安慶大學實變函數期末考試試卷

安慶大學實變函數期末考試試卷

一.選擇題

1.設。是R中有理數的全體，則在R中。的導集。'是()

(A)Q(B)。(C)R(D)R-Q

2.設優(yōu)}是一列閉集，尸=自工，則/一定是()

〃二1

(A)開集(B)閉集(C)G,型集(D)匕型集

3.設E是R中有理數全體，則加E=()

(A)0(B)l(C)+8(D)-8

4.下面哪些集合的并組成整個集合的點()

(A)內點，界點，聚點(B)內點，界點，孤立點

(C)孤立點，界點，外點(D)孤立點，聚點，外點

5.設尸是Cantor集，則()

(A)P與R"對等，且P的測度為0(B)P與R"對等，且P的測度為1

(0尸與R"不對等，尸的測度為0(D)p與R"不對等，尸的測度為1

6.設/(x)與g(x)在E上可測，則是()

(A)可測集(B)不可測集(C)空集(D)無法判定

7.設/(x)在可測集E上有定義，<(x)=min{/(x),〃},則力(x)是()

(A)單調遞增函數列(B)單調遞減函數列

(0可積函數列(D)連續(xù)函數列

8.設E是任一可測集，則()

(A)￡是開集(B)￡是閉集(C)￡是完備集

(D)對任意￡>0,存在開集GnE,使加(G-E)<￡

sin[0,1][1(2

9.設/(x)=<則上仍心=()

l+2x,xe[0,l]-(2

(A)1(B)2(C)3(D)4

10.設｛九｝是E上一列幾乎處處有限的可測函數，若對任意<7>0,有下面條件成立，貝U｛/“(x)｝依

測度收斂于f(x).()

(A)JimwE|j/,1(x)-/(x)|>cr]>0(B)JimmE^fn(x)-f(x)\>cr]<0

(C)JimmE^fn(x)-f(x)\=<T]=0(D)JimmE^fn(x)-/(x)|>cr]=0

二、定理敘述題

1.魯津定理

2.Fatou引理

三、判斷改正題

1.若E與它的真子集對等，則E一定是有限集.()

2.凡非負可測函數都是L可積的.()

3.設A為“空間中一非空集，若不則又＜以()

4.設E為可測集，則存在Gj型集F,使得夕uE,且〃?(E-E)=0.()

5./(x)在卜力]上L可積，則/(x)在[a,司/?可積且⑷1/(x)dx=(R)f/(x)dx()

四、證明題

1.開集減閉集后的差集為開集，閉集減開集后的差集為閉集.

2.R"上全體有理數點集的外測度為零.

3.設函數列｛$｝在E上依測度收斂了,且力于E,則/于E.

4.設/(x)在上可積，貝"i邛j]/(x+f)-/(x)|Jx=O.

一.單項選擇題

1、1、下列各式正確的是()

______00000000

(A)limA,t=unA;(B)limA=nuA.;

n—>con=\k=n/TOO?:=1k=n

______CO00CO00

(C)limA,,=cuA;(D)limA=nnA.;

“T8?=1k=nn=\k=n

2、設P為Cantor集，則下列各式不成立的是()

(A)P=c(B)mP=Q(C)P=P(D)P=P

3、下列說法不正確的是()

(A)凡外側度為零的集合都可測(B)可測集的任何子集都可測

(0開集和閉集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可測

4、設｛力(必是E上的ae有限的可測函數列，則下面不成立的是()

(A)若力(x)n/(x),則/“(x)->/(x)(B)sup"(x)｝是可測函數

n

(C)呼｛力(x)｝是可測函數；(D)若力(x)n/(x),則/(X)可測

5、設f(x)是他,加上有界變差函數，則下面不成立的是()

(A)/(x)在［a,句上有界(B)“X)在他,加上兒乎處處存在導數

(C)/'(X)在［a,切上L可積(D)￡/'(x)dx=f(b)-f(a)

二.填空題

1、(CsAuCsB)n(A-(A-B))=

2、設￡是［0,1］上有理點全體，則/=,￡=,￡=.

3、設E是R"中點集，如果對任一點集T都有，則稱E

是L可測的

4、/(x)可測的條件是它可以表成一列簡單函數的極限函數.

(填“充分”，“必要”，“充要”)

5、設/(x)為［a,可上的有限函數，如果對于［a,句的一切分劃，使

_____________________________________________________,則稱/(X)為可上的有界

變差函數。

三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說明.

1、設Eu*,若E是稠密集，則CE是無處稠密集。

2、若〃石=0,則E一定是可數集.

3、若"(x)l是可測函數,則/(x)必是可測函數。

4.設/(x)在可測集E上可積分，^VxeE,/(x)>0,Wlj￡/(x)>0

四、解答題

1、設〃光)=，則在［0』上是否R-可積，是否乙-可積，若可積，求出積分

Lx為有理數

值。

2>求lim「皿"理-、cosxdx

nJ)n

五、證明題

1、證明［0』上的全體無理數作成的集其勢為c.

2、設/(x)是(-8,+8)上的實值連續(xù)函數，則對于任意常數=是閉集。

3、在［a,可上的任一有界變差函數/(x)都可以表示為兩個增函數之差。

4、設mE<oo,/(x)在E上可積,e=E(l/l>n),]HlJlimn-me=0.

nnn

5、設/(x)是E上ae有限的函數，若對任意b>0,存在閉子集月uE,使/(x)在工上連續(xù)，且

m(E-F^<3,證明：是E上的可測函數。(魯津定理的逆定理)

一.單項選擇題

1.設M,N是兩集合，則M-(M-N)=()

(A)M(B)N(C)McN(D)0

2.下列說法不正確的是()

(A)外的任一領域內都有E中無窮多個點，則外是E的聚點

(B)州的任一領域內至少有一個E中異于穌的點，則凡是E的聚點

(C)存在E中點列優(yōu)｝,使匕―玲，則是E的聚點

(D)內點必是聚點

3.下列斷言()是正確的。

(A)任意個開集的交是開集；(B)任意個閉集的交是閉集；

(0任意個閉集的并是閉集；(D)以上都不對；

4.下列斷言中()是錯誤的。

(A)零測集是可測集；(B)可數個零測集的并是零測集；

(C)任意個零測集的并是零測集；(D)零測集的任意子集是可測集;

5.若/(x)是可測函數，則下列斷言()是正確的

(A)/(x)在卜,可L-可積o"(x)l在［a,可L-可積;

(B)/(x)在［a,可R—可積o"(x)l在［a,句R—可積

(C)“X)在［a,可L-可積O"(x)l在［a,可R-可積;

(D)/(x)在(a,+oo)R-廣義可積n/(x)在(a,+8)乙-可積

二.填空題

1、設4“=0,2—3,”=1,2,…，則?A“=o

nn〃->QO

2、設P為Cantor集，則P=,mP-,P=

3、設｛S,｝是一列可測集，則“MS,

4、魯津定理：______________________________________________________

5、設F(x)為［凡句上的有限函數，如果則稱F(x)為,,可上

的絕對連續(xù)函數。

三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則說明原因或舉出反例.

1、由于［0,1］-(0,1)={0,1},故不存在使(0,1)和［0,1］之間1-1對應的映射。

2、可數個零測度集之和集仍為零測度集。

3、ae收斂的函數列必依測度收斂。

4、連續(xù)函數一定是有界變差函數。

四.解答題

1、設=F，則/(x)在［0』上是否R-可積，是否乙-可積，若可積，求出積分值。

l,x為有理數

2、求極限lim[―":,sin)nxdx.

“Tee%1+"X

五.證明題

1.設f(x)是(-8,+8)上的實值連續(xù)函數，則對任意常數C,E={x"(x)>c}是一開集.

2.設￡>0,m開集GnE,使機*(G—E)<￡，則E是可測集。

3.在,力］上的任一有界變差函數/(%)都可以表示為兩個增函數之差。

4.設函數列力(x)(〃=1,2,…)在有界集E上“基本上”一致收斂于"x),證明：力(x)ae收斂于

/(x)。

5.設/(x)在E=[a,可上可積，貝U對任何￡>0,必存在E上的連續(xù)函數0(X),使

一、單項選擇題

1、設4=己,2+(—=…，則(

)

n

(A)limA,=[0,1](B)limA,=(0,1]

M—>00〃一>8

(C)國4=(0,3](D)由4,=(0,3)

H—>00H—>OC

2、設E是[0,1]上有理點全體,則下列各式不成立的是()

(A)E=[0,1](B)E=0(C)云=[0,1](D)mE=\

3、下列說法不正確的是()

(A)若AuB,則〃(B)有限個或可數個零測度集之和集仍

為零測度集(C)可測集的任何子集都可測(D)凡開集、閉集皆可測

4、設回｝是一列可測集，Exz>E2z>??-z>E,,z>???,且加E]<+8,則有()

(A)m\c]=limm￡?(B)

mlEnJ<limmEn

In=l)"Toon-xc

(C)m\nEn<limmEn;(D)以上都不對

5、設f(x)是口力]上絕對連續(xù)函數，則下面不成立的是()

(A)/(X)在出,切上的一致連續(xù)函數(B)/(x)在他,加上處處可導

(C)/(x)在[凡加上L可積(D)/(x)是有界變差函數

二.填空題

1、設集合NuM,貝N)=

2、設P為Cantor集，則P=,mP=,P=。

3、設E是H"中點集，如果對任一點集T都有,則稱￡

是L可測的

4,葉果洛夫定理：____________________________________________________

5、設/(x)在E上可測，則/(x)在E上可積的條件是|/(x)|在E上可積.(填“充

分”，“必要”，“充要”)

三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說明.

1、任意多個開集之交集仍為開集。

2、若mE=O,則E一定是可數集.

3、ae收斂的函數列必依測度收斂。

4、連續(xù)函數一定是有界變差函數。

四、解答題.

1、設/(x)=［尸':為，無理數，則/(x)在［0,1］上是否R-可積，是否L-可積，若可積，求出積分

〔0,x為有理數

值。

2、求極限lim「一〃?二，sin3nxdx

isJ^[+n~x

五、證明題

1、試證(0,1)~[0,1]

2、設“X)是(-co,+oo)上的實值連續(xù)函數，則對任意常數c,E={x"(x)〉c}是一開集.

3、設/(x)是可測集E的非負可積函數，g(x)是E的可測函數，且lg(x)K/(x),則g(x)也是E上的可積函

數。

4、設/(x)在E上積分確定，且/(x)=g(x)a.e于E,則g(x)在E上

也積分確定，且(./(x)dx=[g(x)dx

5、設在E上fn(x)n〃x),而fn(x)=g.(x)a.e.成立,〃=1,2,…,則有g“(x)=>f(x)

單項選擇題

1.設P為Cantor集，則

(A)No(B)mP=1(C)P=P(D)P=P

2.下列說法不正確的是()

(A)4的任一領域內都有E中無窮多個點，則q是E的聚點

(B)4的任一領域內至少有一個E中異于綜的點，則匕是E的聚點

(C)存在E中點列｛2｝,使匕->玲，則凡是E的聚點

(D)內點必是聚點

3.設/(x)在E上L可積，則下面不成立的是()

(A)/(x)在E上可測(B)/(x)在E上a.e.有限

(C)/(x)在E上有界⑻|/(刈在E上L可積

4.設｛￡“｝是一列可測集，Ei^E2三…三E"三…，則有()。

(A)mIuE?|>limmE?(B)m\u￡?|=XimmE

yn=\j>8J"n

(C)fn￡=limmE;(D)以上都不對

In=lJnfg

5.設/(x)為［凡例上的有界變差函數,則下面不成立的是()

(A)/⑶在&切上L可積(B)在他，切上R可積

(07'。)在口向上心可積(D)/(x)在他,切上絕對連續(xù)

二.填空題

1、設A“=±2」］,〃=1,2,.-，則?A“=o

Hftn—>oo

0

2、設￡匚/?,若后匕瓦則E是集；若EuE,則E是集；若E=E,則E是—

集.

3、設圖是一列可測集，則心S,1gmS,

4、魯津定理：______________________________________________________

5、設/(x)為［a,目上的有限函數，如果對于［a,句的一切劃分，使

,則稱“X)為［a,可上的有界變差函數。

三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則說明原因或舉出反例.

1、A為可數集，B為至多可數集，則AuB是可數集.

2、若mE=0,則加左=0.

3、若"(x)l是可測函數，則/(x)必是可測函數

4.設/(x)在可測集E上可積分，若VxwE,/(x)〉0,則f/(x)〉0

JE

四.解答題

1、設，則/(x)在［0』上是否R-可積，是否)可積，若可積，求出積分

1/為有理數

值。

2、求limfln（x+〃）eTcosxdx

A*）〃

五.證明題

1、設/(X)是(-8,+8)上的實值連續(xù)函數，則對于任意常數a,E=｛x"(x)Na｝是閉集。

2.設￡>0J開集GnE,使m*(G—E)<￡，則E是可測集。

3.設｛/“(X)｝為E上可積函數列，lim/“(x)=/(x)a.e.于E，旦，k為常數，則/(x)在

E上可積.

4.設函數列/“(x)(〃=1,2,…)在有界集E上“基本上”一致收斂于/(x),證明：力(x)ae收斂于/*).

5.試用Fatou引理證明Levi定理.

一、填空題

1.設4=一,2,“=1,2…，則limA“=-------

nJ*8

2.(a,b)S，+8),因為存在兩個集合之間的一一映射為

cos』,1w0

3.設￡是心中函數y=]的圖形上的點所組成的集合，則

0,x=0

E，.=,EO=.

4.若集合EuR"滿足E'uE,則E為集.

5.若(a