初中數(shù)學-銳角三角函數(shù)教學設計學情分析教材分析課后反思

教學設計一、教材分析（一）、教材的地位與作用本節(jié)課選自魯教版實驗教科書九年級上冊第一章解直角三角形的第一節(jié)銳角三角函數(shù)（第一課時）。銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中邊角之間的關系，它在解決實際問題中起著重要的作用。相比之下，正切是生活當中應用最多的三角函數(shù)概念。通過本節(jié)課的學習使學生進一步體會比和比例、圖形的相似、推理證明等數(shù)學知識之間的聯(lián)系。感受數(shù)形結合的思想，體會數(shù)形結合的方法，為一般性的學習銳角三角函數(shù)、利用銳角三角函數(shù)解決實際問題奠定基礎。（二）、學情分析1、從學生的年齡特征和認知特征來看九年級學生的思維活躍，接受能力較強，具備了一定的數(shù)學探究活動經歷和應用數(shù)學的意識。2、從學生已具備的知識和技能來看九年級學生已經掌握直角三角形中各邊和各角的關系，能靈活運用相似圖形的性質及判定方法解決問題，有較強的推理證明能力。3、從學生有待于提高的知識和技能來看學生要得出直角三角形中邊與角之間的關系，需要觀察、思考、交流，進一步體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系，感受數(shù)形結合的思想，體會銳角三角函數(shù)的意義，提高應用數(shù)學和合作交流的能力。（三）、教學目標1、知識目標（1）經歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正切的意義，并能舉例說明。（2）能運用tanA表示直角三角形中的兩邊之比，表示物體的傾斜度、坡度等，能利用直角三角形中的邊角關系進行簡單的計算。2、能力目標（1）經歷觀察、猜想等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力。（2）體驗數(shù)形之間的聯(lián)系，提高學生應用數(shù)學的意識和能力。3、情感價值目標使學生在學習數(shù)學的過程中體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心。（四）、教學重點、難點教學重點：1、對正切的理解，能運用正切函數(shù)表示直角三角形中兩邊的比。2、能根據(jù)直角三角形中的邊角關系進行簡單的計算。3、對坡度的理解并能運用來解決實際問題。教學難點：對正切函數(shù)的理解。二、教法和學法本節(jié)課的教法采用的是情境引導法和探究發(fā)現(xiàn)法。在教學過程中，通過適宜的問題情境引發(fā)新的認知沖突；建立知識間的聯(lián)系。教師通過引導、指導、反饋、評價，不斷激發(fā)學生對問題的好奇心，使其在積極的自主活動中主動參與概念的建構過程，并運用數(shù)學知識解決實際問題，享受數(shù)學學習帶來的樂趣。本節(jié)課的學習方法采用自主探究法與合作交流法相結合。本節(jié)課數(shù)學活動貫穿始終，既有學生自主探究的，也有小組合作交流的，旨在讓學生從自主探究中發(fā)展，從合作交流中提高。三、教學過程本節(jié)課的教學過程我設計了以下六個環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境、引入新知2.學練結合、探索新知3、應用新知、鞏固拓展4、回顧課堂、感悟收獲感悟收獲ACB∠A的鄰邊∠A的對邊ACB∠A的鄰邊∠A的對邊（一）創(chuàng)設情境引入新課tanA=tanA=.引導學習基礎較差的學生動手測量、求值來發(fā)現(xiàn)結論，學習基礎較好的學生進行推理證明.（板書）結論1：在Rt△ABC中,銳角A確定，則∠A的對邊與∠A的鄰邊的比值也確定.這個比叫作∠A的正切，記作tanA即若將上圖中三角形進行平移，比值會改變嗎？旋轉呢？結論還成立嗎？設計意圖：將圖形進行變式訓練旨在讓學生進一步明確這一比值只與傾斜角有關，而與直角三角形的大小無關，滲透正切函數(shù)的對應關系.也為拓展一做好鋪墊.對定義的幾點說明：1、tanA是一個完整的符號，表示∠A的正切習慣上省略“∠”的符號.BAC2、本章我們只研究銳角BAC3、對邊、鄰邊是在直角三角形中相對角而言的.練一練想一想問題1:判斷對錯（學生口答）(2)ABC(1)B(2)ABC(1)BA(2)若銳角∠A=∠B，則tanA=tanB（）問題2：如圖,將Rt△ABC各邊擴大100倍,則tanA的值（）A.擴大100倍B.縮小100倍C.不變D.不確定問題3：如上圖，你會表示tanB嗎？（學生板演）(1)AC=3,AB=6,求tanBC(2)BC=3,tanA=0.6,求AC.

（3）若BC=2AB,求tanBCOP（3,-4）1yx問題4：如圖，平面直角坐標系中點P（3，-4OP（3,-4）1yx說明：1、學生板演，借機指出學生出現(xiàn)的錯誤并提問tanA能為負嗎？2、對兩種構造直角三角形的方法進行肯定，體會數(shù)形結合的方法.小組交流1.tanA是在什么三角形中定義的？若所給圖形不符合要求可以怎樣解決？2.求tanA還需要注意哪些問題？師生共同完善交流結果.設計意圖：通過以上練習讓學生總結出1、注意數(shù)形結合，構造直角三角形.2、tanA是一個比值（直角邊之比.注意比的順序,且tanA﹥0,無單位）3、當∠A確定時，正切值也確定.探究三:議一議1、若銳角A改變，則tanA會怎樣變化？2、滑道的傾斜程度與tanA有怎樣的關系？（板書）結論2：tanA值越大，滑道越陡.練一練：下圖表示兩個自動扶梯,哪一個自動扶梯比較陡?ββ乙13m5m6m8mα甲設計意圖：旨在讓學生進一步體會銳角A改變，則tanA也隨著改變.所以我們把tanA叫做銳角A的一個三角函數(shù).體會正切的函數(shù)思想.探究四：辨一辨你知道坡度在數(shù)學中怎樣表示嗎？（請到課本P4找找答案.）1、自主學習坡度、坡角的概念2、全班交流坡度與坡角的關系.練一練：如圖,某人從山腳下的點A走了200m后到達山頂?shù)狞cB.已知山頂B到山腳下的垂直距離是55m,求山坡的坡度(結果精確到0.001m).BABAC┌ACACBD拓展一：如圖,∠C=90°CD⊥AB.1、2、若BD=6,CD=12.求tanA的值.設計意圖：旨在加深對正切定義的理解突破本節(jié)課的教學難點.對探究二的變形降低了本題的難度為學生成功解決本題做好鋪墊.（四）回顧課堂、感悟收獲1.通過本節(jié)課的學習，你認識正切函數(shù)了嗎？2.求一個銳角的正切要注意哪些問題？3.你還有其它收獲嗎？設計意圖：讓學生用自己的語言來總結出今天探索的知識點，有利于培養(yǎng)學生善于總結歸納的好習慣.（六）課下作業(yè)、鞏固發(fā)展1、課本習題1.1第1、2、3題2、選做題：（1）運用你所學的知識設計一個好玩的過山車滑道，并注明相應的坡度.（2）搜集有關高山滑雪的資料，結合本節(jié)課的知識自編一道數(shù)學題.設計意圖：對本節(jié)課所學的知識進行進一步鞏固，并能運用解決實際問題.讓學生學以致用，感受學數(shù)學、用數(shù)學的樂趣。提高學生的學習興趣。學情分析銳角三角函數(shù)是九年級學生在學習了函數(shù)概念以及反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)之后學習的又一種形式的函數(shù),為了了解九年級學生對銳角三角函數(shù)的認知情況,本文從以下三個方面進行分析研究:一、九年級學生對銳角三角函數(shù)概念的認知;二、九年級學生對銳角三角函數(shù)的認知困難及原因分析;三、根據(jù)前面的分析提出教學建議。通過問卷調查及訪談得出以下結論:一、九年級學生對銳角三角函數(shù)概念認知方面。(1)雖然有80%的學生能在直角三角形中準確描述銳角三角函數(shù)的定義,但是學生對銳角三角函數(shù)定義的記憶并不意味著他們對銳角三角函數(shù)概念的理解。有40%的學生不理解銳角三角函數(shù)的本質——銳角與邊的比值的對應關系。(2)對銳角三角函數(shù)的符號的認知方面。有30%左右的學生對用符號sin、cos、tan表示銳角三角函數(shù)不理解,他們將這些符號理解成代數(shù)符號。(3)對特殊角的三角函數(shù)值的認知方面。有40%左右的學生對特殊角的銳角三角函數(shù)值混淆不清,尤其是混洧30°和60°的三角函數(shù)值。二、九年級學生在銳角三角函數(shù)認知中產生困難的原因有:(1)對與銳角三角函數(shù)相關的知識認知不準確。如對函數(shù)體現(xiàn)的變量之間的對應關系不理解則影響學生對銳角三角函數(shù)概念本質特征的理解;(2)對銳角三角函數(shù)的符號表示產生誤解,將它們理解成代數(shù)符號;(3)對特殊角三角函數(shù)值不能理解地記憶,導致對它們的記憶不準確。三、根據(jù)分析提出教學建議:(1)教學過程中需重視數(shù)學概念的教學;(2)教學過程中需重視數(shù)學史知識的介紹;(3)教學過程中需重視數(shù)形結合思想的滲誘。效果分析本課是在九年級下冊學生學習了相似三角形和銳角三角函數(shù)第一節(jié)后的后續(xù)，本節(jié)課在對以前知識的一個延續(xù)，同樣對以后進一步學習三角函數(shù)，以及學習解直角三角形都起著非常重要的作用。本節(jié)課是本章的重點，在難度上有一定的難度，因此在學習形式上我采用課件教學。在學習效果上感覺還不錯，由于所教班級人數(shù)較少，適合小班教學，所以每個同學都有機會回答問題，同學們顯得非常積極由于課堂上增加了針對性，課后主要是個別輔導，為減輕師生負擔創(chuàng)造了條件。課后分析每個學生的特點、長短處，做到因材施教，取長補短。教師可以關注每一個學生，不留課堂“死角。還有就是因為使用了課件教學，這就大大降低了課程的難度，這樣同學們更愿意去探索，所以每個同學都顯得非常積極，學習效率也大大的提高了。銳角三角函數(shù)教材分析在本節(jié)"銳角三角函數(shù)"中，教科書先研究了正弦函數(shù)，然后在正弦函數(shù)的基礎上給出余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念。對于正弦函數(shù)，教科書首先設置了一個實際問題，把這個實際問題抽象成數(shù)學問題，就是在直角三角形中，已知一個銳角和這個銳角的對邊求斜邊的問題，由于這個銳角是一個特殊的角，因此可以利用"在直角三角形中，角所對的邊是斜邊的一半"這個結論來解決這個問題，接下去教科書又提出問題，如果角所對的邊的長度發(fā)生改變，那么斜邊的長變?yōu)槎嗌?？解決這個的問題仍然需要利用上述結論，這樣就能夠使學生體會到"無論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個常數(shù)"，這里體現(xiàn)了函數(shù)的對應的思想，即的角對應數(shù)值。接下去，教科書又設置一個"思考"欄目，讓學生進一步探討在直角三角形中，的銳角所對的邊與斜邊的比有什么特點，利用勾股定理就可以發(fā)現(xiàn)這個比值也是一個常數(shù)，這樣就使學生認識到"無論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個常數(shù)"，通過探討上面這兩個特殊的直角三角形，能夠使學生感受到在直角三角形中，如果一個銳角的度數(shù)分別是和，那么它們所對的邊與斜邊的比分別都是常數(shù)，這里體現(xiàn)了函數(shù)的思想，這也為引出正弦函數(shù)的概念作好鋪墊。有了上面這樣的感受，會使學生自然地想到，在直角三角形中，一個銳角取其他一定的度數(shù)時，它的對邊與斜邊的比是否也是常數(shù)的問題。這樣教科書就進入對一般情況的討論。對于這個問題，教科書設置了一個"探究"欄目，讓學生探究對于兩個大小不等的直角三角形，如果有一個銳角對應相等，那么這兩個相等的銳角所對的直角邊與斜邊的比是否相等，利用相似三角形對應邊成比例這個結論就可以得到"在直角三角形中，當銳角的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比是一個固定值"，由此引出正弦函數(shù)的概念，這樣引出正弦函數(shù)的概念，能夠使學生充分感受到函數(shù)的思想，即在直角三角形中，一個銳角的每一個確定的值，sinA都有唯一確定的值與它對應。在引出正弦函數(shù)的概念之后，教科書在一個"探究"欄目中，類比著正弦的概念，從邊與邊的比的角度提出一個開放性問題：在直角三角形中，當一個銳角確定時，這個角的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時，其他邊之間的比是否也確定了呢？提出這個問題的目的是要引出對余弦函數(shù)和正切函數(shù)的討論。由于教科書比較詳細地討論了正弦函數(shù)的概念，因此對余弦函數(shù)和正切函數(shù)概念的討論采用了直接給出的方式，具體的討論由學生類比著正弦函數(shù)自己完成。在余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念給出之后，教科書在邊注中分析了銳角三角函數(shù)的角與數(shù)值之間的對應關系，突出了函數(shù)的思想。一些特殊角的三角函數(shù)值是經常用到的，教科書借助于學生熟悉的兩種三角尺研究了、、角的正弦、余弦和正切值，并以例題的形式介紹了已知銳角三角函數(shù)值求銳角的問題，當然這時所要求出的角都是、和的特殊角。教科書把求特殊角的三角函數(shù)值和已知特殊角的三角函數(shù)值求角這兩個相反方向的問題安排在一起，目的是體現(xiàn)銳角三角函數(shù)中角與函數(shù)值之間的對應關系。本節(jié)最后，教科書介紹了如何使用計算器求非特殊角的三角函數(shù)值以及如何根據(jù)三角函數(shù)值求對應的角等內容。由于不同的計算器操作步驟有所不同，教科書只就常見的情況進行介紹。28.1銳角三角函數(shù)1．把Rt△ABC各邊的長度都擴大3倍得Rt△A′B′C′，那么銳角A，A′的余弦值的關系為（）A．cosA=cosA′B．cosA=3cosA′C．3cosA=cosA′D．不能確定2．如圖1，已知P是射線OB上的任意一點，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，則cosα的值等于（）A．B．C．D．圖1圖2圖33．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，則下列各項中正確的是（）A．a=c·sinBB．a=c·cosBC．a=c·tanBD．以上均不正確4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，則tanB等于（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C=900167，AC=5，AB=13，則sinA=______，cosA=______，tanA=_______．6．如圖2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，則sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=20，則∠B的度數(shù)為_______．8．如圖1－1－6，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三個三角函數(shù)值．9．已知：α是銳角，tanα=，則sinα=_____，cosα=_______．10．如圖，角α的頂點在直角坐標系的原點，一邊在x軸上，另一邊經過點P（2，2），求角α的三個三角函數(shù)值．11．在Rt△ABC中，兩邊的長分別為3和4，求最小角的正弦值．12．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，BC=4，求sinα，cosα，tanα的值．參考答案:1．A2．C3．B4．C5．，，6．，，27．45°8．sinD=，cosD=，tanD=9．10．sinα=，cosα=，tanα=11．或12．sinα=，cosα=，tanα=

課后反思銳角三角函數(shù)首先是放在直角三角形中研究的，顯示的是邊角之間的關系。銳角三角函數(shù)值是邊與邊之間的比值，銳角三角函數(shù)溝通了邊與角之間的聯(lián)系，它是解直角三角形最有力的工具之一。

這節(jié)課主要是概念教學，要使學生明確概念的背景、作用、概念中有哪些規(guī)定、限制等問題，因此，我在引入銳角三角函數(shù)概念的時候，我先設計了兩道題：一是問直角三角形的三邊之間有什么關系，學生很快想到勾股定理；二是問直角三角形中兩銳角之間有何關系，學生也可以想到兩角互余。然后我從學生的認知水平出發(fā)又提出問題：

（1）

如圖Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，求AB=？

（2）

如圖Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝40°，求AB=?

對于第一個問題，學生在對勾股定理的已有認知基礎上，很容易求出AB，但對第二個問題，則不夠條件求AB了。我就順勢導出這就是今天要學習的直角三角形的邊角關系——銳角三角函數(shù)，從而引出課題。我認為在引入新課這個環(huán)節(jié)我設計的很好，既復習了舊知識，又為新課做好了鋪墊，同時激發(fā)了學生的求知欲望，這是一個成功之處。

新課標提倡學生自主思考探索，所以四個三角函數(shù)的概念都是由學生通過自己探索，然后用自己的語言表述出來，但是數(shù)學概念畢竟是需要教師進行講解，特別是一些規(guī)定限制必須由教師強調。所以我在教學中給予了必要的講解，如應注意定義的中文說法即還是應該回到漢字，這樣有助于學生記憶定義。而且我還讓學生把四個三角函數(shù)的定義簡記為對比斜、鄰比斜、對比鄰、鄰比對，在下一節(jié)課開始的復習，我用了這種方法，發(fā)現(xiàn)學生的確容易記憶。這是成功之二。

我以填空的形式，給學生一定的提示，也給了一個規(guī)范的格式。在實際教學過程中，學生都能做出這題，所以我只是略略講解后就開始進行相關練習?？墒窃谧鯝組第一題：“Rt△DEC中，∠E＝90゜，CD＝10，DE＝6，求出∠D的四個三角函數(shù)值?！边@道題中，有部分學生出現(xiàn)不知怎么下筆的情況。這就提示我們在例題講解中，一定要幫助學生歸納出求三角函數(shù)的方法。應該指出為什么要運用勾股定理，讓學生明確求四個三角函數(shù)必須知道三條邊。這樣在做練習時他們就能確定解題思路，明確預見利用勾股定理求出CE。此乃成功之三。

另外，在突破本節(jié)課的教學難點時，我設計了一道有一個公共角的三個直角三角形，突破了直角三角形的大小，利用相似三角形的性質，讓學生體會到，四個三角函數(shù)值只與角的大小無關，與三角形的邊長無關。

我在這節(jié)課的教學過程中也存在一些不足之處：

在教學設計中，針對學生思維的多樣性，我在備課時對課本中的探索進行改動。探索1得出直角三角形中，銳角A的對邊與鄰邊的比值是唯一確定的。在此基礎上，設計一個開放性的探索2。讓學生從探索1中得到啟發(fā)去找找直角三角形中其他兩邊的比值是否也是唯一確定的。按照備課時的設想，是希望能充分拓展學生思維，找到各種不同的比值，從而比較自然的引出四種比值，即四個三角函數(shù)。但是在實際教學過程中，存在兩個極端，一