高考試題分項(xiàng)解析數(shù)學(xué)(理科)立體幾何(教師)(二)

2012年高考試題分項(xiàng)解析數(shù)學(xué)（理科）

專題08立體幾何（教師版）

一、選擇題：

1.（2012年高考廣東卷理科6）某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為（）

甜I

A.12XB.45XC.57JCD.81X

【答案】C

【解析】由三視圖知，幾何體為一個(gè)底面半徑為3的圓柱與一個(gè)同底的II錐組合而成,所以其

體積為45萬+1不乂9x4=57兀，故選C.

3

【考點(diǎn)定位】本題考查空間幾何體的三視圖，考查同學(xué)們的空間想象能力.

2.（2012年高考北京卷理科7）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（）

A.28+675B.30+675C.56+1275D.60+1275

【答案】B

【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為

直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計(jì)算得到的邊長.本題

所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：

S底=1。，￡后=1。-$右=1。，之=6君，因此該幾何體表面積

5

S=S息+S而+S右+S五=30+6、B,故選B.

3.（2012年高考福建卷理科4）一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何

體不可以是（）

A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱

【答案】D

【解析】圓的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖均為回；

三棱錐的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖可以為全等的三角形；

正方體的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖均為正方形；

圓柱的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）為矩形，俯視圖為圓.

4.（2012年高考浙江卷理科10）已知矩形ABC￡>,AB=1,BC=0.將△ABO沿矩形的對(duì)

角線所在的直線進(jìn)行翻著，在翻著過程中，（）

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BC垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線AQ與直線8c垂直

D.對(duì)任意位置，三直線"AC與2ZT,“A8與CD"，“AO與8C”均不垂直

【答案】B

【解析】最簡單的方法是取一長方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻著，觀察在翻著過程，即可知選

項(xiàng)C是正確的.*

5.（2012年高考湖tl嗟理科4）已知某幾何體的

三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

IOTT

A.—B.3兀C.-----D.6兀

33

【答案】B

【解析】由三視圖可知，該幾何體為一底面半徑正視圖

為1且高為2的圓柱與一扇錐組合而成,所以其

體積為2汗+開=3力「，故選B.

【考點(diǎn)定位】本小題考查立體幾何中的三視圖.

三視圖是新課標(biāo)新噌內(nèi)容,是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn),

年年必考,一般以選擇或填空題的形式出現(xiàn),經(jīng)

常與表面積、體積相結(jié)合來考查.

6.（2012年高考湖北卷理科10）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺

數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了己知

球的體積v,求其直徑d的一個(gè)近似公式d=后;.人們還用過一些類似的近似公式。根據(jù)

x=3.14159.….判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是（）

A.J^B.八畫C.小J鬻4D.

【答案】D

【解析】

由得d=?絲、設(shè)選項(xiàng)中常數(shù)為二則廣竺肝代入得k經(jīng)=3.375,

32v7Tba16

6x]6x1《予6乂]1

神代入得k吆=3，C中代入得尸汩一=3.14、四代入得尸業(yè)=3.142857,

230021

由于D中值最接近通真實(shí)值，故選施。

【若點(diǎn)定位】本小題考查球的有關(guān)問題.球問題也是高考的一個(gè)重點(diǎn)問題之一,熟練球的基礎(chǔ)

知識(shí)是解決好本題的關(guān)穗.

7.（2012年高考湖南卷理科3）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視

圖不可能是O

【答案】D

【解析】本題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正

視圖和側(cè)視圖均如圖:所示知，原圖下面圖為圓柱或

直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三

棱柱，A,B,C都可能是該幾何體的俯視圖，D不

可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為

如圖的矩形.

【考點(diǎn)定位】本題主要考查空間幾何體的三視圖，著查空間想象能力,是近年高考中的熱點(diǎn)

題型.

8.（2012年高考新課標(biāo)全國卷理科7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某

幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）

(A)6(B)9(C)12(0)18

【答案】B

【解析】該幾何體是三棱椎，底面是俯視圖，高為3

此幾何體的體積為/=1x1x6x3x3=9.

32

9.（2012年高考新課標(biāo)全國卷理科11）己知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的求面上,

A48C是邊長為1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為（）

（A）,（B）M（C）坐（￡＞）當(dāng)

6632

【答案】A

【解析】的外接扇的半徑r=立，點(diǎn)。到面3c的距離d=J半-/=包,

33

SC為球0的直徑=點(diǎn)S到面ABC的距離為2d=區(qū)5.

3

此棱錐的體積為，=」SA皿x2d=2x^x亞=巫

3皿3436

另:，＜4S3x2R=追排除8,C,D

3u_n_?L*_-￡rr

0

10.（2012年高考江西卷理科10）如右圖，已知正四棱錐S-A6CZ）所有棱長都為1,點(diǎn)E

是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)￡垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記

SE=X0＜x＜l）截面下面部分的體積為V（x）,則函數(shù)y=V（x）的圖像大致為（）

【答案】A

［三，二】（定性法）當(dāng)0＜才＜1時(shí)，隨著x的噌大，觀察圖形可知，單調(diào)遞減，且

2

遞減的速度越來越快；當(dāng)1=X＜1時(shí)，隨著X的噌大，現(xiàn)察圖形可知，單調(diào)遞遍，且

2

遞減的速度越來越慢；再現(xiàn)察各選項(xiàng)中的圖冢，發(fā)現(xiàn)只有A圖彖符合.故選A.

【考點(diǎn)定位】本題綜合考查了棱錐的體積公式，線面垂直，同時(shí)考查了函數(shù)的思想,導(dǎo)數(shù)法

解決幾何問題等重要的解題方法.對(duì)于函數(shù)圖冢的識(shí)別問題，若函數(shù)y=力x，的圖象對(duì)應(yīng)

的解析式不好求時(shí)，作為選擇題，沒必要去求解具體的解析式，不但方法繁瑣，而且計(jì)算復(fù)

雜，很容易出現(xiàn)某一步的計(jì)算錯(cuò)誤而造成前功盡棄；再次，作為選擇題也沒有太多的時(shí)間去

給學(xué)生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且準(zhǔn)確節(jié)約時(shí)間.

11.（2012年高考安徽卷理科6）設(shè)平面a與平面夕相交于直線相，直線a在平面a內(nèi)，直線

。在平面夕內(nèi)，且6,加，則“aJ?尸”是的（）

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（。）即不充分不必要條件

【答案】A

【解析】①a_LJ_a=>b_La②如果”//加；則與/?_L機(jī)條件相同.

12.（2012年高考陜西卷理科5）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-44G，

CA=CG=2CB,則直線5G與直線Ag夾角的余弦值為（）

【答案】A

【解析】設(shè)CB=1,則函=（-2,2,1）,砥=（0,2,-1）,

________ADBC

則cos<ABX,BCX>=■；——「---q=—,故選A.

網(wǎng)附5

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查用空間向量求異面直線夾角的余弦值，是向量在空間幾何中的

應(yīng)用.

13.（2012年高考四川卷理科6）下列命題正確的是（）

A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行

C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行

D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行

【答案】C

【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也

可能相交，所以A錯(cuò)，一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩

個(gè)平面平行，故B錯(cuò)：若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直，故。錯(cuò),

故選項(xiàng)C正確.

【考點(diǎn)定位】本題旨在考查立體幾何的妓、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)，需要熟練掌握

課本基礎(chǔ)知識(shí)的定義、定理及公式.

14.（2012年高考四川卷理科10）如圖，半徑為我的半球。

A

的底面圓。在平面。內(nèi),過點(diǎn)。作平面&的垂線交半球面見$5丁、\__

于點(diǎn)兌，過圓O的直徑作平面a成45?角的平面與半

球面相交，所得交線上到平面。的距離最大的點(diǎn)為8,該々------------------?

交我上的一點(diǎn)F滿足N8O尸=60?，則H、尸兩點(diǎn)間的球面距離為（）

7TR"R

A、RarccosC、AarccosT

【答案】A

t解析】以0為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、0C、0A所在■然為x、y、z軸,

COSZAOP=；

J.Z.AOP=arccos—―

4

...AP=R-arccos—

4

【考點(diǎn)定位】本題綜合性較強(qiáng)，考查知識(shí)點(diǎn)較為全面，題設(shè)很自然的把向量、立體幾何、三

角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合到了一起.是一道知識(shí)點(diǎn)考查較為全面的好題.要做好本題需要有扎

實(shí)的數(shù)學(xué)基本功.

15.(2012年高考全國卷理科4)已知正四棱柱ABCD-A^QD,中,

AB=2,C,€/2為CG的中點(diǎn)，則直線AG與平面BED的距離為()

A.2B.6C.V2D.1

【答案】D

【解析】連結(jié)幺C,即交于點(diǎn)。，連結(jié)QS,因?yàn)椤３鍪侵悬c(diǎn)，所以O(shè)SV/jg,且

OE=g，所以ACJ/BDE,即直線ACX與平面BED的距離等于點(diǎn)C到平面BED的

距離，過C做CF_L1于/則CF即為所求距離因?yàn)榈酌孢呴L為2,高為2五，所以

AC=2^/2,OC=42,CE=、叵，=2,所以利用等積法得C尸=1,選D.

【考點(diǎn)定位】本試題主要考查了正四棱柱的性質(zhì)的運(yùn)用，以及點(diǎn)到面的距離的求解.體現(xiàn)了

轉(zhuǎn)換與化歸的思想的運(yùn)用，以及線面平行的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離即可.

16.(2012年高考重慶卷理科9)設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,0和a,且長

為。的棱與長為正的棱異面，則a的取值范圍是()

(A)(0,揚(yáng)(B)(0,百)(C)(1,V2)(D)(1,73)

【答案】A

【解析】取長&的棱的中點(diǎn)與長為a的端點(diǎn)B,C：則A8=AC=Jna=BC<0.

2

二、填空題：

1.（2012年高考遼寧卷理科13）一個(gè)兒何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

【答案】38

【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱，其中長方體的

長、寬、高分別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,所以該幾何體的表面積為長方體的表面

積加圓柱的側(cè)面積再誠去扇柱的底面積，即為2（3x4+4x1+3x1）+24x1x1-2萬=38

【考點(diǎn)定位】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的表面積公式，考查空間想冢能力、運(yùn)算

求解能力，屬于容易題.本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體，確定幾何體的形狀，

然后再根據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出表面積.

2.（2012年高考遼寧卷理科16）已知正三棱錐P—A8C,點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為百

的求面上，若PA,PB,PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為.

【答案】趙

3

【解析】因?yàn)樵谡忮F產(chǎn)-胸中，PA,產(chǎn)8心兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看

作為一個(gè)正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接

于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體對(duì)

角線的中點(diǎn).

球心到截面板的距離為球的半徑減去正三棱錐P-ABC

在面胞上的

高.已知球的半徑為石，所以正方體的棱長為2,可求

得正三棱—面嫉上的高為竽,所以球心到截面心的距離為信竽邛

【考點(diǎn)定位】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽冢概括能力、空間想冢能力、運(yùn)算求解能

力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大.該題若直接利用三棱椎來考慮不宜入手，注

意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體來考慮就容易多了.

3.（2012年高考江蘇卷7）如圖，在長方體ABCD-A四「Pi中，"=AD=3cm,A4,=2cm,

則四棱錐A-BBRD的體積為cmL

【答案】6cm3

【解析】如圖所示，連結(jié)月C交即于點(diǎn)。，因?yàn)槠矫骁?8_13為馬。，又因?yàn)?/p>

ACLBD,所以，工CJL平面仍⑷口，所以四棱錐工-仍的高為49,根據(jù)題

意AB=AD=3cm,所以AO=>又因?yàn)镽D=J-^arg,AAX—2cm,故矩形

的面積為60cm2,從而四棱錐A-BBXDXD的體積

V=—x6->72x3"^=6cm.

32

【考點(diǎn)定位】本題重點(diǎn)考查空間幾何體的體積公式的運(yùn)用.本題綜合性較強(qiáng)，結(jié)合空間中點(diǎn)

線面的位置關(guān)系、平面與平面垂直的性質(zhì)定理考查.重點(diǎn)找到四棱錐A-BB.D.D的高為

AO,這是解決該類問題的關(guān)鍵.在復(fù)習(xí)中，要對(duì)空間幾何體的表面積和體積公式記準(zhǔn)、記

牢，并且會(huì)靈活運(yùn)用.本題屬于中檔題，難度適中.

4.（2012年高考天津卷理科10）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：加），則該幾何體的體

積為加3.

【答富】18+9”

【解析】由三視圖可該幾何體為兩個(gè)相切的球上方了一個(gè)長方體組成的組合體，所以具體積

為1r=3x6xl+2xy7rx（1）3=18+97Tnt".

【考點(diǎn)定位】本試題主要考查了簡單組合體的三視圖的畫法與體積的計(jì)算以及空間想象能

力.

5.（2012年高端i江卷理科11）已知某三棱錐的三視圖1單位:

cm）如圖所示，則該三

棱錐的體積等于cm，.

正視圖他視圖

【答案】1

【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角

俐也樹

形，右側(cè)面也是一直角三角形.故體積等于；x3xlx2X?=1.（第11題圖）

23

6.（2012年高考山東卷理科14）如圖，正方體ABCD-AiBiGDi的棱長為1,E,F分別為線段

AA|,B|C上的點(diǎn)，則三棱錐D.-EDF的體積為。

【解析】匕）-W=勺-QDE=三Xlx「X1X1=].

326

7.（2012年高考安徽卷理科12）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是

2

俯視圖

【答案】92

t解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱

幾何體的表面積是S=2X±*（2+5）X4+（2+5+4+^2+（5-2）2）X4=92.

8.（2012年高考上海卷理科8）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積

為2〃的半圓面，則該圓錐的體積為.

【答案】亙

3

【解析】根據(jù)該圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為人根據(jù)條件得到工加2=2不，解得母

2

線長1=2,2乃=爾=2兀r=l所以該圓錐的體積為：

嗔=-Sh=-x^22-127V=—7T.

【考點(diǎn)定位】本題主要考查空間幾何體的體積公式和側(cè)面展開圖.審清題意，所求的為體積,

不是其他的量，分清圖形在展開前后的變化；其次，對(duì)空間幾何體的體積公式要記準(zhǔn)記牢，

屬于中低檔題.

9.（2012年高考上海卷理科14）如圖，A￡＞與5c是四面體ABC。中互相垂直的棱，

3。=2,若4。=2，，且48+3。=4。+8=勿，其中4、。為常數(shù)，則四面體48。

的體積的最大值是.

B

A

【答案］2/_1一］

3

【解析】據(jù)題45+雙）=2C+8=2a,也就是說，線段

AB+如與線段4c+CD的長度是定值，因?yàn)槔釧D與

棱BC互相垂直，當(dāng)3C平面力即時(shí)，此時(shí)有最大值，此時(shí)最大值為：-c^a2-c2-1.

3

【考點(diǎn)定位】本題主要考查空間四面體的體積公式、空間中點(diǎn)線面的關(guān)系.本題主要考慮根

據(jù)已知條件構(gòu)造體積表達(dá)式，這是解決問題的關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)售量較大.屬于中高

檔試題.

10.（2012年高考四川卷理科14）如圖,在正方體ABCD-舄用G「i

中，河、曾分別是8、CG的中點(diǎn)，則異面直線4M與d曾所

成角的大小是.

t答案】90S

【解析】方法一：連接D：M,易得DNJ_A：DIQNJ_%M,

所以，DNJ■平面AxMDi，

又A*MU平面A】MDi,所以,DN_LAR,故夾角為9器.

方法二：以D為原點(diǎn)，分別以DADC,DD；為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)

正方體邊長為2,則D（0,0.0）,N（0,2,1）.M（0,1,0）A：（2,0,2）

故，而=（0,2,1），麗=（2,-1,2）

所以，ccs＜〈麗麗〉=■咻=o,故DN_LD：M,所以夾角為9泰

|DN||MAj|

【考點(diǎn)定位】異面直線夾角問題通?？梢圆捎脙煞N途徑：第一，把兩條異面直線平移到同一

平面中借助三角形處理；第二，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式解決.

11.（2012年高考全國卷理科16）三菱柱ABC-A^iCi中，底面邊長和側(cè)棱長都相等,

BAA產(chǎn)CAAi=60°則異面直線AB|與BG所成角的余弦值為.

【答案】—

3

【解析】如圖設(shè)麗=￡通=2,而=3設(shè)棱長為1,則

AB.=a+b,BCl=a+BC=a+c-b,因?yàn)榈酌孢呴L和側(cè)棱長都相等，且

=NCAA]=60。所以a?后=a1,c=g,所以'當(dāng)|=J(a+8)?=、回，

[陽卜+H)2=貶,福?西=G+2)?G+1g)=2,設(shè)異面直線的夾角

福?西—2_76

為6，所以cos6=

網(wǎng)PC1[72x733

【考點(diǎn)定位】本試題考查了斜棱柱中異面直線的角的求解.

三、解答題：

1.(2012年高考江蘇卷16)(本小題滿分14分)

如圖，在直三棱柱ABC-AgG中，4蜴=AG，￡>,E分別是棱

BC,CG上的點(diǎn)(點(diǎn)〃不同于點(diǎn)O，且尸為片G的中

點(diǎn).

求證：(1)平面ADEJ?平面BCCg；

(2)直線A尸〃平面49￡.

【解析】證明：(1)：44G是直三棱住」.CG1平面RBC,

又；ADu平面ABC,：.C^LAD,

又：ADIDE,C%DEu平面BCC曲CC1C\DE=E,：.ADL平面BCC^,

又；ADu平面ADE,二平面ADE1平面BCC1sl

(2)?:A4=A0,9為4G的中點(diǎn)，，人產(chǎn)_L4G，

又；CGJ?平面44G，且平面44G，二。6,49，

又「cq,45u平面BCQK，cqn4q=q，二491平面44G.

由（1）知，AD_L平面BCQ4，：.J\F//AD,

又「ADu平面ADE,A尸星平面ADE,二直線其尸〃平面ADE.

【考點(diǎn)定位】本題主要考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的性質(zhì)

與判定，線面平行的判定.解題過程中注意中點(diǎn)這一條件的應(yīng)用，做題規(guī)律就是“無中點(diǎn)、

取中點(diǎn)，相連得到中位線”.本題屬于中檔題，難度不大，考查基礎(chǔ)為主，注意問題的等價(jià)

轉(zhuǎn)化.

2.（2012年高考廣東卷理科18）（本小題滿分13分）

如圖5所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PAL平面ABCD,點(diǎn)E在線段

PC±,PCJ_平面BDE。

（1）證明：BD_L平面PAC；

（2）若PH=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值；

【解析】（1）產(chǎn)C_L平面BDu面BDEnBD工PC

%_L平面38,8。匚面至5=8少_124

又R4CIFC=尸=>_1_面R4c

（2）工（7口8少=。由（1）得：BDA.AC^AB=AD,PA=1,AD=2^>AB=2,

PC_L平面BDEn8尸_LPC,OF1PCABFO是二面角B-PC-A的平面角

在A產(chǎn)3C中，PB=6BC=2,FC=3=N產(chǎn)8c=90°=BE=冽""°=空

PC3

在RtLBOF中，BO=>/2,OE=^BF2-BO2=—=>tanNBFO=—=3.

3OF

得：二面角8-8一2的正切值為3

【考點(diǎn)定位】本小題考查空間線線與線面的位置關(guān)系的證明、二面角的求解，考查同學(xué)們的

空間想冢能力、邏輯推理能力，考查了同學(xué)們分析問題與解決問題的能力.

3.(2012年高考北京卷理科16)(本小題共14分)

如圖1,在Rtz^ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn)，且DE

〃BC,DE=2,將AADE沿DE折起到AAiDE的位置，使ACLCD,如圖2.

⑴求證：AC_L平面BCDE；

(II)若M是A,D的中點(diǎn)，求CM與平面AiBE所成角的大??；

(IH)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面AQP與平面AiBE垂直？說明理由

K星

cBCK飛

圖1圖2

【解析】(1)VCDLDE,J{ELDE

：.DEJ■平面4CD,

又?：4。(=平面ACD,

DE

又4CJ.CD,

/."平面BCDE.

(2)如圖建系。-pz,則以-2,0,0),A\0,0,2731，5(0,3,0),E(-2,2,0)

J[B=|0>3,—2^|,J^E=i—2?—1>01

設(shè)平面4座法向量為5=ix，7，ZI

國元=。.例一2e=0.卜當(dāng)R(Q,Q,2")

"L4E?=0"t-2x-7=o"L=_J

益43,。)

??yj=i—1,2,1^3|

c(o,o,o)k^----------y

又??,Mi-1,0,內(nèi)/B(0,3,0)

X

a7=i-i,o,8

.CMn_1+34

?“|溝|.臼=4+4+8M+3=T^7T亍,

CM與平面司郎所成角的大小45。.

（3）設(shè)線段8。上存在點(diǎn)尸，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,。，0）,則ae[0,3]

貝1J4尸=[0,a,—2^^|,DP=I2?a,0）

設(shè)平面4DP法向量為元=?,/，￡，4）,

則鳥=。..卜.

1%+初=°卜=-；砒

X=l-3a,69y/3a\

■

假設(shè)平面4》與平面4座垂直，

貝4呢?力=0,」.3a+12+3a=0,6a=-12,a=-2,

；0<a<3,...不存在線段BC上存在點(diǎn)尸，使平面ADP與平面八破垂直

4.（2012年高考湖北卷理科19）（本小題滿分12分）

如圖1,ZACB=45°,BC=3,過動(dòng)點(diǎn)A作ADLBC,垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B,連

接AB,沿AD將4ABD折起，使/BDC=90°（如圖2所示），

（1）當(dāng)BD的長為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大；

（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn)，試在棱CD

上確定一點(diǎn)N,使得ENJLBM,并求EN與平面BMN所成角的大小

619題圖

【解析】

3）解法1：在如圖1所示的△原</中，設(shè)班=x（0<x<3）,則⑵=3-x.

由加J.BC,408=45知，△ADC為等腰直角三角形，所以心=CD=3-x.

由折起前⑷?_LBC知，折起后(如圖2),AD1DC,AD1BD,且班nDC=D,

所以兒D_L平面BCD.又/班。=90,所以屆=lfiDCD=AX(3-X).于是

7,.,.=^ADS,,.=1(3-r)lx(3-r)=1.2x(3-r)(3-x)

1r2x+(3-r)+(3-r)lI2

1213J3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-x,即x=l時(shí)，等號(hào)成立，

故當(dāng)x=1,即班=1時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大.

解法2：

同解法3得匕一=|p=1(3-x).1r(3-r)=-6r+9r).

令/(x)=-6/+9x),由/(x)=g(x-l)(x-3=0,KO<x<3.解得x=l.

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，/r(x)>0；當(dāng)xe(1,3)時(shí)，f(x)<0.

所以當(dāng)x=1時(shí)，/(r)取得最大值.

故當(dāng)班=1時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大.

(II)解法1：以D為原點(diǎn)，建立如圖。所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

由(I)知，當(dāng)三棱錐R-BCD的體積最大時(shí)，BD=\,AD=CD=2.

于是可得50,0,0)，5(1,0,0),—0,2,0),收0,0,2),M(0,1,1),嗎,1,0)，

且瓦7=(-1,1,1).

設(shè)M(M,0),則麗因?yàn)榧確LBA/等價(jià)于前兩=0,即

(-1,^-1,0)(-1,1,1)=1+^-1=0,故"3,MO.pO).

所以當(dāng)皿=:(即"是8的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí)，EN1BM.

設(shè)平面琢雨的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),由卜"1■竺及的=(-1=,0),

[nlEW,2

得[”2?？扇】?(1,2，一1).

[Z=-X.

設(shè)網(wǎng)與平面球處所成角的大小為8,則由的=0),?=(1,2,-1),可得

sin6=cos(90-=，即6=60.

故&V與平面RW所成角的大小為60.

第1S題解答圖

解法2：由（I）知，當(dāng)三棱椎火-B⑵的體積最大時(shí)，m=1,AD=CD=2.

如圖b,取CD的中點(diǎn)歹，連結(jié)g,BF,EF,則帥'〃心

由（1）知兒DJ■平面BCD,所以平面BCD

如圖r，延長亞至P點(diǎn)使得FP=DB,連BP,DP,則四邊形DBPF為正方形,

所以D尸取DF的中點(diǎn)曾，連結(jié)颯，又E為FP的中點(diǎn)，則叫〃DP,

所以則_LB尸因?yàn)榻?1平面BCD,又現(xiàn)u面BCD,所以MF工邱7

又MFCBF=F,所以用7J_面球W又RMu面球於九所以*

因?yàn)榻挟?dāng)且僅當(dāng)珈而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)曾是唯一的.

即當(dāng)皿=；（即葡是CD的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)），SNA.BM.

連接孫，ME,由計(jì)算得歷=從必=踮=助/=史，

2

所以△弱四與4瞬是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，

如圖d所示，取用/的中點(diǎn)G,連接EG,NG,

貝IJ血_L平面EGW.在平面EGN中，過點(diǎn)E作班■J.GN于H,

則班J_平面球W.故N邱汨?是網(wǎng)與平面球辦7所成的角.

在△原加中，易得EG=GN=NE=?~,所以△EGN是正三角形，

2

故/國陽=60,即圓/與平面RWN所成角的大小為60.

【考點(diǎn)定位】本小題考查空間線線與線面的位置關(guān)系，考查同學(xué)們的空間想象能力、邏輯推

理能力、分析問題與解決問題的能力.

5.(2012年高考福建卷理科18)(本小題滿分13分)

如圖，在長方體ABCD-44G2中，

AAt=AD=I,E為CD中點(diǎn)。

(I)求證：BiE±ADl；

(II)在棱A4上是否存在一點(diǎn)P,使得OP〃平

面B]AE?若存在，求AP的長；若不存在，說明理由.

(III)若二面角A—用E—&的大小為30°,求AB的長.

【解析】(I)長方體ABCD-481GA中，&=40=1

得：皿_1424馬_1_44，4〃口451=4=4OJ?面

BXEc面4sleZ)=ByE_LAE\

(ID取A&的中點(diǎn)為尸，中點(diǎn)為Q，連接產(chǎn)Q

在皿劣中，PQ嗎AA.DE必AB】=PQ.E=PDIIQE=PDiI

面BXAE

WAP=-AA=-

2'2

(III)設(shè)連接40.過點(diǎn)。作于點(diǎn)連接⑷/

4。_1_面4周8,OHLBXE^AHLB^E

得：乙4Ho是二面角4一8逐一4的平面角=乙破。=30°

在中，AAH0=30。,&OH=9(T,AH=^=0H=在

22

在矩形4卻力中，CO=X，4D=J5

^=V2X-1X72X^2X^XX-1X^=3岳

2222222~3~

=9AF^X￥=X=2

得：AB=26

6.(2012年高考上海卷理科19)(6+6=12分)如圖，在四

棱錐P—A3CT中，底面A5c7是矩形，H4,底面

ABCL,E是PC的中點(diǎn)，已知AB=2,AD=242,

PA=2,求：

(1)三角形PCO的面積；

(2)異面直線8C與AE所成的角的大小.

【解析】(1)因?yàn)?J"底面A8CD,所以幺_LC0,又AO_Lm

所以COJ?平面PAD,從而CDJ-PD....3分

因?yàn)镻D=+(2、泛＞=2萬,8=2,

所以三角形PC。的面積為；x2x26=26.……6分

(2)［解法一］如圖所示，建立空間直南坐標(biāo)系，

則8(2.0.0).H2,2^,0).f(l,-J2.1).

AE=(1,J2.1),BC=(0,242,0)……8分

設(shè)與元的夾角為S則

8s6=[^§=扁=乎'

由此可知，舁面直線8c與4E所成的角的大小是彳

解法二1取PB中點(diǎn)F,連接EF、AF,則

EF//BG從而NAEF(或其補(bǔ)角)是異面直線

8c與AE所成的角....8分

在AASF中，由EF=&\AF=①、AE=2

知AAffF是等腰直角三角形,

所以NAEF=T

因此異面直線8c與AE所成的角的大小是:……12分

【考點(diǎn)定位】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理

論證能力.綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時(shí)考查空間幾何體的體積公式

的運(yùn)用.本題源于《必修2》立體幾何章節(jié)復(fù)習(xí)題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重課本，容易出現(xiàn)找錯(cuò)角的

情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題.

7.(2012年高考浙江卷理科20)(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐PfBC。中，底面是

邊長為的菱形，且/BA￡)=120。，且PAJL平面ABC￡>,PA=2娓,M,N分別為P8,

PO的中點(diǎn).

(I)證明：MN〃平面ABCD；

(11)過點(diǎn)4作人。，尸。，垂足為點(diǎn)Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.

【解析】本題主要考察線面平行的證明方法，建系求二面角等知識(shí)點(diǎn).

(Ij如圖連接BD.一

VM,N分別為P8,P0的中點(diǎn)，

.?.在AP8。中，MN//BD.

又MA，a平面ABCD,

〃平面ABCD,

(II)如圖整系,

4(0.0.0).P(0.0.2同Q,1,國

22

M/,0.舟,Q幣,3,0).（第20題圖）

設(shè)Qx,y，z)(則C0.(x-y—1z>CP?(——32-^6).

?/樂=-3A2網(wǎng)，；??>/5-4為3-342?。?

由麗J?存=語存=0，得：4=；.即：&苧，2.絡(luò).

對(duì)■于平面AM,M設(shè)其法向量為4=（athc）.

/，=（一奈永病，斯=也。炳.

則./.?=邪0

同理對(duì)于平面.WQ得其法向量為v=a旨.半）.

記所求二面角A—^/N—C的平面角大小為e.

逑

則cos6=―--=.

348

二.所求二面角A—f'/N—G的平面角的余弦值為

8

8.（2012年高考山東卷理科18）（本小題滿分12分）

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB〃CD,NDAB=6O°,FC_L平面ARCD,

（II）求二面角F-BD-C的余弦值。

【解析】（I）在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,ZDAB=60°,CB=CD,

由余弦定理可知BD2=CD2+CB2-2CDCBcos(180°-ADAS)=3CD2,

即即=J5s=島。在中，ZDAB=60°,BD=y/3AD,河山4即為直角三

角形，且AD_LZ）H.又AE_LBD,HDu平面AED,平面AED,且力￡）口如￡=工，

故BDJ_平面AEDs

（II）由（I）可知/CJ,CB,設(shè)G?=1,則C/=如=有，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，F(xiàn)（0,01）,5（0,l,0）,D（y--1,0）,向量5=（0,0,1）為平面33c的一個(gè)法向量

「------八白3

設(shè)向量￡=。,乂力為平面BDF的法向量貝U竺竺=。,即-5y=0,

mFB=d

取1y=1，則x=Ji,z=1,則冽=（73,1,1）為平面BDF的一個(gè)法向量

45_

—＞而二面角F-BD-C的平面角為銳角，則

二面角F-BD-C的余弦值為走

5

9.（2012年高考遼寧9科18）（本小題滿分12

分）

如圖，直三棱柱ABC-A'B'C1,

4BAC=9G,

AB=火C=點(diǎn)M〃分別為AfB和B'C'的

中點(diǎn).

（I）證明：加N〃平面A'ACC'；

（11）若二面角4-必7-。為直二面角，求;I的值.

【解析】（1）連結(jié)由已知/94c=90。/83c

三棱柱ABC-A'B'C'為直三棱柱，

所以版為3'中點(diǎn),又因?yàn)镹為8。中點(diǎn)

所以聞W47,又加Ne平面R/CC'

AC'a平面A'ACC,因此

朋平面"CC'……6分

（2）以幺為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直然3MC4'為

x軸，h軸，z軸建立直角坐標(biāo)系。-D？，如圖所

示

設(shè)44'=1,則加=47=&

于是