數(shù)學八年級上冊13.3.2 等邊三角形（第1課時）

1/15第十三章軸對稱13.3等腰三角形13.3.2等邊三角形第1課時一、教學目標【知識與技能】1.探索等邊三角形的性質和判定;2.能運用等邊三角形的性質和判定進行計算和證明.【過程與方法】經歷用數(shù)學思想和方法研究數(shù)學問題.【情感、態(tài)度與價值觀】積極參與數(shù)學學習活動,增強對數(shù)學的好奇心和求知欲.二、課型新授課三、課時第1課時，共2課時。四、教學重難點【教學重點】 等邊三角形的概念、性質和判定.【教學難點】 等邊三角形判定定理的探究與證明,并靈活的運用等邊三角形的性質與判定方法解決相關問題.五、課前準備 教師：課件、三角尺、直尺、圓規(guī)等。學生：三角尺、直尺、圓規(guī)。六、教學過程（一）導入新課我們知道底邊和腰相等的等腰三角形是等邊三角形,那么等邊三角形除了具有等腰三角形的性質外,還有哪些特殊的性質呢?（出示課件2）（二）探索新知1.創(chuàng)設情境，探究等邊三角形的性質教師問1：小明想制作一個三角形的相框，他有四根木條，長度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設計出幾種形狀的三角形？（出示課件4）學生討論后回答：如下圖：教師問2：在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.等邊三角形有哪些性質呢？（出示課件5）學生回答：等邊三角形的三條邊都相等.教師問3：等腰三角形有哪些性質？學生討論后回答：教師整理如下圖：（出示課件6）教師問4：等邊三角形的三個內角之間有什么關系？（出示課件7）學生回答：猜想等邊三角形的三個內角都相等，每一個內角等于60°.教師問5：如何證明猜想的正確性呢？學生小組內討論，然后回答，教師訂正后得到：（出示課件8）等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°.已知：AB=AC=BC，求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等邊對等角)同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.教師問6：等邊三角形有“三線合一”的性質嗎?等邊三角形有幾條對稱軸？（出示課件9）學生動手作圖后回答：等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線都“三線合一”，等邊三角形有3條對稱軸.總結點撥：如下表：（出示課件10）名稱圖形邊角重要線段對稱性等腰三角形兩腰相等兩個底角相等頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合軸對稱圖形等邊三角形三條邊相等三個角相等，且都為60°每條邊上的中線、高和它所對角的平分線都互相重合軸對稱圖形，有三條對稱軸例1：如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．（出示課件11）師生共同解答如下：解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°–40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.總結點撥：（出示課件12）解決與等邊三角形有關的計算問題，關鍵是注意“每個內角都是60°”這一隱含條件，一般需結合“等邊對等角”、三角形的內角和與外角的性質解答.例2：△ABC為等邊三角形，點M是BC邊上任意一點，點N是CA邊上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點，∠BQM等于多少度？（出示課件14）師生共同解答如下：解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.總結點撥：此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般先利用等邊三角形的性質判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質，求角度或證明邊相等.2.探究等邊三角形的判定方法教師問7：一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？學生回答：三條邊相等的三角形是等邊三角形.教師問8：三個角都相等的三角形是等邊三角形嗎？學生回答：學生猜想是等邊三角形.教師問9：如何證明猜想的正確性呢？學生討論后回答：在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求證：△ABC是等邊三角形.師生共同解答如下：證明：∵∠A=∠B，∴BC=AC,同理可得：BC=AB,AB=AC,∴AB=AC=BC,∴△ABC是等邊三角形.教師問10：你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結論嗎？學生討論后回答：需要分情況證明.教師問11：分哪些情況呢？學生回答：等腰三角形的頂角是60°或等腰三角形的一個底角是60°.教師問12：當?shù)妊切蔚捻斀鞘?0°時，如何證明呢？學生回答：因為三角形的內角和是180°，當頂角是60°時，等腰三角形的兩個底角相等，所以每個底角是60°，也就是三個角都是60°，所以是等邊三角形.教師問13：當?shù)妊切蔚囊粋€底角是60°時，如何證明呢？學生回答：因為等腰三角形的兩個底角相等，所以另一個底角也是60°，因為三角形的內角和是180°，所以頂角為180°-60°-60°=60°，所以每角都是60°，所以是等邊三角形.教師問14：從同學們自主探索和討論的結果可以發(fā)現(xiàn)：在等腰三角形中，不論底角是60°，還是頂角是60°，那么這個等腰三角形都是等邊三角形.你能用更簡潔的語言描述這個結論嗎？學生回答：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.總結點撥：（出示課件17）圖形等腰三角形等邊三角形判

定從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定方法：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.例3：如圖，在等邊三角形ABC中，DE∥BC，求證：△ADE是等邊三角形.（出示課件19）師生共同解答如下;證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.例4：等邊△ABC中，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結論．（出示課件23）師生共同解答如下：解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．總結點撥：判定一個三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個內角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個內角等于60°.（三）課堂練習（出示課件27-33）1.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（）A．105°B．120°C．135°D．150°2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點O，DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有（）A.4個B.5個C.6個D.7個3.在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數(shù)是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為18cm,EC=2cm,則△ADE的周長是______________cm.

5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．求證：△AEF≌△BEC．6如圖，A,O,D三點共線，△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.

7.圖①、圖②中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．

(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；

(2)如圖②，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論．

參考答案：1.B2.D3.B4.125.證明：∵△ABD是等邊三角形，

∴∠DAB=60°，

∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，

∴∠EBC=180°–90°–30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．

∵E為AB的中點，∴AE=BE．

又∵∠AEF＝∠BEC，

∴△AEF≌△BEC（ASA）．

6.解：∵△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形.∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.

∵A,O,D三點共線，

∴∠DOB=∠COA=120°.

∴△COA≌△DOB(SAS).

∴∠DBO=∠CAO.

設OB與EA相交于點F,

∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.

7.解：(1)AN＝BM.

∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，

∴AC＝MC，CN＝CB，

∠ACM＝∠BCN＝60°.

∴∠ACN＝∠MCB.

∴△ACN≌△MCB(SAS)．

∴AN＝BM.

(2)△CEF是等邊三角形．

證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，

∴∠ECF=60°.

∵△ACN≌△MCB，

∴∠CAE＝∠CMB.

∵AC＝MC，

∴△ACE≌△MCF(ASA)，

∴CE＝CF.

∴△CEF是等邊三角形．

（四）課堂小結今天我們學了哪些內容:1.等邊三角形的三個角都相等，且每個角都是60°.2.三個角都相等的三角形是等邊角形.3.有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形.（五）課前預習預習下節(jié)課（13.3.2）81頁到82頁的相關內容。知道含30°角的直角三角形的性質.七、課后作業(yè)1、教材80頁練習1,22、如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,AD=BD,E為DC中點.(1)求∠CBD的度數(shù).(2)△BDE是等邊三角形嗎?為什么?八、板書設計：九、教學反思