高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極限

高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極限第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二、函數(shù)極限的定義數(shù)列(特殊的函數(shù))的極限函數(shù)的極限在自變量的某個變化過程中，如果函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)，則這個確定的數(shù)就稱為在這一變化過程中的函數(shù)的極限.第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二(一)自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限1、記法：若且沿x

軸正向趨于，則稱x趨于正無窮大，記為同理：若且沿x

軸負(fù)向趨于，則稱x趨于負(fù)無窮大，記為若，則稱x趨于無窮大，記為例：根據(jù)函數(shù)的圖形考慮上述自變量的變化過程中函數(shù)值y的變化趨勢第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二2、定義1：若當(dāng)時(shí),的值與常數(shù)無限地接近，則稱當(dāng)時(shí)，以A為極限，記作定義2(解析定義)：若存在常數(shù)A,對，當(dāng)時(shí)，都有，則稱當(dāng)時(shí)，以A為極限，記作同理可以定義和時(shí)函數(shù)極限的定義及記法.第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二3、幾何解釋:第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二類似于前面的分析可以得出注：x趨于無窮大表示它既趨于正無窮大，又趨于負(fù)無窮大定理1：存在的充分必要條件是和均存在且相等．證明：用定義證明.第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例1證第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例2：觀察反正切函數(shù)的圖像寫出自變量三種變化情況下函數(shù)的極限.第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二(二)、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限一般地，當(dāng)時(shí)，規(guī)定考察當(dāng)時(shí)，函數(shù)的變化情況．定義1(通俗的講略)定義2(解析定義)第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二2、幾何解釋:注意3.表示從的左右兩側(cè)同時(shí)趨于該點(diǎn)第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例3證練習(xí)：第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例4證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例5證？在上述極限過程中，要保證x

0。不能保證x

0問題：第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例6證問題：如何保證x

0?第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二（1）用定義證明的關(guān)鍵步驟將|f(x)–A|適當(dāng)化簡，變形或放大，使之出現(xiàn)下面的形式：再從中解出然后?。?）有時(shí)為了同時(shí)保證幾個不等式成立，常常要在幾個常數(shù)中取最小者。第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二(三)、左、右極限考慮分段函數(shù)：在分段點(diǎn)處的極限情況第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二右極限左極限第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例7：對函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限情況解：從圖像上可以看出第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：討論下列函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限.

(1)

(2)

第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二左右極限存在但不相等,例8證注：分段函數(shù)分段點(diǎn)處的極限必須通過該定理討論.第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：討論下列函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限.

(1)

(2)

第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例9：可以證明：第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二二、函數(shù)極限的性質(zhì)1.唯一性2.局部有界性若，則存在常數(shù)和使得當(dāng)時(shí)，有第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二3.局部保號性第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理結(jié)論：函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例10證二者不相等,第28頁，共30頁，2023年，2月20日，