振動理論基礎(chǔ)演示文稿

振動理論基礎(chǔ)演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有70頁\編輯于星期五振動理論基礎(chǔ)現(xiàn)在是2頁\一共有70頁\編輯于星期五機械系統(tǒng)在其平衡位置附近所作的往復(fù)運動稱為振動。振動現(xiàn)象普遍存在于自然界和工程技術(shù)中，如地震。本章僅研究單自由度系統(tǒng)的微振動，討論振動的基本特征。談?wù)劚緦I(yè)內(nèi)有關(guān)振動問題??？？現(xiàn)在是3頁\一共有70頁\編輯于星期五系統(tǒng)偏離平衡位置后，僅在恢復(fù)力作用下維持的振動稱為自由振動?！?6-1單自由度系統(tǒng)的自由振動圖示為單自由度系統(tǒng)自由振動的簡化模型，它是從實際振動系統(tǒng)中抽象出的簡圖。設(shè)彈簧原長為lo，剛度為k，物塊質(zhì)量為m，靜平衡時，彈簧變形為δst（稱靜變形），有現(xiàn)在是4頁\一共有70頁\編輯于星期五以平衡位置為原點，建立圖示坐標(biāo)。物塊在一般位置的受力如圖示，則其振動微分方程為令，代入上式，得單自由度系統(tǒng)自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式現(xiàn)在是5頁\一共有70頁\編輯于星期五其通解頻率周期積分常數(shù)A和θ分別為振幅和初位相。它們由運動的初始條件決定。圓頻率（或固有圓頻率、固有頻率）現(xiàn)在是6頁\一共有70頁\編輯于星期五頻率和周期只與系統(tǒng)本身所固有的慣性和彈性有關(guān)，而與運動的初始條件無關(guān)，是描述振動系統(tǒng)基本性質(zhì)的重要物理量。現(xiàn)在是7頁\一共有70頁\編輯于星期五質(zhì)量m=0.5kg的物塊，沿光滑斜面無初速滑下，如圖所示。當(dāng)物塊下落高度h=0.1m時撞于無質(zhì)量的彈簧上并不再分離。彈簧剛度k=0.8kN/m，傾角β＝300，求系統(tǒng)振動的固有頻率和振幅，并寫出物塊的運動方程。例16-1現(xiàn)在是8頁\一共有70頁\編輯于星期五解：物塊在平衡位置時，彈簧靜變形以此位置為原點O，建立圖示坐標(biāo)。物塊受力如圖，其運動微分方程為化簡后得系統(tǒng)的固有頻率現(xiàn)在是9頁\一共有70頁\編輯于星期五當(dāng)物塊碰上彈簧時，取時間t=0，作為振動的起點。則運動的初始條件：初位移初速度得振幅及初位相mm物塊的運動方程現(xiàn)在是10頁\一共有70頁\編輯于星期五如圖所示。在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為m的物塊，其靜撓度（靜變形）為2mm。若將物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動規(guī)律。

例16-2現(xiàn)在是11頁\一共有70頁\編輯于星期五解：此無重彈性梁相當(dāng)于彈簧，其剛性系數(shù)取重物平衡位置為坐標(biāo)原點，x軸方向鉛直向下，運動微分方程為:式中圓頻率現(xiàn)在是12頁\一共有70頁\編輯于星期五在初瞬時t＝0，物塊位于未變形的梁上，其坐標(biāo)x0＝－δst=－2mm，初速v0=0，則初位相振幅系統(tǒng)的振動規(guī)律mmmm現(xiàn)在是13頁\一共有70頁\編輯于星期五等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧

★并聯(lián)彈簧下圖表示剛度分別為k1和k2的兩個彈簧并聯(lián)的兩種形式，其分析方法相同。由平衡方程得式中為并聯(lián)彈簧的等效彈簧剛度。n個并聯(lián)彈簧的等效剛度現(xiàn)在是14頁\一共有70頁\編輯于星期五★串聯(lián)彈簧圖示為串聯(lián)彈簧。靜平衡時，變形分別為和。彈簧總伸長等效彈簧剛度n個彈簧串聯(lián)，則有現(xiàn)在是15頁\一共有70頁\編輯于星期五圖為一擺振系統(tǒng)。桿重不計，球質(zhì)量為m，擺對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，彈簧剛度為k，桿于水平位置平衡，尺寸如圖。求系統(tǒng)微小振動的運動微分方程及振動頻率。例16-3現(xiàn)在是16頁\一共有70頁\編輯于星期五解：擺處于平衡位置時，彈簧已壓縮由平衡方程有以平衡位置為角坐標(biāo)原點，擺繞軸O的轉(zhuǎn)動微分方程得系統(tǒng)自由振動微分方程固有頻率★可見，只要以平衡位置為坐標(biāo)原點，系統(tǒng)的運動微分方程具有標(biāo)準(zhǔn)形式?，F(xiàn)在是17頁\一共有70頁\編輯于星期五§16-2計算系統(tǒng)固有頻率的能量法對于單自由度的保守系統(tǒng)，固有頻率可簡便地由機械能守恒定律求出，稱為能量法。設(shè)圖示系統(tǒng)作簡諧振動，則有若以平衡位置為勢能零點，則系統(tǒng)勢能現(xiàn)在是18頁\一共有70頁\編輯于星期五系統(tǒng)動能由機械能守恒，即T+V＝常數(shù)，則系統(tǒng)固有頻率表明；如取平衡位置為勢能零點，則可以彈簧在平衡位置的長度為原長計算彈性勢能，而不考慮重力勢能。只要寫出系統(tǒng)的動能和以平衡位置為零點的勢能，即可確定系統(tǒng)的固有頻率，而不必列寫系統(tǒng)的微分方程。

現(xiàn)在是19頁\一共有70頁\編輯于星期五圖示為兩個相同的塔輪。齒輪半徑皆為R，半徑為r的鼓輪上繞有細(xì)繩，輪Ⅰ上連一鉛直彈簧，輪Ⅱ上掛一重物。塔輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量皆為J，彈簧剛度為k，重物質(zhì)量為m。求系統(tǒng)振動的固有頻率。例16-4現(xiàn)在是20頁\一共有70頁\編輯于星期五解：以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取

x

為廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)振動的規(guī)律為則塔輪角速度系統(tǒng)動能現(xiàn)在是21頁\一共有70頁\編輯于星期五取平衡位置為勢能零點，系統(tǒng)的勢能為由得系統(tǒng)的固有頻率現(xiàn)在是22頁\一共有70頁\編輯于星期五在如圖示的振動系統(tǒng)中，擺桿AO對鉸鏈O的轉(zhuǎn)動慣量為J，在A水平位置處于平衡，求系統(tǒng)微振動的固有頻率。例16-5現(xiàn)在是23頁\一共有70頁\編輯于星期五解：取擺角為廣義坐標(biāo)，設(shè)其變化規(guī)律為系統(tǒng)動能以平衡位置為勢能零點，系統(tǒng)勢能由得固有頻率現(xiàn)在是24頁\一共有70頁\編輯于星期五如圖所示，質(zhì)量為m

，半徑為r的圓柱體，在半徑為R的圓弧槽上作無滑動的滾動。求圓柱體在平衡位置附近作微小振動的固有頻率。例16-6現(xiàn)在是25頁\一共有70頁\編輯于星期五解：取擺角為廣義坐標(biāo)，設(shè)其微振動規(guī)律為圓柱體中心O1的速度由運動學(xué)知，當(dāng)圓柱體作純滾動時，角速度系統(tǒng)動能現(xiàn)在是26頁\一共有70頁\編輯于星期五整理后得系統(tǒng)的勢能為重力勢能，取圓柱在最低處時的圓心位置C為勢能零點，則系統(tǒng)勢能圓柱體作微振動現(xiàn)在是27頁\一共有70頁\編輯于星期五由得現(xiàn)在是28頁\一共有70頁\編輯于星期五§16-3單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動由于阻力作用，自由振動的振幅將逐漸衰減，最后趨于靜止。產(chǎn)生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性質(zhì)。以下僅討論阻力與速度成正比的粘性阻尼或稱線性阻尼。即式中負(fù)號表明阻力與速度方向相反，阻尼系數(shù)c取決于阻尼介質(zhì)的性質(zhì)和物體的形狀?，F(xiàn)在是29頁\一共有70頁\編輯于星期五1、有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式圖（a）為一有阻尼的質(zhì)量--彈簧系統(tǒng)。取平衡位置為坐標(biāo)原點，受力如圖（b）。阻力微分方程為或化簡得代入上式得衰減振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式令現(xiàn)在是30頁\一共有70頁\編輯于星期五2、微分方程的解設(shè)，代入式中，得特征方程方程的兩個根通解有三種可能情形：

現(xiàn)在是31頁\一共有70頁\編輯于星期五★小阻尼情形當(dāng)或時，稱為小阻尼。此時令則得運動方程如圖所示。由于振幅隨時間不斷衰減，故稱為衰減振動。現(xiàn)在是32頁\一共有70頁\編輯于星期五衰減振動的周期令稱為阻尼比。周期Td較無阻尼自由振動的周期T略有增加。阻尼對周期的影響很小，可忽略不計，取Td≈T。則現(xiàn)在是33頁\一共有70頁\編輯于星期五阻尼對振幅的影響為描述振幅Ai的衰減，引入減幅系數(shù)η（或稱振幅縮減率）。由圖示得上式表明：衰減振動的振幅按幾何級數(shù)遞減。阻尼對自由振動的振幅影響較大。例如：ζ＝0.05時，Td＝1.00125T而經(jīng)過10個周期后，振幅只及原振幅的4.3%?，F(xiàn)在是34頁\一共有70頁\編輯于星期五初始幅值A(chǔ)和初位相θ取決于初始條件。對上式兩邊取對數(shù)得對數(shù)縮減率所以設(shè)t＝0時，，，則有現(xiàn)在是35頁\一共有70頁\編輯于星期五★臨界阻尼情形當(dāng)或時，稱為臨界阻尼。此時，。微分方程的解為不具有振動的特點，積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運動圖如圖所示?，F(xiàn)在是36頁\一共有70頁\編輯于星期五★大阻尼情形當(dāng)或時，稱為大阻尼。此時微分方程的解為積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運動圖如圖所示?，F(xiàn)在是37頁\一共有70頁\編輯于星期五圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為k1，圓盤對桿軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。如圓盤外緣受到與轉(zhuǎn)動速度成正比的切向阻力，其衰減扭振的周期為Td。求圓盤所受阻力偶的矩與轉(zhuǎn)動角速度的關(guān)系。例16-7現(xiàn)在是38頁\一共有70頁\編輯于星期五解：盤外緣切向阻力與轉(zhuǎn)動速度成正比，則此阻力偶矩M與角速度ω成正比，且轉(zhuǎn)向相反。設(shè)，μ為阻力偶系數(shù)，則圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動的微分方程為或由此得衰減振動周期現(xiàn)在是39頁\一共有70頁\編輯于星期五則阻力偶系數(shù)得現(xiàn)在是40頁\一共有70頁\編輯于星期五§16-4單自由度系統(tǒng)的受迫振動振動系統(tǒng)在外加持續(xù)激勵下的振動稱為受迫振動。下面僅討論簡諧激勵情形。圖示為三種類型的簡諧激勵，分別是：激勵力直接作用；彈簧端點運動引起的激勵和偏心轉(zhuǎn)子引起的激勵。現(xiàn)在是41頁\一共有70頁\編輯于星期五1、激振力直接作用下的受迫振動★振動微分方程圖為受迫振動系統(tǒng)的簡化模型。激振力其中，H為最大激振力，ω為激振力的圓頻率。以平衡位置為坐標(biāo)原點，則：令整理化簡后，得單自由度系統(tǒng)受迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式現(xiàn)在是42頁\一共有70頁\編輯于星期五★微分方程的解方程的通解由兩部分構(gòu)成：對應(yīng)的齊次方程的通解和該方程的一個特解。上式右端第一項為衰減振動，經(jīng)過短暫時間，即趨于衰減，稱瞬態(tài)響應(yīng)。最后得到持續(xù)的等幅振動，稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)的受迫振動由式可知，受迫振動的頻率等于激振力的頻率。將上式代入微分方程式，化簡后得到受迫振動的振幅和位相差

現(xiàn)在是43頁\一共有70頁\編輯于星期五式中分別稱為頻率比、阻尼比和由最大激振力引起的彈簧的靜變形?，F(xiàn)在是44頁\一共有70頁\編輯于星期五受迫振動的振幅與靜變形之比稱放大系數(shù)，即當(dāng)ζ一定，β與λ間的關(guān)系如圖所示，稱為幅頻特性曲線。由圖可知：★幅頻特性①當(dāng)λ＜＜1時，阻尼對振幅的影響很小，可忽略不計。

②共振區(qū)λ=0.75～1.25。在此區(qū)域內(nèi)阻尼對振幅有顯著影響，λ≈1時，振幅急劇增加出現(xiàn)峰值的現(xiàn)象，稱為共振。對應(yīng)曲線峰值的頻率，稱為系統(tǒng)的共振頻率?，F(xiàn)在是45頁\一共有70頁\編輯于星期五③當(dāng)λ＞＞1時，阻尼對振幅影響可忽略不計。小阻尼時，共振頻率近似等于固有頻率，共振振幅近似與阻尼比成反比，即現(xiàn)在是46頁\一共有70頁\編輯于星期五相頻特性曲線如圖所示。由圖可知，當(dāng)有阻尼時，ε隨頻率比ω/ωn連續(xù)變化。①當(dāng)λ＜＜1時，ε≈0，受迫振動位移與激振力接近同位相。

②當(dāng)λ＞＞1時，ε≈π，受迫振動與激振力接近反位相。

③當(dāng)λ＝1時，，與阻尼大小無關(guān)，這是共振時的一個重要特征?！锵囝l特性工程上利用此特點，通過實驗測定系統(tǒng)固有頻率ωn?，F(xiàn)在是47頁\一共有70頁\編輯于星期五2、彈簧端點作簡諧運動引起的受迫振動振動系統(tǒng)的簡化模型如圖所示。設(shè)臺面光滑，端點A的運動規(guī)律則彈簧恢復(fù)力微分方程令得與激振力直接作用下的受迫振動形式相同。前述有關(guān)受迫振動的討論適用于此?，F(xiàn)在是48頁\一共有70頁\編輯于星期五3、偏心轉(zhuǎn)子引起的受迫振動電機Ⅱ安裝在基礎(chǔ)Ⅰ上，如圖所示，彈性地基簡化為剛度為k的彈簧。設(shè)基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電機定子質(zhì)量為m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，偏心距e。轉(zhuǎn)子以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。由于偏心，系統(tǒng)將沿鉛垂方向作受迫振動。建立圖示坐標(biāo)軸Ox

。系統(tǒng)在平衡位置時，有轉(zhuǎn)子質(zhì)心的加速度現(xiàn)在是49頁\一共有70頁\編輯于星期五由質(zhì)心運動定理，得得令得微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式與激振力直接作用下的受迫振動微分形式相同?，F(xiàn)在是50頁\一共有70頁\編輯于星期五令則代入注意到激振力幅值與其頻率有關(guān)，得系統(tǒng)受迫振動的振幅放大系數(shù)現(xiàn)在是51頁\一共有70頁\編輯于星期五幅頻特性曲線如圖所示當(dāng)λ≈0時，b≈0，β≈0；

當(dāng)λ>>1時，β又逐漸減少，當(dāng)λ很大時，β≈1；

當(dāng)λ=1時發(fā)生共振，此時轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。現(xiàn)在是52頁\一共有70頁\編輯于星期五圖示為一測振儀的簡圖，其中物塊質(zhì)量為m，彈簧剛度為k。測振儀放在振動物體表面，并隨物體而運動。設(shè)物體的振動規(guī)律為求測振儀中物塊的運動微分方程及其受迫振動規(guī)律。例16-8現(xiàn)在是53頁\一共有70頁\編輯于星期五解：測振儀隨物體振動，則其彈簧懸掛點的運動規(guī)律為取t=0時物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點，取x軸如圖。在任一瞬時t，彈簧的變形為物塊的運動微分方程注意到，，上式整理后，得現(xiàn)在是54頁\一共有70頁\編輯于星期五受迫振動規(guī)律為此時激振力的力幅為H=ke，由式得由于測振儀殼體也在運動，其振幅為e

，因而圖中記錄紙上畫出的振幅為物塊相對于測振儀的振幅。由式②可知，當(dāng)時，，有，物塊幾乎不動，記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅?，F(xiàn)在是55頁\一共有70頁\編輯于星期五例16-9圖為一無重剛桿。一端鉸支，距鉸支端l處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，距2l處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，A端有一剛度為k的彈簧，并作用一簡諧激振力。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率ωn，以及當(dāng)激振力頻率ω等于ωn

時質(zhì)點的振幅?，F(xiàn)在是56頁\一共有70頁\編輯于星期五解：取擺角θ為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)平衡位置為坐標(biāo)原點。整理后得令當(dāng)時，得振幅（最大擺角）質(zhì)點的振幅受力如圖示。由剛體轉(zhuǎn)動微分方程得現(xiàn)在是57頁\一共有70頁\編輯于星期五電動機Ⅱ安裝在基礎(chǔ)Ⅰ上，基礎(chǔ)下面是彈性基地，如圖所示。已知地基的彈性系數(shù)為k，基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電動機定子質(zhì)量為m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子有偏心距e，轉(zhuǎn)子以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。求：（1）基礎(chǔ)的強迫振動的振幅；（2）基礎(chǔ)對電動機的鉛直動約束力。φexym1gCOⅠⅡ平衡位置mgm2gF例16-10現(xiàn)在是58頁\一共有70頁\編輯于星期五1.將電動機和基礎(chǔ)看成一質(zhì)點系分析它的運動和受力情況彈性力(a)(b)(c)解:φexym1gCOⅠⅡ平衡位置mgm2gF應(yīng)用得因為平衡時則有現(xiàn)在是59頁\一共有70頁\編輯于星期五

（2）

(d)根據(jù)振動理論，系統(tǒng)的固有頻率為強迫振動的規(guī)律為其振幅為(e)(f)(g)或φexym1gCOⅠⅡ平衡位置mgm2gF現(xiàn)在是60頁\一共有70頁\編輯于星期五2.求地基對電動機的鉛直動約束力。由此求出動約束力(h)將式(f)對t微分兩次，并將式(g)代入后，有(f)(g)φeyCOⅡmgm2gFN取電動機為研究對象，由質(zhì)心運動定理得現(xiàn)在是61頁\一共有70頁\編輯于星期五§16-5隔振的概念減輕振動的危害，在工程上是一個重要的研究課題。通常有以下的減振措施：★抑制振源強度

例如，對高速轉(zhuǎn)子進(jìn)行靜平衡和動平衡試驗，以消除不平衡的慣性力；為減小車輛振動提高路面或軌道的質(zhì)量；減小高層建筑的迎風(fēng)面積以降低風(fēng)載等。

★消振

采用多種形式的消振器，如動力消振器，阻尼消振器等。

★隔振

將振源與減振體隔開，隔斷振動的傳播，降低振源的影響。

本節(jié)只討論隔振的理論基礎(chǔ)。按照研究對象的不同，分為主動隔振和被動隔振。其隔振效果均以隔振系數(shù)表示?，F(xiàn)在是62頁\一共有70頁\編輯于星期五主動隔振

主動隔振是將振源與支承它的基礎(chǔ)隔開。研究的對象是振源本身。如電機、水泵、鑄壓機械等。為減小機器的振動對周圍環(huán)境的影響，墊上橡膠、枕木等彈性支承，以降低振動傳到基礎(chǔ)上的強度。圖為主動隔振的簡化模型，激振力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動規(guī)律振幅現(xiàn)在是63頁\一共有70頁\編輯于星期五物塊振動時，通過彈簧和阻尼器傳到地基上的力分別為它們以相同的