物理光學(xué)18第十八次課、光衍射基本理論市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第十八次課

光衍射基本理論

引言-光衍射

內(nèi)容-光衍射基本理論*衍射三要素及衍射問題*惠更斯—菲涅耳原理*菲涅耳—基爾霍夫衍射公式*菲涅耳—基爾霍夫衍射公式近似

1第1頁第1頁SΣΠP1P2P3P4(a)17世紀(jì)以前，人們認(rèn)為光是直線傳播

引言光衍射衍射現(xiàn)象圖17世紀(jì)中葉，意大利格里馬第發(fā)覺光傳播偏離直線現(xiàn)象。

SΣP3P4P1P2Π(b)索末菲(A.Sommerfeld)定義：所謂衍射就是“不能用反射或折射來解釋光線對直線光路任何偏離”。

惠更斯-菲涅耳

2第2頁第2頁衍射現(xiàn)象中有三項(xiàng)基本要素。

(1)、由光源S發(fā)射光波。其性質(zhì)能夠用光波波長構(gòu)成、波面形狀、復(fù)振幅分布等參量定量描述；

(2)、衍射物Σ。假如它是二維“屏”狀，其性質(zhì)能夠由屏(復(fù))振幅透射系數(shù)分布描述，不妨稱其為衍射屏；

(3)、觀測屏Π上“衍射圖形”。通慣用光(電)場復(fù)振幅分布或輻照度分布描述。衍射問題原則上是要建立這三項(xiàng)要素之間定量關(guān)系，使得其中任兩項(xiàng)已知時(shí)，能夠求出第三項(xiàng)要素。

衍射要素及衍射問題3第3頁第3頁SLΠ圖1由衍射求像點(diǎn)輻照度分布圖2光柵光譜儀：由衍射求光波性質(zhì)SΠGSCΣΠ圖3晶體衍射：由衍射求衍射屏性質(zhì)4第4頁第4頁1、惠更斯假設(shè)2、惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯—菲涅耳原理1、惠更斯假設(shè)“波前”概念：光源在某一時(shí)刻發(fā)出光波所形成波面(等相面)。1690年，惠更斯在其著作《論光》中提出假設(shè)：“波前上每一個(gè)面元都能夠看作是一個(gè)次級(jí)擾動(dòng)中心，它們能產(chǎn)生球面子波”，并且，“后一時(shí)刻波前位置是所有這些子波波前包絡(luò)面”。其中，“次級(jí)擾動(dòng)中心”能夠當(dāng)作是一個(gè)點(diǎn)光源，又稱作“子波源”。5第5頁第5頁對于少數(shù)形狀簡樸波面來說，由此假設(shè)能夠求出新波面位置，這種辦法稱為惠更斯作圖法。圖4惠更斯作圖求球面波傳播D'C'B'ECSΩ'E'A'ABDΩAA'=BB'=CC'=DD'=EE'=子波波面包絡(luò)面Ω'仍是球面，只是半徑比Ω大

不難看出，當(dāng)Ω是平面時(shí)，Ω'也是平面。此時(shí)只要在Ω上任意取三個(gè)子波源便可擬定新波面Ω'位置。

6第6頁第6頁利用惠更斯假設(shè)能夠定性地理解小孔衍射圖5利用惠更斯假設(shè)理解小孔衍射ΩiΣ利用惠更斯原理無法闡明在觀測屏上出現(xiàn)亮暗相間衍射條紋原因；也不能定量地?cái)M定觀測屏上輻照度分布規(guī)律；更主線涉及不到光波波長對衍射傳播影響。由于試驗(yàn)表明，衍射圖形大小和分布是與波長有密切關(guān)系。

7第7頁第7頁2、惠更斯-菲涅耳原理

“波前上任何一個(gè)未受阻擋點(diǎn)都能夠看作是一個(gè)頻率(或波長)與入射波相同子波源；在其后任何一地點(diǎn)光振動(dòng)，就是所有這些子波疊加結(jié)果”?？梢?，惠更斯-菲涅耳原理事實(shí)上認(rèn)為惠更斯子波是頻率(波長)相同相干光波，這些子波傳播服從光干涉疊加原理。依據(jù)惠更斯-菲涅耳原理，我們能夠建立一個(gè)定量計(jì)算衍射問題公式，來描述單色光波在傳播途中任意兩個(gè)面，比如衍射光欄面Σ和觀測面Π上光場分布之間關(guān)系。我們從平面波開始一步步引出這個(gè)關(guān)系。為以便計(jì)，不考慮電場振動(dòng)方向，認(rèn)為在衍射過程光波是標(biāo)量波。——標(biāo)量波衍射理論

8第8頁第8頁ξηθMrΣ'ΣΠP圖6平面波正入射平面波正入射設(shè)入射波在Σ面處復(fù)振幅為A，為復(fù)常量。M處面元為

在P點(diǎn)產(chǎn)生振動(dòng)為：

是一個(gè)復(fù)百分比系數(shù)，表征入射波振幅與子波源源強(qiáng)度之間關(guān)系。

稱為“方向因子”，用來表明子波在各個(gè)方向上有不同強(qiáng)弱。菲涅耳曾假定：D值在0~1之間；為避免出現(xiàn)倒退波，并假定D(0)=1和

是入射波空間圓頻率。ω是入射波圓頻率。r是M至P距離。

在單色波入射情形下，各個(gè)子波在任意地點(diǎn)隨時(shí)間改變規(guī)律是相同，因此能夠只考慮M對P復(fù)振幅奉獻(xiàn)即可。P點(diǎn)合成復(fù)振幅為：

(1)

式中積分域Σ上開口區(qū)域。

9第9頁第9頁ξηθΩΩ'SΣΣ'M'r'PΠr0球面波入射S為單色點(diǎn)光源，源強(qiáng)度為A'。取子波源所在波前為與θ點(diǎn)相交球面Ω，令Sθ=r0。則Ω上入射波復(fù)振幅為：

于是P點(diǎn)復(fù)振幅為：

(2)是光欄開口允許通過波面部分。問題：K和詳細(xì)形式是什么？10第10頁第10頁菲涅耳—基爾霍夫衍射公式1882年，基爾霍夫利用亥姆霍茲方程進(jìn)行分析，其工作結(jié)果認(rèn)為：空間任意一點(diǎn)電磁場，能夠用包圍該點(diǎn)任意封閉曲面上電磁場及其導(dǎo)數(shù)求出，其形式下列：(3)

E(P)是P點(diǎn)電場；公式(3)表明規(guī)律稱為“亥姆霍茨-基爾霍夫定理”。亥姆霍茨-基爾霍夫公式中相關(guān)幾何量SPr'nk是簡諧波傳播數(shù)。S是包圍P點(diǎn)封閉曲面。11第11頁第11頁(3)

亥姆霍茨-基爾霍夫公式中相關(guān)幾何量SPr'n是基爾霍夫選取格林函數(shù)：曲面S內(nèi)任意一點(diǎn)P處電場E(P)則由S上所有面元發(fā)出子波干涉疊加來擬定。nPRr'QS0單色點(diǎn)光源S0照射無限大不透明有開孔屏上。12第12頁第12頁nPRr'QS0(3)

(4)

為了擬定三個(gè)面上E和?E/?n，基爾霍夫作了下列假設(shè)：(1)、在Σ面上開口處，E、?E/?n都完全取決于入射波性質(zhì)，不受衍射光欄影響；(2)、在Σ面上擋光部分，E、?E/?n均等于零?！鶢柣舴蜻吔鐥l件索末菲輻射條件：13第13頁第13頁nPRrQS0——基爾霍夫衍射積分公式點(diǎn)光源S0發(fā)射光波在開孔處復(fù)振幅分布。格林函數(shù)，表示Q處面元發(fā)射子波對P點(diǎn)奉獻(xiàn)。復(fù)常數(shù)K：方向因子：14第14頁第14頁基爾霍夫衍射積分公式：能夠被化簡和推廣傍軸近似：在實(shí)際衍射問題中，衍射孔徑線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于衍射孔徑平面到觀測屏距離；光源和考察面有效面積對衍射孔徑張角很小。對于實(shí)際衍射裝置：照明光源是各不相同，有是點(diǎn)光源、有是線光源，而有則是很復(fù)雜光源，因而光波是復(fù)雜，最簡樸是平面波和球面波。衍射物體也是不同，有是透明，有是反射，因而對光波調(diào)制特性，有振幅調(diào)制型，有位相調(diào)制型。15第15頁第15頁把任意形狀入射波在Σ平面上表示式簡化成

。把任意性質(zhì)衍射物體復(fù)振幅透射(對于反射物體，為反射)系數(shù)寫成：衍射問題模型θMrΣ'ΣΠP(x，y)(x，y)d于是透過衍射物體(或被衍射物體反射)光波復(fù)振幅為：依據(jù)實(shí)際情況可知，透射(反射)系數(shù)只在有限空間范圍是有限，則有：16第16頁第16頁衍射問題模型θMrΣ'ΣΠP(x，y)(x，y)d能夠看出：子波源取自Σ平面，各子波源源強(qiáng)度為KA(ξ，η)dσ，其中幅角部分表示子波源初位相。也能夠看出：觀測點(diǎn)P處一個(gè)光場振動(dòng)是由衍射面上衍射孔徑附近一個(gè)向P點(diǎn)會(huì)聚球面波S所奉獻(xiàn)。因此只要找出在離開衍射孔徑“復(fù)雜”簡諧波A(ξ，η)中所含球面波S成份，便可求得E(P)。換言之，衍射問題被轉(zhuǎn)化成將A(ξ，η)分解成許多球面波問題。只要觀測點(diǎn)P不非?？拷苌淦力?，并且方向因子基本為常數(shù)，則由它計(jì)算得到衍射圖形總能較好地與試驗(yàn)相符合。17第17頁第17頁(一)、菲涅耳近似、菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)近似、夫瑯和費(fèi)衍射

(二)、傅立葉變換存在

內(nèi)容菲涅耳—基爾霍夫衍射公式近似18第18頁第18頁(一)、菲涅耳近似、菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)近似、夫瑯和費(fèi)衍射rMξxP0ηΣzyPΣ'dΠ衍射問題中直角坐標(biāo)系統(tǒng)P(x、y、d)普通情況，觀測點(diǎn)到衍射光欄距離總是遠(yuǎn)不小于光欄開口Σ大小以及觀測范圍大小，這樣：可直接用d代替。由此引入相對誤差是：

19第19頁第19頁被積函數(shù)指數(shù)上r卻不能直靠近似成d。由于kr表示波位相，當(dāng)用d代替r時(shí)，引入絕對位相誤差為：盡管：但是：考慮到復(fù)指數(shù)函數(shù)是周期為2函數(shù)，這種誤差顯然不能接受。這里我們?nèi)藶榈匾晕幌嗾`差為2四分之一，即/2作為能夠接受最大誤差。20第20頁第20頁展開式右端各項(xiàng)數(shù)量級(jí)是依次遞減。當(dāng)以展開式前兩項(xiàng)代替位相中r時(shí)，這種近似稱為“菲涅耳近似”。由此引入位相誤差為：

我們?nèi)藶樯潭ㄒ宰鳛槟軌蚪邮茏畲笳`差，則菲涅耳近似成立條件是：即：

21第21頁第21頁在菲涅耳近似下，基爾霍夫公式變?yōu)椋骸Q為菲涅耳衍射積分公式?！耸奖硎緱l件稱為衍射菲涅耳近似?！獫M足菲涅耳近似條件衍射稱為菲涅耳衍射?！颇瞥闪^(qū)域稱為菲涅耳衍射區(qū)。ΣrMξxP0ηzyPΣ'dΠ在Π上觀測到就是菲涅耳衍射條紋。輻照度L(x,y)為：衍射區(qū)范圍預(yù)計(jì)：假如光波波長λ=0.6μm，[(x-ξ)2+(y-η)2]最大值為6mm2，則可算出觀測面Π與衍射面Σ之間最近距離為：dmin≈31mm22第22頁第22頁進(jìn)一步略去右端最后一項(xiàng)，變成：r菲涅耳近似展開式為：——這個(gè)近似稱作“夫瑯和費(fèi)近似”。該近似引入位相誤差為：

因此，該近似成立條件為：

即：

對于波長為600nm光波，假如衍射光欄開口最大值是2mm2，則由上式可算得在夫瑯和費(fèi)近似下觀測面Π與衍射面Σ之間最近距離為：dmin≈6,700mm=6.7m

23第23頁第23頁在夫瑯和費(fèi)近似下，基爾霍夫公式變?yōu)椋?/p>

同“菲涅耳衍射”同樣，假如滿足夫瑯和費(fèi)近似條件，將出現(xiàn)“夫瑯和費(fèi)衍射”現(xiàn)象，觀測到“夫瑯和費(fèi)衍射圖形”，相應(yīng)觀測區(qū)域?yàn)椤胺颥樅唾M(fèi)衍射區(qū)”。

我們希望將積分域從形式上擴(kuò)展到整個(gè)衍射屏平面。因此衍射積分公式中積分域能夠?qū)懗墒钦麄€(gè)Σ平面。由于：相應(yīng)地，對夫瑯和費(fèi)衍射有“夫瑯和費(fèi)衍射公式”：為以便計(jì)，以后普通不再標(biāo)明積分限±∞。于是有“菲涅耳衍射公式”：

24第24頁第24頁“菲涅耳衍射公式”：

“夫瑯和費(fèi)衍射公式”：

都包括著一個(gè)線性復(fù)指數(shù)因子：

(二)、傅立葉變換存在令：則有：

不難看出，它代表一個(gè)空間頻率為(fξ，fη)三維簡諧平面波，而在傅立葉分析中，它正是二維傅立葉變換核。這樣，衍射問題便與數(shù)學(xué)上二維傅立葉變換聯(lián)系起來了。25第25頁第25頁令：

再令：

——“菲涅耳衍射公式”傅立葉變換形式。

復(fù)令：

——“夫瑯和費(fèi)衍射公式”傅立葉變換形式。

26第26頁第26頁可見衍射問題能夠采用傅立葉變換辦法來處理。這樣不但能夠直接借助傅立葉變換性質(zhì)和相關(guān)定理，簡化計(jì)算過程；并且能夠用傅立葉分析觀點(diǎn)來解釋衍射圖形形成，加深對衍射本質(zhì)