矩陣論應(yīng)用-計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的三維表示與參數(shù)化計(jì)算

矩陣論應(yīng)用——計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的三維表示與參數(shù)化計(jì)算摘要：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，三維坐標(biāo)系中參數(shù)化的物體使用4階方陣表示對(duì)應(yīng)規(guī)整物體的頂點(diǎn)。坐標(biāo)系的變化，三維物體的投影，幾何變換，裁剪算法都是通過(guò)對(duì)4階矩陣的變幻和計(jì)算來(lái)得以實(shí)現(xiàn)。在曲線與曲面表面參數(shù)化的過(guò)程中，有時(shí)需要通過(guò)給定參數(shù)化曲線曲面反求控制網(wǎng)格，這個(gè)過(guò)程中大量運(yùn)用到矩陣分析與矩陣分解的方法。本文對(duì)矩陣論在圖形學(xué)的兩個(gè)方面的應(yīng)用方法做簡(jiǎn)單的介紹，并加以總結(jié)。

三維變換 在計(jì)算機(jī)中處理一個(gè)三維空間的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”是困難的，但是可以容易地處理一個(gè)四維齊次空間的解析點(diǎn)，例如可以用向量：（1000） 表示x軸方向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0100） 表示y軸方向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0010） 表示z軸方向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0001） 表示坐標(biāo)原點(diǎn)這4個(gè)向量將構(gòu)成四維齊次空間的單位矩陣；齊次變換矩陣提供一個(gè)三維空間中包括平移、旋轉(zhuǎn)、透視、投影、反射、錯(cuò)切和比例等變換在內(nèi)的統(tǒng)一表達(dá)式，使得物體的變換可在統(tǒng)一的矩陣形式下進(jìn)行。一個(gè)變換是一個(gè)單一的數(shù)學(xué)實(shí)體——矩陣描述和標(biāo)識(shí)。兩個(gè)變換的結(jié)合用矩陣的級(jí)聯(lián)而產(chǎn)生一個(gè)具有兩者功效的單一變換。例如：變換T是平移，而變換R是旋轉(zhuǎn)，則變換的結(jié)合允許決定一個(gè)變換A=TR，其功效是先平移然后旋轉(zhuǎn)變換。如果物體的變換相對(duì)于不同坐標(biāo)系時(shí)，相當(dāng)于對(duì)坐標(biāo)系原點(diǎn)進(jìn)行三維坐標(biāo)變化之后的逆變換。例如：繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換：其中[x,y,z]是p點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)系坐標(biāo)，[x',y',z']是繞AB軸旋轉(zhuǎn)變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)p'的坐標(biāo)。是組合后的變幻矩陣。分析：公式推導(dǎo)：(1)將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到A點(diǎn)(2)將O'BB'繞x'軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，則O'B旋轉(zhuǎn)到x'o'z'平面上(3)將O'B繞y'軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，則O'B旋轉(zhuǎn)到z'軸上。(4)經(jīng)以上三步變換后，AB軸與z'軸重合，此時(shí)繞AB軸的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為繞z軸的旋轉(zhuǎn)。(5)最后，求TtA，TRx，TRy的逆變換，回到AB原來(lái)的位置。類似地，針對(duì)任意方向軸的變換可用五個(gè)步驟來(lái)完成：(1)使任意方向軸的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，此時(shí)進(jìn)行平移變換。(2)使方向軸與某一坐標(biāo)軸重合，此時(shí)需進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次。(3)針對(duì)該坐標(biāo)軸完成變換。(4)用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向。(5)用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。在求逆矩陣的算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，通常不再單獨(dú)求出單獨(dú)逆變換所需矩陣，而是對(duì)整體合并的變化矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算，這樣可以減少時(shí)間復(fù)雜度與空間復(fù)雜程度。對(duì)于簡(jiǎn)單的三維造型，通常使用線框模型進(jìn)行表示：使用坐標(biāo)點(diǎn)的空間拓?fù)浼蟻?lái)擬合造型的邊，這樣整個(gè)形體的變形就可以用每條邊上每一個(gè)點(diǎn)的變換組合來(lái)表示。在算法中表示為大量的矩陣序列進(jìn)行集群計(jì)算，包括乘積，級(jí)數(shù)運(yùn)算，矩陣函數(shù)運(yùn)算，微分和積分等；怎樣改進(jìn)運(yùn)算過(guò)程中的時(shí)間復(fù)雜度，是三維參數(shù)化表示方法的一個(gè)重要的目的。曲面反求曲面造型技術(shù)的發(fā)展離不開(kāi)工業(yè)的發(fā)展．最初，工業(yè)產(chǎn)品的幾何外形是規(guī)則曲面，即由直線和圓錐曲線經(jīng)過(guò)拉伸、旋轉(zhuǎn)等操作得到的二次曲面．規(guī)則曲面的造型用初等解析幾何的方法就可以描述，又稱解析曲面．隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展特別是飛機(jī)、汽車(chē)等行業(yè)的興起，規(guī)則曲面的幾何外形已經(jīng)不能完全滿足產(chǎn)品功能的需要，在這種情況下出現(xiàn)了自由曲面，而這些產(chǎn)品的外形是由自由曲面和規(guī)則曲面共同組成的復(fù)雜曲面．現(xiàn)代對(duì)復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面的表示主要又兩種：模線樣板法：以模擬量傳遞形狀信息；計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)CAGD（ComputerAidedGeometricDesign）：用數(shù)學(xué)方法表示，以數(shù)值量傳遞形狀信息。CAGD中多采用三次樣條的方法表示曲線，來(lái)保證一定的連續(xù)性（G0，G1），用多個(gè)三次樣條曲線的正交空間表示均勻曲面，由此保證曲面的連續(xù)性和光順性（G1）。樣條描述：T為n+1個(gè)冪次形式的基函數(shù)組成的矢量；G是包含樣條形式的幾何約束條件在內(nèi)的矩陣，它包含了控制點(diǎn)的坐標(biāo)值和其他已被指定的幾何約束；MS是基矩陣，它將幾何約束轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式系數(shù)且提供了樣條曲線的特征。CAGD中，當(dāng)需要表示復(fù)雜曲面及由直線、圓錐曲線和自由曲線共同組成的復(fù)合曲線時(shí)，就必須用非均勻有理B樣條方法即NURBS方法．而復(fù)雜曲面使用非均勻有理B樣條（NURBS）曲面進(jìn)行表面參數(shù)化： 傳統(tǒng)的正向設(shè)計(jì)都是根據(jù)功能和用途來(lái)設(shè)計(jì)產(chǎn)品，得到圖紙或CAGD模型．然而在很多情況下產(chǎn)品的初始信息不是CAGD模型，而是缺乏相關(guān)技術(shù)資料的實(shí)物模型．如果在這種情況下對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行批量復(fù)制，就必須用到反求工程．反求工程與正向工程不同。它是以先進(jìn)產(chǎn)品、設(shè)備的實(shí)物、軟件或影像為研究對(duì)象，反求出其初始設(shè)計(jì)意圖的技術(shù)過(guò)程、廣義的反求包括形狀(幾何)反求、工藝反求和材料反求等諸多方面，是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程．目前，實(shí)物反求的主要方面是形狀(幾何)反求，反求的對(duì)象通常是自由曲面或含有自由曲面的復(fù)雜曲面．由于自由曲面沒(méi)有固定的尺寸和形狀，所以對(duì)實(shí)物表面進(jìn)行數(shù)字化測(cè)量是反求工程的首要工作；得到實(shí)物的離散數(shù)據(jù)后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，運(yùn)用各種曲面造型技術(shù)將離散數(shù)據(jù)生成曲面模型；再在生成的曲面的基礎(chǔ)上，重構(gòu)實(shí)體模型，最后將其應(yīng)用于各種CAD／CAM環(huán)境之中。由于曲面生成算法實(shí)質(zhì)上是通過(guò)齊次坐標(biāo)變化矩陣在分段定義的函數(shù)上疊加的和，用各個(gè)坐標(biāo)分量的和來(lái)逼近曲面上的點(diǎn)。所以反求方法中，實(shí)質(zhì)上是對(duì)已經(jīng)參數(shù)化的表面3維點(diǎn)集進(jìn)行組合，通過(guò)逆推生成方程的方法進(jìn)行矩陣分解（QR分解，滿秩分解）。最終得出控制網(wǎng)格的方程。針對(duì)不同的樣條曲線，有不同的逆推方程，并且由于變幻矩陣的分解不唯一，實(shí)際上控制網(wǎng)格的解也不唯一。在求解過(guò)程中，選定合適的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（再次擬合和表面對(duì)準(zhǔn)，凸包性能，控制網(wǎng)格密度）等是對(duì)反求得控制網(wǎng)格方程表示進(jìn)行評(píng)價(jià)的重要準(zhǔn)則。

總結(jié)本文所述的圖形學(xué)兩個(gè)方面中，均有矩陣論的實(shí)例應(yīng)用：在三維變化過(guò)程中，主要進(jìn)行齊次坐標(biāo)矩陣的運(yùn)算，運(yùn)用到第三章矩陣分析的大部分內(nèi)容：包括矩陣序列，矩陣級(jí)數(shù)，函數(shù)運(yùn)算，微分和積分等；在曲面反求問(wèn)題中，通過(guò)對(duì)變換矩陣函數(shù)的分解問(wèn)題，是曲面反求的關(guān)鍵問(wèn)題，其中運(yùn)用的到第四章矩陣分解的大部分內(nèi)容；如QR分解，滿秩分解等。對(duì)應(yīng)矩陣論知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)于加深兩方面知識(shí)的理解與實(shí)際問(wèn)題的解決都有重要的意義。

社會(huì)實(shí)踐報(bào)告系別：班級(jí)：學(xué)號(hào)：姓名：作為祖國(guó)未來(lái)的事業(yè)的繼承人，我們這些大學(xué)生應(yīng)該及早樹(shù)立自己的歷史責(zé)任感，提高自己的社會(huì)適應(yīng)能力。假期的社會(huì)實(shí)踐就是很好的鍛煉自己的機(jī)會(huì)。當(dāng)下，掙錢(qián)早已不是打工的唯一目的，更多的人將其視為參加社會(huì)實(shí)踐、提高自身能力的機(jī)會(huì)。許多學(xué)校也積極鼓勵(lì)大學(xué)生多接觸社會(huì)、了解社會(huì)，一方面可以把學(xué)到的理論知識(shí)應(yīng)用到實(shí)踐中去，提高各方面的能力；另一方面可以積累工作經(jīng)驗(yàn)對(duì)日后的就業(yè)大有裨益。進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，最理想的就是找到與本專業(yè)對(duì)口單位進(jìn)行實(shí)習(xí)，從而提高自己的實(shí)戰(zhàn)水平，同時(shí)可以將課本知識(shí)在實(shí)踐中得到運(yùn)用，從而更好的指導(dǎo)自己今后的學(xué)習(xí)。但是作為一名尚未畢業(yè)的大學(xué)生，由于本身具備的專業(yè)知識(shí)還十分的有限，所以我選擇了打散工作為第一次社會(huì)實(shí)踐的方式。目的在于熟悉社會(huì)。就職業(yè)本身而言，并無(wú)高低貴賤之分，存在即為合理。通過(guò)短短幾天的打工經(jīng)歷可以讓長(zhǎng)期處于校園的我們對(duì)社會(huì)有一種更直觀的認(rèn)識(shí)。實(shí)踐過(guò)程：自從走進(jìn)了大學(xué)，就業(yè)問(wèn)題就似乎總是圍繞在我們的身邊，成了說(shuō)不完的話題。在現(xiàn)今社會(huì)，招聘會(huì)上的大字報(bào)都總寫(xiě)著“有經(jīng)驗(yàn)者優(yōu)先”，可還在校園里面的我們這班學(xué)子社會(huì)經(jīng)驗(yàn)又會(huì)擁有多少呢？為了拓展自身的知識(shí)面，擴(kuò)大與社會(huì)的接觸面，增加個(gè)人在社會(huì)競(jìng)爭(zhēng)中的經(jīng)驗(yàn)，鍛煉和提高自己的能力，以便在以后畢業(yè)后能真正真正走入社會(huì)，能夠適應(yīng)國(guó)內(nèi)外的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)的變化，并且能夠在生活和工作中很好地處理各方面的問(wèn)題，我開(kāi)始了我這個(gè)假期的社會(huì)實(shí)踐-走進(jìn)天源休閑餐廳。實(shí)踐，就是把我們?cè)趯W(xué)校所學(xué)的理論知識(shí)，運(yùn)用到客觀實(shí)際中去，使自己所學(xué)的理論知識(shí)有用武之地。只學(xué)不實(shí)踐，那么所學(xué)的就等于零。理論應(yīng)該與實(shí)踐相結(jié)合。另一方面，實(shí)踐可為以后找工作打基礎(chǔ)。通過(guò)這段時(shí)間的實(shí)習(xí)，學(xué)到一些在學(xué)校里學(xué)不到的東西。因?yàn)榄h(huán)境的不同，接觸的人與事不同，從中所學(xué)的東西自然就不一樣了。要學(xué)會(huì)從實(shí)踐中學(xué)習(xí)，從學(xué)習(xí)中實(shí)踐。而且在中國(guó)的經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展，又加入了世貿(mào)，國(guó)內(nèi)外經(jīng)濟(jì)日趨變化，每天都不斷有新的東西涌現(xiàn)，在擁有了越來(lái)越多的機(jī)會(huì)的同時(shí)，也有了更多的挑戰(zhàn)，前天才剛學(xué)到的知識(shí)可能在今天就已經(jīng)被淘汰掉了，中國(guó)的經(jīng)濟(jì)越和外面接軌，對(duì)于人才的要求就會(huì)越來(lái)越高，我們不只要學(xué)好學(xué)校里所學(xué)到的知識(shí)，還要不斷從生活中，實(shí)踐中學(xué)其他知識(shí)，不斷地從各方面武裝自已，才能在競(jìng)爭(zhēng)中突出自已，表現(xiàn)自已。在餐廳里,別人一眼就能把我人出是一名正在讀書(shū)的學(xué)生,我問(wèn)他們?yōu)槭裁?他們總說(shuō)從我的臉上就能看出來(lái),也許沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)社會(huì)的人都有我這種不知名遭遇吧!我并沒(méi)有因?yàn)槲以谒麄兠媲皼](méi)有經(jīng)驗(yàn)而退后,我相信我也能做的像他們一樣好.我的工作是在那做傳菜生,每天9點(diǎn)鐘-下午2點(diǎn)再?gòu)南挛绲?點(diǎn)-晚上8:30分上班,雖然時(shí)間長(zhǎng)了點(diǎn)但,熱情而年輕的我并沒(méi)有絲毫的感到過(guò)累,我覺(jué)得這是一種激勵(lì),明白了人生,感悟了生活,接觸了社會(huì),了解了未來(lái).在餐廳里雖然我是以傳菜為主,但我不時(shí)還要做一些工作以外的事情，有時(shí)要做一些清潔的工作，在學(xué)校里也許有老師分配說(shuō)今天做些什么，明天做些什么，但在這里，不一定有人會(huì)告訴你這些，你必須自覺(jué)地去做，而且要盡自已的努力做到最好，一件工作的效率就會(huì)得到別人不同的評(píng)價(jià)。在學(xué)校，只有學(xué)習(xí)的氛圍，畢竟學(xué)校是學(xué)習(xí)的場(chǎng)所，每一個(gè)學(xué)生都在為取得更高的成績(jī)而努力。而這里是工作的場(chǎng)所，每個(gè)人都會(huì)為了獲得更多的報(bào)酬而努力，無(wú)論是學(xué)習(xí)還是工作，都存在著競(jìng)爭(zhēng)，在競(jìng)爭(zhēng)中就要不斷學(xué)習(xí)別人先進(jìn)的地方，也要不斷學(xué)習(xí)別人怎樣做人，以提高自已的能力！記得老師曾經(jīng)說(shuō)過(guò)大學(xué)是一個(gè)小社會(huì)，但我總覺(jué)得校園里總少不了那份純真，那份真誠(chéng)，盡管是大學(xué)高校，學(xué)生還終歸保持著學(xué)生的身份。而走進(jìn)企業(yè)，接觸各種各樣的客戶、同事、上司等等，關(guān)系復(fù)雜，但我得去面對(duì)我從未面對(duì)過(guò)的一切。記得在我校舉行的招聘會(huì)上所反映出來(lái)的其中一個(gè)問(wèn)題是，學(xué)生的實(shí)際操作能力與在校理論學(xué)習(xí)有一定的差距。在這次實(shí)踐中，這一點(diǎn)我感受很深。在學(xué)校，理論的學(xué)習(xí)很多，而且是多方面的，幾乎是面面俱到；而在實(shí)際工作中，可能會(huì)遇到書(shū)本上沒(méi)學(xué)到的，又可能是書(shū)本上的知識(shí)一點(diǎn)都用不上的情況。或許工作中運(yùn)用到的只是很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，只要套公式似的就能完成一項(xiàng)任務(wù)。有時(shí)候我會(huì)埋怨，實(shí)際操作這么簡(jiǎn)單，但為什么書(shū)本上的知識(shí)讓人學(xué)得這么吃力呢？這是社會(huì)與學(xué)校脫軌了嗎？也許老師是正確的，雖然大學(xué)生生活不像踏入社會(huì)，但是總算是社會(huì)的一個(gè)部分，這是不可否認(rèn)的事實(shí)。但是有時(shí)也要感謝老師孜孜不倦地教導(dǎo)，有些問(wèn)題有了有課堂上地認(rèn)真消化，有平時(shí)作業(yè)作補(bǔ)充，我比一部人具有更高的起點(diǎn)，有了更多的知識(shí)層面去應(yīng)付各種工作上的問(wèn)題，作為一名大學(xué)生，應(yīng)該懂得與社會(huì)上各方面的人交往，處理社會(huì)上所發(fā)生的各方面的事情，這就意味著大學(xué)生要注意到社會(huì)實(shí)踐，社會(huì)實(shí)踐必不可少。畢竟，很快我就不再是一名大學(xué)生，而是社會(huì)中的一分子，要與社會(huì)交流，為社會(huì)做貢獻(xiàn)。只懂得紙上談兵是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及的，以后的人生旅途是漫長(zhǎng)的，為了鍛煉自己成為一名合格的、對(duì)社會(huì)有用的人才.很多在學(xué)校讀書(shū)的人都說(shuō)寧愿出去工作，不愿在校讀書(shū)；而已在社會(huì)的人都寧愿回校讀書(shū)。我們上學(xué)，學(xué)習(xí)先進(jìn)的科學(xué)知識(shí)，為的都是將來(lái)走進(jìn)社會(huì)，獻(xiàn)出自己的一份力量，我們應(yīng)該在今天努力掌握專業(yè)知識(shí)，明天才能更好地為社會(huì)服務(wù)。實(shí)踐心得：雖然這次的實(shí)踐只有短短的幾天，而且從事的是比較簡(jiǎn)單的服務(wù)工作，但是通過(guò)與各種各樣的人接觸，還是讓我學(xué)會(huì)了很多道理。首先是明白了守時(shí)的重要性。工作和上學(xué)是兩種完全不同的概念，上學(xué)是不遲到很多時(shí)候是因?yàn)閼峙吕蠋煹呢?zé)怪，而當(dāng)你走上了工作崗位，這里更多的是由于自己內(nèi)心的一種責(zé)任。這種責(zé)任是我學(xué)會(huì)客服自己的惰性，準(zhǔn)時(shí)走上自己的崗位。這對(duì)我以后的學(xué)習(xí)生活也是一種鞭策，時(shí)刻牢記自己的責(zé)任，并努力加強(qiáng)自己的時(shí)間觀念。其次讓我真實(shí)的體會(huì)到了合作的重要性。雖然我工作的只是小小的一家餐廳，但是從點(diǎn)單到制作到遞送到結(jié)帳這一環(huán)環(huán)的工作都是有分工的，只有這樣才能使整家店的工作效率都大大的提高。以前雖然在書(shū)上看見(jiàn)過(guò)很多的團(tuán)隊(duì)合作的例子，但這一次是深刻的體會(huì)到了，正所謂“眾人拾柴火焰高”，“團(tuán)結(jié)就是力量”。在以后的學(xué)習(xí)和工作中，一定會(huì)要牢記這一點(diǎn)，將自己融入到集體中，和大家一起攜手走向輝煌。再次，這次打工的經(jīng)歷也讓我的心理更加趨于成熟。在餐廳里每天面對(duì)形形色色的客人，重復(fù)著單調(diào)的工作。讓從未涉世的我還是有那么一點(diǎn)點(diǎn)不適應(yīng)的，但是堅(jiān)持就是勝利。打工畢竟和在家是完全不同的概念，我們學(xué)會(huì)需要忍耐，需要學(xué)會(huì)承受，需要學(xué)會(huì)堅(jiān)持。將自己這短短的一月的實(shí)踐同理論相聯(lián)系，我了解到當(dāng)代大學(xué)生與以往的大學(xué)生相比較，求學(xué)經(jīng)歷、生活條件、所處社會(huì)大環(huán)境都相對(duì)優(yōu)越，也沒(méi)有經(jīng)過(guò)必要的挫折教育，因此，意志往往比較脆弱，克服困難的能力也較差，常常是對(duì)社會(huì)的要求較高，對(duì)自我的要