大數(shù)定律即中心極限定理

大數(shù)定律即中心極限定理

大量隨機(jī)試驗(yàn)中大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率……一、大數(shù)定律定理1（切比雪夫定理的特殊情況）切比雪夫則對(duì)任意的ε>0，有做前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均證由切比雪夫不等式上式中令得說(shuō)明二、依概率收斂定義及性質(zhì)

定義性質(zhì)請(qǐng)注意:問(wèn)題:伯努利

設(shè)nA是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，是事件A發(fā)生的頻率.

設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)ε>0，有定理2（貝努里大數(shù)定律）或

伯努利證明

證畢注

貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.或下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)于任意正數(shù)ε

，有定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽大數(shù)定律辛欽請(qǐng)看演示1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.注2、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性.

要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性塊，例如n塊地.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n

較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).例在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.

設(shè)，k=1,2,…問(wèn)對(duì)序列{Xk}能否應(yīng)用大數(shù)定律？即對(duì)任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

諸Xk

獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.三、小結(jié)大數(shù)定律

大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性第二節(jié)中心極限定理中心極限定理例題課堂練習(xí)小結(jié)

中心極限定理的客觀背景

在實(shí)際問(wèn)題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合（或和)影響所形成的.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個(gè)隨機(jī)因素的對(duì)彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點(diǎn)服從怎樣分布哪？

如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對(duì)這種綜合影響中所起的作用不大.則這種隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn).

現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題.高斯

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？

由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量.

在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做中心極限定理.一、中心極限定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）注3、雖然在一般情況下，我們很難求出

的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布.定理2（李雅普諾夫(Liapounov)定理)請(qǐng)注意:定理6(棣莫佛－拉普拉斯（DeLaplace定理）

設(shè)隨機(jī)變量(n=1,2,‥‥)服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有證定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個(gè)定值時(shí)（或者說(shuō)，np(1-p)也不太小時(shí)），二項(xiàng)變量的分布近似正態(tài)分布N(np,np(1-p)).即下面演示不難看到中心極限定理的客觀背景例:20個(gè)0-1分布的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)幾個(gè)(0,1)上均勻分布的和的分布0123xfgh二、例題例1于是解例2.(供電問(wèn)題)某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車(chē).設(shè)開(kāi)工率為0.6,并設(shè)每臺(tái)車(chē)床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?用X表示在某時(shí)刻工作著的車(chē)床數(shù)，

解：對(duì)每臺(tái)車(chē)床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)是觀察該臺(tái)車(chē)床在某時(shí)刻是否工作,工作的概率0.6,共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).依題意，X~B(200,0.6),現(xiàn)在的問(wèn)題是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求滿(mǎn)足設(shè)需N臺(tái)車(chē)床工作，（由于每臺(tái)車(chē)床在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦，N臺(tái)工作所需電力即N千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是P(X≤N)=P(0≤X≤N)這里

np=120,np(1-p)=48由3σ準(zhǔn)則，此項(xiàng)為0。查正態(tài)分布函數(shù)表得從中解得N≥141.5,即所求N=142.

也就是說(shuō),應(yīng)供應(yīng)142千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).≥3.1,故例3解例1根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.三、課堂練習(xí)例2在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.

設(shè)，k=1,2,…(1)至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在之間的概率至少是0.95?(2)用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119（1)解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理例2解答：欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在