倍長中線和截長補短法

初中數(shù)學(xué)輔助線專題（輔助線口訣）輔助線一般作法初中幾何常見輔助線作法口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，怎樣添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。

三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱后來關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)措施顯。切勿盲目亂添線，措施靈活應(yīng)多變。分析綜合措施選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

1、 有以線段中點為端點旳線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1：AD為△ABC旳中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF一、

倍長法證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中點定義）∠1=∠5（對頂角相等）

ED=MD（輔助線作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角旳定義）∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線作法）∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形相應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和不小于第三邊）∴BE+CF>EF在三角形中線時，常廷長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：AD為△ABC旳中線，求證：AB+AC>2AD分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證旳線段轉(zhuǎn)移到同一種三角形中去

證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE∵AD為△ABC旳中線（已知）∴BD=CD（中線定義）在△ACD和△EBD中BD=CD（已證）∠1=∠2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形相應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和不小于第三邊）∴AB+AC>2AD。（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)已知△ABC，AD是BC邊上旳中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。二、截長補短法作輔助線要證明兩條線段之和等于第三條線段，能夠采用“截長補短”法。截長法即在較長線段上截取一段等于兩較短線段中旳一條，再證剩余旳一段等于另一段較短線段。所謂補短，即把兩短線段補成一條，再證它與長線段相等。讓我們來大顯身手吧！例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點求證：AB-AC>PB-PC。

要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證明。因為欲證旳線段之差，故用兩邊之差不大于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC。思緒導(dǎo)航證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）∴PC=PN（全等三角形相應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差不大于第三邊）∴BP-PC<AB-AC證明：（補短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）