軸對稱-最短路徑問題

僅供個人參考優(yōu)小—提更、對強時更現(xiàn)在的數(shù)學教學遵循《標準》的理念，以“生活?數(shù)學”“動思考”為主線展開課程內(nèi)容，注重體現(xiàn)生活與數(shù)學的聯(lián)系，其中最短路徑問題就是這一方面知識與能力的綜合運用，其原型來于“飲馬問題選問題題景有角、三角形、平行四邊形、坐標軸、拋物線等。下面就對上類型做一個簡單的歸納。例．如圖，牧童在A處馬，其家在B處A、B到岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點A到岸CD的點的距離為500米，則牧童A把馬牽到河邊飲水再回家，最短距離是多少米？分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和“兩點之間線段最短”，連接A，得到最短距離為A′B，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和A到岸CD的中點的距離為500米即可求出的值．A′B=1000米．故最短距離是1000米．例．如圖，正方形，邊上一點E，AE=3EB=1，AC上有一點P，使EP+BP為短．求：最短距離EP+BP．分點AB，河據(jù)

析：此題中，動點P所在有正方形沿對角

點EB的置就相當于例1中直線作為對稱軸相當于例的小線的對稱性，可得無論P在么置，都有PD=PB；均有EP+BP=PE+PD成立所以原題可以轉(zhuǎn)化為求PE+PD的小值問題，分析得連接DE與AC，求得交點就是要求的的位置例如圖∠XOY內(nèi)一P在線OX上找一點在線OY上出一點N使PM+MN+NP短．分析：此題的出題背景就是角。本題主要利用了兩點之間線段最短的性質(zhì)通過軸對稱圖形的性確定三角形的另兩點．分別以直線、為對軸，作點P對應(yīng)點P，連P交OX于M，交OY于N，則PM+MN+NP最短．不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考例４．如圖，荊州古城河在′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5，從A處達B處須經(jīng)兩座橋：DD，EE′（橋?qū)挷挥嫞?，設(shè)護城河以兩座橋都是東西、南北方向的A、在西方向上相距65米，北方向上相距85米恰當?shù)丶軜蚩墒笰DD′E′EB的路程最短，這個最短路程是多少米？分析：由于含有固定線段“橋”，導(dǎo)致不能將ADD′E′EB通軸對稱直接轉(zhuǎn)化為線段常用的方法是構(gòu)造行四邊形將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題解答．這就是“造橋選址問題”解：作AF⊥CD，且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E′、D．作DD′、EE′即為橋．證明：由作圖法可知AF∥DD′，AF=DD，則四邊形AFD′D為行四邊形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由兩點之間線段最短可知GF最；即當橋建于如圖所示位置時，ADD′E最短．例５．（2008?內(nèi)）如圖，當邊形PABN的周長最小時a=。分析：因為，的長都是固定的，所以求出PA+NB的度就行了．問題就是PA+NB什時最短．把B點左平移2個位到B′；作′關(guān)于x的對稱點″，連接AB″，交軸于P，從而定點位置，此時PA+NB最．再求a的值．此題中的PN就當于“造橋選址問題”中的橋，其思路與上題是一樣的。通過構(gòu)造平行四邊形和軸對稱將折線轉(zhuǎn)之和最短轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短．至于“拋物線”這一類型的問題，由于綜合性較強，這里就不介紹了。但中縱觀上述幾題我們難發(fā)現(xiàn)，這一類題型的解題思路是一樣的：找到關(guān)于線的對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直再用“兩點之間線段最短”這一性質(zhì)來解決。攀高—綜提定點兩線型如圖，°，AOB內(nèi)一定點且在OA上一點Q,OB有一點畫周長最小的，求出最小周長。不得用于商業(yè)用途

A

僅供個人參考２定兩線型）已知：MON和MON內(nèi)點AB求作：點和，得點在OM上，點D在ON，且AC+CD+BD最短．提示：用1題解答可以幫助分析出2的解答談收—自反

MA想想節(jié)你什收?答：用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題B課檢

O

N

A如圖在邊長為的正三角形ABC中,、、G分為AB、、BC的點，點為段EF上個動點，

F連接，GP，則△BPG的長的最小值是如圖A為廄B為篷，牧馬人一天要從馬廄牽出馬，先到草一處牧馬，再到河，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。鞏訓(xùn)：如圖，直角坐標系中，點A、B的標分別為）和（，C是Y軸一個動點，且A、B、三不在同一條直線上，當三角形ABC周長最小時AC+BC=()如圖，°，點在AOB的平分線上，，、F是AOB兩邊OA，上動，當△的長最小時，點P距是（）如圖，邊ABC的邊長為，AD是BC邊的中線，F(xiàn)AD邊的動點是AC邊一點，若，當取最小值時，則的數(shù)為（）如圖所，正方形ABCD的積為12ABE是邊三角形，點E在方形ABCD內(nèi)，在對角線AC有一點，PD+PE的和最小，則這個最值()如圖，邊形ABCD中，＝，∠B＝∠＝，在BCCD上別一點M、N，eq\o\ac(△,使)eq\o\ac(△,)AMN周最小時，則AMN＋ANM的度數(shù)()?B.120°如圖，A和B兩在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋，從A到B得路徑短的是（假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直）不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考僅供個用學習、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'étudeetrechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscomme