2020江蘇高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題突破-微專題04-多元最值問題

22222222222222222λ222222222222222222222222222λ2222222222＋b22222江蘇高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題突破微專題

多元最值題多元問題是代數(shù)問題中重點(diǎn)和難點(diǎn)問題元者三元取值范圍問題是考察重點(diǎn)見于基本不等式的應(yīng)用中數(shù)和數(shù)列的綜合問題中類察了減元思想以及整體思想的運(yùn)用，將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題來處理．【例1】，b∈，a＋－＝，＋的小值．答案：

＋1解析解法1條件為＋3－b＝1設(shè)mab，na－b，則mn1，且4＝＋3n,4＝－n所以

2

＋b

2

)＝(＋3n)＋－)

＝

2

＋＋，因?yàn)?/p>

2

＋10n

≥4，所以＋b

2

＋1

（解法）＝a

＋2－

≤a

－3≤

－3

＋

＋bλ

＝(1＋)

＋－3b(λ．令1＋＝－，解得＝5λ再將＝－2回代可得，(5－1)a

＋(5b

2

≥1即a

＋

2

＋【例2】實(shí)數(shù)a，，c滿＋b≤c≤1則a＋c的最小值________答案：1解析解法1因?yàn)閏≥a＋，以a＋c≥a＋b＋＝＋＋＋－，故a＋c最小值為－.（解法）為c≥＋，以＋＋c≥a＋ba＋b.又因?yàn)?/p>

2

≥，故＋＋c≥ab＋a＋b≥＋a＋b＝[(a)＋1]－，2故a＋c最小值為－.

2222θ＝rθ－2222222222222θ＝rθ－22222222222222222－2ac≥52222（解法）元法令＝rθb＝rθr∈[0,1]．b＋≥a＋b＋＋＝r＋rθ＋)＝r＋r

π242sin

π1θ，a＋c最小值為－.【方法規(guī)律】方法1根條件進(jìn)行放，利用配方法解決問題；方法2根條件進(jìn)行放，關(guān)注到基本不等式，同時(shí)有整體配方思想．方法3通換元，利用角函數(shù)的有界性解決問題．【例3】知ABC的邊長a，c等差數(shù)列，且a＋b＋＝，則實(shí)數(shù)b的值范圍為________答案：(2，27]解析：等差數(shù)列的公差為d由題意得△ABC三滿足＞－c＝d，所以＜因?yàn)椋玝＋c＝84以b)＋＋＋)＝即b＋2＝84.因?yàn)?＋2＜b＋b7＝所以＞84即＞24解得b＞26(b＜－6舍去)因eq\o\ac(△,為)三邊長b，2c成差數(shù)列，所＝＋c，故4＝＋＋2，即a＋＝b－ac.因?yàn)椋剑裕?

22

－＝，且僅當(dāng)ac時(shí)等號，所以

2

≤，所以0≤2綜所述，實(shí)數(shù)b取值范圍(2，7]【方法規(guī)律】本題關(guān)鍵在于消元三問題轉(zhuǎn)化為兩元解答本題時(shí)要注意△ABC三長a，c應(yīng)滿足的限制條件有三條：三角形邊的關(guān)系2＝a＋c和a＋b＋c＝，有許多考生忽視了本題“角形邊的關(guān)系”而只利用另外兩個(gè)條件求出0＜b7這個(gè)錯(cuò)誤答案此提醒考生答題時(shí)要完全讀懂題意再解答，避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生．（通過本課題的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？你還有其它疑惑嗎？）A組．已知正實(shí)數(shù)，b滿a＋b＝，則的大值為．a(chǎn)

22222222＝＝＝＝，2＋＋3－2222(]1θ11t32323323233242322222222＝＝＝＝，2＋＋3－2222(]1θ11t323233232332423答案：解析解法1

2利用不等式≤1＋x

x＋

可得2ab＝≤＋b1＋a

＋

1ab2＝，的大值為.23a＋12【點(diǎn)評】接利用基本不等式（解法）9

＋b

＝可得ab.為3a＋b3，此兩處取號時(shí)均3a＝b，故

ab1≤＝≤＝a23ab212【點(diǎn)評】次運(yùn)用基本不等式，意等號成立的條件．（解法）為

119＋b2＋6ab＋ab1ab由9＋＝可得ab，則

2≤，以的大值為3＋b12π（解法）3a＝sin，＝θ∈，，

1sinθ＝，aθθt－令θ＋＝，∈，2]，θcos＝，于是

＝·＝t－于數(shù)f()t－在區(qū)間，2上增當(dāng)＝a3sin＋θ6t時(shí)，取最大值

2．已知x>0，>0z>0，且x＋y＋z＝，x＋＋3最小值．答案：解析：路分析本消元后轉(zhuǎn)化為二元問題研究．（解法1）函數(shù)思想：＋＋z＝x＋＋－－)＝x－x＋y－y＋18－3345＋y－＋≥－3x＋，且僅當(dāng)y＝時(shí)等．設(shè))＝x－，g(x)＝3x－令′(x＝0得x＝，得g()在(0,1)上單調(diào)遞減，在，＋∞上單調(diào)遞增，從而g()min＝g(1)－(x＋＋3)＝2min

3737＝求小值為僅＝，44

32332當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，＝，＝取號32332當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，＝，＝取號222z＝時(shí)取等號．（解法）本不等式：由＋＋1x(且僅當(dāng)x＝1取等，＋≥332737y當(dāng)僅當(dāng)y＝取號得＋y＋3＋＋≥3(＋y＋z)＝，＋＋z≥3312323＋8b．已知，b，c為實(shí)數(shù)，且＋≤8，＋≤，的值范圍________．c答案：[27,30]b解析：為，b，c為實(shí)數(shù)，＋≤c的、右兩邊同除，得＋≤8.c2cc對＋≤的左右兩邊同乘c，＋≤2令＝，y＝，條件可轉(zhuǎn)化為bcabcx>0，y>0，x＋2≤，＋≤2x

x，y，再進(jìn)行化簡，可得x＋y≤8.2－ab求z＝＝x＋8y的值范圍問題轉(zhuǎn)換為線性規(guī)的問題，畫出可行域．c對y＝＋求，并令導(dǎo)函值為－，可切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入曲線，計(jì)出切點(diǎn)坐2－89標(biāo)為，，用線性規(guī)劃，可知z＝x＋y別在(和3取大值和最小值，代入計(jì)算可得范圍為27,30]．b＋3c．若ab，c三個(gè)正實(shí)數(shù)，且a＝ab＋＋，則的小值為_______．答案：43b解析：由a＝ab＋bc＋ac得1＋＋，x＝，y＝>0，則1＝＋x＋y，即(x＋aaay＋1)＝2，則

by＋5＝2x＋y.因x2)(3＋3)12≤，所以＋3y＋4

22y＋3≥48又>0>0，所以x＋3y的小值為－5當(dāng)且僅當(dāng)即＋，－3＝3－，y＝時(shí)號成立B組知數(shù)fx)＝log(x－實(shí)m滿f(m)＋f(2＝3mn的小值為．2答案：7解析：f＋f(2n)＝可log(－＋logn＝3，22則－－＝4，其(>2，n．m－2＋n－由基本不等式，即mn7，當(dāng)且僅當(dāng)＝，n＝3時(shí)取“＝”．所以mn最小值為7.c．若ab＞，且a＋c＝0則的值范圍是．答案：－2，－c－－解析法1因?yàn)閍＞b＞cab＋＝0所以>0c<0則＝＞＝aac，＝<＝－，故－2<－－c（解法）為>>，＋＋c＝，所以a>0c，則c＝－a－c，解得－2<<.．已知，，且a＋b－，則最大值．a(chǎn)答案：111解析：a＝－，－3＝a＋又，所以－＝＋≥當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)取ababa1等號，即3≥，又b，解得0<b，所的最大值為.1．已知x，為實(shí)數(shù)且滿足x＋y≤，則＋的小值________．4xy＋答案：1解析：為＋＋1

y＋1x5(＋＋1)＝＋＋≥，y14199所以＋≥≥＝，且僅當(dāng)＝，＝時(shí)，“＝”．y1＋33

ba22222202022ba222222020221所以＋的最小值為.y18．若正實(shí)數(shù)，b，c足＝a2babc＋2＋c，則的大值為_．答案：＋bab1解析abc＝＋＋得＝＝1由＝＋2得，－a2ba－12＋＝，所以＋2b＝＋)a

a4＋＝＋＋≥＋2

4b＝＋4，故c≤.7（法）因?yàn)閍bc＝a2＋c，ab＝＋，所以abc＋c，故c＝＝＋由－－1aba＋b利基本不等式得≥2，故≥8，當(dāng)且僅當(dāng)＝4b時(shí)等號成立，故18c＝1≤＋＝－817國上鉆石的重計(jì)量單位為克拉已知某種鉆石的價(jià)值V美與其重量ω拉的平方成正比，若把一顆鉆石切割成重量分別為(mn)的兩顆鉆石，且價(jià)值損失的百分為

原有價(jià)值－現(xiàn)有價(jià)值×切割中重量損耗不計(jì))，則價(jià)值損失的百分率的最大值為原有價(jià)值．答案：解析：為V與ω平方成正比，所以設(shè)Vk

，則原有價(jià)值V＝km＋n，現(xiàn)有價(jià)值＝＋＝km＋kn，02V－Vkkm－所以價(jià)值損失的百分率＝＝×，Vkkm－22而＝≤＝，且僅當(dāng)＝n時(shí)等號．k42故價(jià)值損失的百分率的最大值為．已知，b，c為實(shí)數(shù)且滿足b＋≥，則＋的小值為．ca答案：2bcb解析：＋c≥a可得＋≥＋＝＋ca＋c＋bcb＋c令＝，則>0,2＋1>0，c

2222222t22222222c－12222212222＋＋22222222222t22222222c－12222212222＋＋222211－則＋≥＋＝(2＋1)－≥2－，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)取“”．cat＋22t21所以＋的小值為－ca＋3－．已知實(shí)數(shù)>，a＝2，則的最小值________＋2ab－3b＋5答案：解析：因?yàn)閍＋b＝，所以2－a，解得a<2，從而

a＋2－3

2

＝a2aat＝令t＝a1∈則＝＋2－－4＋＋－b－＋6－5＝

－t

≥

＋5＝，且僅當(dāng)t5時(shí)號成立．－54．設(shè)二次函數(shù)()＝＋bx＋c，bc為常數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．對任意x∈R，不等式f)≥′()恒成立，則的大值為．＋答案：22解析：為f′()＝axb，所以fx≥f′(x)即＋(－)x＋c－b≥0恒立，

a>0，4a即－4a，

－a故≤＝＋＋cb4t令t＝－，則≤＝a＋ct＋t＋2

≤＝2，22tc當(dāng)且僅當(dāng)t＝＝－且b＝4－4a時(shí)號成立．．若不等式ksinB＋sinC>19sinBC對任意△ABC都成立，則實(shí)數(shù)k的小值為．答案：100

22222ccb2＋18≤；當(dāng)>1時(shí)，－＋20≤，222－ac19bc－acc22222ccb2＋18≤；當(dāng)>1時(shí)，－＋20≤，222－ac19bc－accaaabb2＋＋19解析法）因?yàn)?/p>

B＋sinAsin>19sinB，所以由正弦定理可得kb

＋ac>19，即k

－ac

bc－ac19bc－－cc因?yàn)椤鳛槿稳切?，所以－，?lt;