diǎn)3和結(jié)點(diǎn)2在結(jié)構(gòu)中是通過(guò)Ⅰ和Ⅲ這兩個(gè)單元相聯(lián)系，因而K23應(yīng)是單元Ⅰ的k23和單元Ⅲ的k23之和。同理，可以找到各單元?jiǎng)偠染仃囍兴凶泳仃囋谡w剛度矩陣K中的位置，得到整體勁度矩陣。式中k的上標(biāo)1,2,3,4表示是哪一個(gè)單元的剛度矩陣中的子矩陣，空白處是2×2的零矩陣?，F(xiàn)在是26頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四4整體剛度矩陣?yán)m(xù)對(duì)于單元Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，將上式中各子塊的具體數(shù)值代入整體剛度矩陣K表達(dá)式中，得出整體剛度矩陣。對(duì)于單元Ⅲ，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，把μ＝0，t＝1m，代入單元的剛度矩陣，得兩種單元的剛度矩陣k都是：(37’)現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四4整體剛度矩陣整體剛度矩陣K(38’)現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四5引入位移邊界條件位移邊界條件為：因此，整體結(jié)點(diǎn)的位移列陣就簡(jiǎn)化為：現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四5引入位移邊界條件與這6個(gè)零位移分量相應(yīng)的6個(gè)平衡方程不必建立，因此，將整體剛度矩陣中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序號(hào)的各行劃去，因而整體勁度矩陣K簡(jiǎn)化為：現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四6整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣確定了每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)載荷列陣：根據(jù)各單元的結(jié)點(diǎn)局部編碼與整體編碼的關(guān)系，確定三個(gè)子塊FLi,FLj,FLm在FL中的位置。現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四6整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣由于該結(jié)構(gòu)只是在結(jié)點(diǎn)1受有向下1N/m的載荷，因而，非零元素子塊，只有在考慮了邊界條件后，整體載荷列陣為：現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四平面有限元解法——求解整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣求解化簡(jiǎn)后的整體剛度矩陣：(39)求解以后，得結(jié)點(diǎn)位移：現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四平面有限元解法——求解應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)用單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S，求出各單元中的應(yīng)力：根據(jù)μ＝0，以及已求出的A、b和c的值，再由式(21)和(22)得出應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣如下，對(duì)于單元Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ

：對(duì)于單元Ⅲ現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有37頁(yè)\編輯于星期四平面有限元解法——求解各單元中的應(yīng)力（續(xù)）應(yīng)用單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S，求出各單元中的應(yīng)力：Pa單元Ⅰ單元ⅡPa現(xiàn)在是35頁(yè)\一