高考數(shù)學(xué)：有關(guān)任意、存在、至少、恒成立問題

PAGEPAGE1有關(guān)任意、存在、至少、恒成立問題1．（本小題滿分14分）已知函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（Ⅱ）若上恒成立，求實數(shù)的取值范圍（求f(x)的最大值）（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意的，求證：。解：（Ⅰ）當時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；………2分當時，由，則則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當時顯然不成立；當時，,只需即可．…………．6分令,則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，即對恒成立，也就是對恒成立，∴解得，…………9分∴若在上恒成立，=1．……………10分分析;即求的取值范圍，因為要不大于0，而是小于或等于0，所以只有，解得，(Ⅲ）,………11分由得,由（Ⅱ）得：,………12分則,則原不等式成立．…………14分2（本小題共14分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；(II)若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（I）因為，…2分當，，令，得， …3分又的定義域為，，隨的變化情況如下表：0極小值所以時，的極小值為1.…5分的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；…6分（II）解法一：因為,所以，只需…7分令，只要在區(qū)間上的最小值小于0即可因為，令，得…9分（1）當時：極大值因為時，，而，只要，得，即…11分（2）當時：極小值所以，當時，極小值即最小值為，由，得，即.………13分綜上，由(1)（2）可知，有.………14分3[2011·山東青島一模]已知函數(shù)．(1)若,令函數(shù),求函數(shù)在上的極大值、極小值；(2)若函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.解：(1)，所以．由得或．所以函數(shù)在處取得極小值；在處取得極大值．(２)因為的對稱軸為．①若即時，要使函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，則有，解得：，所以；②若即時，要使函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，則有，解得：，所以．綜上，實數(shù)的取值范圍為．4．（本小題共14分）已知，函數(shù)，，.（Ⅰ）當時,求函數(shù)在點的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在的極值;（Ⅲ）若在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使成立，求正實數(shù)的取值范圍．解:由求導(dǎo)得，.…………1分（Ⅰ）當時,…………3分所以在點的切線方程是…………4分（Ⅱ）令,(1)當即時(-1,0)0+0-0+↗極大值↘極小值↗………6分故的極大值是;極小值是;…………7分(2)當即時在上遞增,在上遞減,…………8分所以的極大值為,無極小值.…………9分（Ⅲ）設(shè).對求導(dǎo)，得，……………10分因為，，所以，在區(qū)間上為增函數(shù)，則.……12分依題意，只需，即，即，解得或（舍去）.所以正實數(shù)的取值范圍是.……14分5.（本小題滿分14分）已知函數(shù).(Ⅰ)若，求曲線在處切線的斜率；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.轉(zhuǎn)化為.解：(Ⅰ)由已知，………………2分.故曲線在處切線的斜率為.………………4分(Ⅱ).………………5分①當時，由于，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………6分②當時，由，得.在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.………………8分（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為.………………9分………………10分由(Ⅱ)知，當時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)………………11分當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，………13分所以，解得.………………14分6．（本小題共14分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間（，0）上至少有一個極值，求實數(shù)的取值范圍。解（Ⅰ）當時， 1分 ， 2分 令得 3分 ∴在（－，1）上單調(diào)遞增 4分 （Ⅱ）， 5分 =1\*GB3①當時，，易知在處取得極小值，適合題意；=2\*GB3②時，函數(shù)在區(qū)間（-，0）上至少有一個極值，則說明的圖像穿過軸負半軸； 為二次函數(shù)，則或 11分解得或 13分 綜上，時滿足題意 14分7(2011海淀一模理18).（本小題共13分）已知函數(shù)，（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)若在（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍.解：（Ⅰ）的定義域為，………1分當時，，，………2分………3分…………4分（Ⅱ），………6分=1\*GB3①當時，即時，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；………7分②當，即時，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.…………8分（=3\*ROMANIII）在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零.………9分由（Ⅱ）可知=1\*GB3①即，即時，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，由可得，因為，所以；………10分②當，即時，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，由可得；………11分③當，即時，可得最小值為，因為，所以，故此時，不成立.………12分綜上討論可得所求的范圍是：或.………13分8（本小題滿分14分）已知函數(shù),，其中.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù),當時，若，，總有成立，求實數(shù)的取值范圍．【解】（Ⅰ）的定義域為，且，…………1分當時，，在上單調(diào)遞增；…………2分②當時，由，得；由，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.…………4分（Ⅱ），的定義域為…………5分因為在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，而，當且僅當時取等號，所以…………8分（Ⅲ）當時，，