空間幾何體提升20題

專練01空間幾何體專練提升20題

一、單選題

1.（2021?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出

的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

A.36B.24C.12D.6

2.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，AB=2y[5,E,F分別為AB,BC

的中點(diǎn)，AF與。E交于點(diǎn)O,則以直線AF為軸將AAOE旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體

積為（）

A.-B.--C.萬D.27r

33

3.（2020.北京.模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)正棱柱的正（主）視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱柱

的側(cè)（左）視圖的面積為（）

俯視圖

A.8石B.16C.8&D.8

4.（2021?四川?成都七中一模（理））如圖所示的幾何體是由一個(gè)正方體截去一個(gè)小正方

5.（2021?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)（理））已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,若存在點(diǎn)。

到該正四棱錐的四個(gè)側(cè)面和底面的距離都等于d,則"=（）

A6-1r>G-1r>/3-75n瓜-母

2222

6.（2021?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)（文））已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,若該正四

棱錐所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的球面上，則球的表面積為（）

A.57tB.67tC.8兀D.9兀

7.（2021?四川雅安?模擬預(yù)測(cè)（文））已知一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示，側(cè)視

圖和正視圖相同，則該幾何體的表面積為（）

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

俯視圖

A.80+44B.80+8%C.96+4萬D.96+8%

8.（2021?四川瀘州?模擬預(yù)測(cè)（理））己知三棱錐S-ABC的棱SAJ_底面ABC,若

SA=2,AB=AC=BC=3f則其外接球的表面積為（）

32%

A.47rB.84C.---D.16萬

3

9.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）木桶作為一種容器，在我國(guó)使用的歷史已經(jīng)達(dá)到了幾千年，

其形狀可視為一個(gè)圓臺(tái).若某圓臺(tái)形木桶上、下底面的半徑分別為15cm,8cm,母線

長(zhǎng)為25cm,木板厚度忽略不計(jì)，則該木桶的容積為（）

A.16367icm3B.231Zncm3

C.27927tcm3D.32727tcm'

10.（2021?四川?成都七中一模（理））在正三棱柱ABC-A4G中，43=想=1,點(diǎn)戶滿

^BP=ABC+pBBr其中則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

①當(dāng)2=1時(shí)，△AB/的周長(zhǎng)為定值

②當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸-ABC的體積為定值

③當(dāng)/=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得4尸18尸

④當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得A8_L平面48f

A.1B.2C.3D.4

11.（2021?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式

建筑、園林建筑.下面以圓形攢尖為例.如圖所示的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其

軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長(zhǎng)為6m,頂角為等的等腰三角形，則該屋頂?shù)?/p>

體積約為（）

A.6^rn3B.3石7rm'C.9\Z3^m3D.127rm'

12.（2021?廣西柳州?一模（理））“塹堵”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載著的

一種多面體.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1.粗實(shí)線畫出的是某“塹堵”的三視圖.則

該“塹堵”的表面積等于（）

A.10+2mB.12+2如C.16+2713D.42

二、填空題

13.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（文））詞語“鱉膈”等出現(xiàn)自我國(guó)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》,

把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉膳”，如圖，三棱錐A-88是一個(gè)鱉，其中

ABLCD,AB±BC,BC1CD,三棱錐A-3C￡＞的接球的表面積為12,43=2,則三棱

錐A-BCD的體積的最大值為

14.（2021.陜西?西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，一個(gè)立在水平地面上的圓錐形物體的

母線長(zhǎng)為4,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)?出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)尸

處.若該小蟲爬行的最短路程為4及，則圓錐底面圓的半徑等于.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

p

15.（2021.湖北武漢.模擬預(yù)測(cè)）某圓柱兩個(gè)底面面積之和等于其側(cè)面面積，則該圓柱底

面半徑與高的比值為.

16.（2021?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測(cè)（文））已知三棱錐尸-ABC中，PC_L平面A8C,

ZPBC=45°,|PC|=|AC|=2,|AB|=2A/2,這個(gè)三棱錐的外接球的表面積為

17.（2021?上海虹口?一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-中，P為底面

A88內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足。聲與直線CG所成角的大小為則線段OP掃

6

過的面積為.

18.（2021.黑龍江.哈爾濱市第六中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））某三棱錐的三視圖如圖所示,

已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,該三棱錐所有表面中，最大的面積為.

19.（2021.江西高安.模擬預(yù)測(cè)）已知空間四邊形ABC。中，AB=BD=AD=2,BC=\,

CD=y/3,若二面角A-8O-C的大小是120°,則該幾何體的外接球表面積為.

20.（2021?山東?泰安一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，某校學(xué)生在開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)時(shí)，用一塊邊

長(zhǎng)為12dm的正方形鋁板制作一個(gè)無底面的正〃棱錐（側(cè)面為等腰三角形，底面為正“邊

形）道具，他們以正方形的兒何中心為田心，6dm為半徑畫圓，仿照我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉

徽的割圓術(shù)裁剪出，"份，再?gòu)闹腥　ǚ?，并以。為正”（?3）棱錐的頂點(diǎn)，且。落在底

面的射影為正"邊形的幾何中心側(cè)面等腰三角形的頂角為

v

ZA,OA2=a,當(dāng)COS/AQ&=2cosa-l時(shí)，設(shè)正棱錐的體積為Vdn?,則一的最大值

試卷笫6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案

1.C

【分析】

可以在長(zhǎng)方體內(nèi)還原出該幾何體的直觀圖，然后用三棱錐的體積計(jì)算方法計(jì)算即可.

【詳解】

如圖中三棱錐P-ABC為該幾何體的直觀圖，

【分析】

先由題意得出AF10E，tan/BA尸=：,再結(jié)合AB=2不得到AO=2,EO=\,根據(jù)圖形

的旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)后的兒何體是一個(gè)底面半徑為1.高為2的圓錐，最后利用圓錐的體積公式計(jì)

算即可.

【詳解】

四邊形A88是正方形，分別是AB,8c的中點(diǎn)，所以ZX4DE￡產(chǎn)，

7T

所以N必E+NOE4、，AFLDE，

tanZBAF=p因?yàn)?3=2石，所以AO=2,EO=\,以直線AF為軸將△AOE旋轉(zhuǎn)一周

1o

形成的幾何體是一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐，其體積為§1x12x2=：乃.

故選：B.

3.A

【分析】

求出正三棱柱底面邊上的高，然后求解側(cè)視圖的面積.

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】

由題意可知，底面三角形是邊長(zhǎng)為4正三角形

所以邊上的高為：2百，

所以側(cè)視圖的面積為：S=4x26=86.

故選：A.

4.B

【分析】

結(jié)合左視圖的概念即可得出結(jié)果.

【詳解】

結(jié)合左視圖的概念即可得B選項(xiàng)符合.

故選：B.

5.A

【分析】

nrn'F

作出四棱錐,根據(jù)題意53而=訪，解方程即可求解?

【詳解】

OE11

由題意可得sma=^=聲評(píng)⑻

故選：A

6.D

【分析】

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

作正四棱柱P—ABC。，。為底面中心，則外接球球心在高0P上，設(shè)球心為E,在R3E0C

內(nèi)，根據(jù)勾股定理得外接球半徑.

【詳解】

如圖，作正四棱柱P一A8CC,連結(jié)AC,BD,交于點(diǎn)。，連結(jié)尸0,

則尸O，平面ABCD,則|OP|=2,\OA\=\OB\=\OC\=|OD|=1|AC|=1>/22+22=-Jl,

根據(jù)對(duì)稱性，正四棱錐的外接球球心在高。尸上，設(shè)為E,連接EC,則球的半徑r=|EP|=

\EC\,\EO\=2~r,

則在RSE0C內(nèi)，根據(jù)勾股定理得，|0丁+忸。|2=|欣:|2=2+(2-)2=八=一|,

7.C

【分析】

由三視圖知，該幾何體是由半個(gè)半徑為2的球體和棱長(zhǎng)為4的正方體組合而成的，從而可求

出該幾何體的表面積.

【詳解】

解：由三視圖知，該幾何體是由半個(gè)半徑為2的球體和棱長(zhǎng)為4的正方體組合而成的，

該幾何體表面積為5表=5正方體+gs球-S大國(guó)=42x6+gx4x%x22-TTX22=96+4萬.

故選：C.

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

8.D

【分析】

求得外接球的半徑，由此求得外接球的表面積.

【詳解】

?3_/T

等邊三角形ABC的外接圓直徑一7一,，

sin—

3

設(shè)外接球的半徑為/?，

則尸=戶+(?=3+1=4,

所以外接球的表面積為4萬川=16萬.

故選：D

9.D

【分析】

利用圓臺(tái)的體積公式求解即可

【詳解】

由題意可知，圓臺(tái)形木桶的高為,2木-(15-8『=24Gm),

所以該木桶的容積為卜兀'24X(152+82+15X8)=3272兀(皿3),

故選：D.

10.B

【分析】

判斷當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)夕在線段CG上，分別計(jì)算點(diǎn)。為兩個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)的周長(zhǎng)，即可判斷選項(xiàng)A；

當(dāng)〃=1時(shí)，點(diǎn)P在線段gG上，利用線面平行的性質(zhì)以及錐體的體積公式，即可判斷選項(xiàng)B；

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

當(dāng)4時(shí)，取線段BC,瓦G的中點(diǎn)分別為M,必，連結(jié)MW，則點(diǎn)P在線段MM上,

分別取點(diǎn)P在M處，得到均滿足AP1BP,即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)〃=g時(shí)，取CG的

中點(diǎn)2,B片的中點(diǎn)。，則點(diǎn)尸在線的上，證明當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。處時(shí)，AB，平面AB。一

利用過定點(diǎn)A與定直線\B垂直的平面有且只有一個(gè)，即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

解：對(duì)于A,當(dāng)4=1時(shí)，BP=ABC+pBBl>即C〉=M甌，所以&7/甌,

故點(diǎn)P在線段CG上，此時(shí)△AB|P的周長(zhǎng)為A8,+B/+AP,

當(dāng)點(diǎn)尸為CC的中點(diǎn)時(shí)，△ABF的周長(zhǎng)為君+近，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)G處時(shí)，△AB/的周長(zhǎng)為2夜+1，

故周長(zhǎng)不為定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤：

.411=^--------------------71G

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=ABC+BB]>W^p=ABC'所以B；P//B3,

故點(diǎn)P在線段BC上，

因?yàn)锽?〃平面ABC,

所以直線4a上的點(diǎn)到平面48c的距離相等，

又XABC的面積為定值，

所以三棱錐P-ABC的體積為定值，故選項(xiàng)B正確；

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

對(duì)于C,當(dāng)/=5時(shí)，取線段BC,BC的中點(diǎn)分別為M,M，連結(jié)MM，

因?yàn)榫?（庭+〃甌，即命=〃麗，所以通〃威,

則點(diǎn)P在線段MM上，

當(dāng)點(diǎn)p在M處時(shí)，AM，BC，AW,±B,8,

又B,C，nB,B=B,,所以AM_L平面BBCC，

又BMu平面88℃，所以即AP1BP,

同理，當(dāng)點(diǎn)尸在M處，A,P1BP,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)〃=g時(shí)，取C&的中點(diǎn)R,8用的中點(diǎn)。，

因?yàn)槊?注+g的，即防=/病，所以前〃/，

則點(diǎn)P在線的。。上，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)R處時(shí)，取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)4E,BE,

因?yàn)?E1平面ACCIA，又ARu平面4CGA，所以ADJBE,

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

在正方形4CGA中，

又BEn4E=E,BE,AEu平面ABE,

故AR_L平面ABE,又ABu平面ABE,所以AB1AR,

在正方體形ABAA中，\B1AB-

又=4,AR,平面ABQ,所以平面ABQ,

因?yàn)檫^定點(diǎn)A與定直線\B垂直的平面有且只有一個(gè)，

故有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得AB，平面A耳尸，故選項(xiàng)D正確.

故選：B.

11.B

【分析】

根據(jù)給定條件求出圓錐的高，再利用圓錐體積公式計(jì)算即可得解.

【詳解】

依題意，該圓形攢尖的底面圓半徑r=3,高〃=rtanB=G,則V=?+〃=3石乃（）,

所以該屋頂?shù)捏w積約為34rm3.

故選：B

12.C

【分析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，由三視圖求出其棱長(zhǎng)再計(jì)算其表

面積即可求解.

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】

由三視圖可知：原幾何體是一個(gè)直三棱柱，如圖直三棱柱

且A5=3,AC=2,AA=2,且A8_LAC,

所以上、下底面面積為:x3x2=3,

22

S,叫A="2=6,S.CGA=2x2=4,SHCC^-2x-s/2+3=2-713,

所以該“塹堵”的表面積等于3+3+6+4+2萬=16+29，

故選：C.

【分析】

先求出三棱錐A-38的外接球的半徑為R=g.再證明AO為三棱錐A-8CZ)的外接球的

直徑，由題意得到BC2+CD2=8,利用基本不等式得到BCCD?4,即可求出三棱錐A-BCD

的體積的最大值.

【詳解】

由題意，三棱錐A-38的外接球的表面積為127，即4萬代=12%，則三棱錐4-3CO的外

接球的半徑為R=6.

因?yàn)?3,8,431.3。,8。08=。,所以他，面80),所以ABJLBD.

同理可證：AC±CD.

所以AO為三棱錐A-BCD的外接球的直徑.所以AD=，

\'AB=2,A￡)=\lAB2+BC2+CD2=2&.BC2+CD2=8

vBC2+CD2J^2.BC-CD,BC-CD4,當(dāng)且僅當(dāng)BC=C￡)=2時(shí)等號(hào)成立，

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

114

所以三棱錐A-3C。的體積的最大值為彳x彳x8CxCDxAB=-

323

故答案為：!4

14.1

【分析】

根據(jù)小蟲爬行的最短路程求得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，由此計(jì)算出圓錐底面圓的半徑.

【詳解】

畫出圖象如下圖所示，依題意：小蟲爬行的最短路程為AB=4&,

rr

母線長(zhǎng)。4=。3=4,所以042+0)=432,所以44。3=彳，

2

TT

所以AB=-x4=2].

2

設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則2而=2乃/=1.

故答案為：1

15.1

【分析】

設(shè)圓柱底面半徑為廣，高為人，求出底面積的側(cè)面積，即可得結(jié)論.

【詳解】

設(shè)圓柱底面半徑為「，高為//,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

由題意2w?=2萬仍，所以r=/?,即丁=1.

h

故答案為：1.

16.127t

【分析】

根據(jù)幾何關(guān)系，可將該三棱錐放到正方體內(nèi)部求解.

【詳解】

；PC_L平面ABC,AC,8Cu平面ABC,：.PC1AC,PC1BC,

?.?NPBC=45°,.?.△PC8是等腰直角三角形，.??IBCIMZ,

,C/+忸C/=22+2?=8=|A8『，：.AC±BC,

：.AC,BC、PC三條直線兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2,

可將三棱錐P-ABC放到一個(gè)棱為2的正方形內(nèi)部，如圖所示:

...三棱錐的外接球?yàn)檎襟w的外接球，外接球球心為正方體的中心，直徑為正方體的體對(duì)角

線PD.

設(shè)外接球半徑為R,則(27?)2=22><3=>4川=12=>$=4%片=12乃.

故答案為：12兀.

【分析】

根據(jù)題設(shè)描述易知P的軌跡是以。為圓心，且為半徑的四分之一圓，即可求掃過的面

3

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

積.

【詳解】

由題設(shè)，DD,HCC\,要使與直線CG所成角的大小為只需RP與直線0A所成角的

6

大小為￡,

6

.??AP繞?！鲆?夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：P的軌跡是以。為圓心，蟲■為半

63

徑的四分之一圓，

，OP在A8CO上掃過的面積為L(zhǎng)x（且）2、萬=￡.

4312

故答案為：

18.2x/3

【分析】

由三視圖還原幾何體為三棱錐A-8CD,根據(jù)三視圖計(jì)算各個(gè)側(cè)面積，進(jìn)而比較大小，即可

知最大表面積.

【詳解】

根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐體A-8CD.

如圖所示：

答案第11頁(yè)，共13頁(yè)

A

由于：SOCD=]X2x2=2,S&ACD=S4ABe=3*2x26=2叵,

S?=gx2應(yīng)小西=⑼=2百，

故答案為：28.

!9.經(jīng)##

9

【分析】

取BO的中點(diǎn)E,連接AE,G為正三角形麗的中心，作￡W，￡?C垂足為//,即可得到

ZAEH為二面角A-8O-C的平面角,過點(diǎn)E和點(diǎn)G作平面6C3和平面AM的垂線交于點(diǎn)

0,即可得到。為三棱錐的外接球的球心，即可求出。E,再在放AOBE利用勾股定理求出

外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得；

【詳解】

解：取30的中點(diǎn)E,連接AE,G為正三角形的)的中心，作EH_LZ)C垂足為則Z4EH

為二面角A-BD-C的平面角，所以NAEH=120。,分別過點(diǎn)E和點(diǎn)G作平面BCD和平面

42的垂線交于點(diǎn)0,則。為三棱錐的外接球的球心，所以NGEO=30。，由于

GE——AE———>cosZ.GEO=----,所以O(shè)E=—,在7?/AOBE中，

33OE3

OB2=BE2+O￡2=l2+f-Y=—,即六=與，所以S=4乃川=空.

⑶99-"9

故答案_為：罟52乃

答案第12頁(yè)，共13頁(yè)

O

A

D

AH

E

B

C

20.9&

【分析】

設(shè)A?=b,首先求得匕V的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性