綿陽南山中學(xué)2020屆高三9月月考數(shù)學(xué)（文）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四川省綿陽南山中學(xué)2020屆高三9月月考數(shù)學(xué)（文）試題含解析綿陽南山中學(xué)2019年秋季高2017級(jí)9月月考試題數(shù)學(xué)（文史類）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1。已知集合，，則(）A. B。 C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定義可求出集合.【詳解】，因此，。故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2。已知命題P:，則為（）A. B.C。 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)命題的否定即可寫出非命題.【詳解】因?yàn)镻：所以為：故選A。【點(diǎn)睛】本題主要考查了含全稱量詞命題的否定，屬于中檔題。3。設(shè)命題，命題，則是成立的（）A.充分不必要條件 B。必要不充分條件C。充要條件 D。既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出、中兩個(gè)不等式的解,利用集合的包含關(guān)系即可判斷出、之間的充分條件和必要條件關(guān)系.【詳解】解不等式，得，解不等式，得,即,，因此，是成立的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判斷，在涉及不等式與方程時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來判斷，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4。已知角的終邊過點(diǎn),且,則的值為(）A. B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用三角函數(shù)的定義結(jié)合可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由三角函數(shù)定義可得，則,整理得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)，在利用三角函數(shù)的定義列式時(shí),要結(jié)合三角函數(shù)值符號(hào)判斷出參數(shù)的符號(hào)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。5。要得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向左平移(）A.個(gè)單位 B.個(gè)單位 C。個(gè)單位 D.個(gè)單位【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，然后利用三角函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律可得出結(jié)論。【詳解】，因此，將的圖象向左平移可得到函數(shù)的圖象.故選:A?！军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移變換，在平移時(shí)要將兩個(gè)函數(shù)的解析式化簡，函數(shù)名稱要保持一致，考查推理能力，屬于中等題。6。若函數(shù)（且）的兩個(gè)零點(diǎn)是、,則（）A. B. C。 D。以上都不對【答案】C【解析】【分析】作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，設(shè)，則,利用零點(diǎn)的定義得出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，然后結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與運(yùn)算性質(zhì)可得出結(jié)論.【詳解】作出函數(shù)和函數(shù)的圖象如下圖所示，設(shè),則，由零點(diǎn)的定義可得,由于指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即.若，則,即，由于對數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以,；若，同理可得.綜上所述，。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)積的取值范圍的計(jì)算,考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題。7。函數(shù)的圖象大致是（）A。 B。C。 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)得在上遞減，在上遞增，根據(jù)單調(diào)性分析不正確,故只能選.【詳解】令，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，故不正確,當(dāng)時(shí),,,由，得，由,得,所以在上遞減,在上遞增，結(jié)合圖像分析，不正確。故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的圖象，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷函數(shù)的圖象，屬于中檔題.8。已知函數(shù)，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得知與互為相反數(shù)，由此可得出的值。【詳解】，，。故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.三次函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸平行，則在區(qū)間上的最小值是（)A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】由求出實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)能求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【詳解】，，由題意得，解得，，，令，得或.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，。所以,函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查利用切線與直線平行求參數(shù),同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。10。已知，，則（）A。 B。C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由結(jié)合二倍角的降冪公式化簡可得出結(jié)論?！驹斀狻?即，即,即，化簡可得。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用二倍角的余弦公式化簡，同時(shí)也考查了同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若方程有兩個(gè)不同實(shí)根,則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作圖，由圖知，的取值范圍為,選A.點(diǎn)睛：對于方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．12。若函數(shù)圖象恒在軸上方,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】由題意知，不等式對任意的恒成立,由于,可知不等式對任意的非零實(shí)數(shù)恒成立,換元，可得出，求出二次函數(shù)的最大值,即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，不等式對任意的恒成立,，所以，不等式對任意的非零實(shí)數(shù)恒成立，即不等式對任意的非零實(shí)數(shù)恒成立,由參變量分離法可得，,令,,由于函數(shù)在區(qū)間和上均為減函數(shù)，所以，，當(dāng)時(shí),二次函數(shù)取最大值,則。綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是。故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式恒成立問題，利用參變量分離法求解是解題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題。二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程．【詳解】,當(dāng)時(shí)其值為,故所求的切線方程為，即．【點(diǎn)睛】曲線切線方程的求法：（1)以曲線上的點(diǎn)（x0,f(x0）)為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟:①求出函數(shù)f(x）的導(dǎo)數(shù)f′（x);②求切線的斜率f′（x0);③寫出切線方程y－f(x0）＝f′(x0）（x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(diǎn)（x1,y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)（x0，y0），解方程組得切點(diǎn)（x0，y0），進(jìn)而確定切線方程．14.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中“方田”章給出了計(jì)算弧田面積時(shí)所用的經(jīng)驗(yàn)公式，即弧田面積（弦矢矢2）．弧田（如圖）由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑為米的弧田，如圖所示．按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積大約是______平方米．（結(jié)果保留整數(shù),）【答案】【解析】【分析】計(jì)算出“弦”和“矢”，然后利用弧田面積公式可計(jì)算出結(jié)果?！驹斀狻坑深}意可知，弧田的“弦”(米）,“矢”為（米)，因此,弧田面積為(平方米）。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查“弧田”面積的計(jì)算,解題的關(guān)鍵就是計(jì)算出“矢"和“弦”，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。15。已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．該函數(shù)的部分圖象如圖所示,，，則的值為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)是以為斜邊的等腰直角三角形可求出函數(shù)的最小正周期和最大值，由此可得出和的值，再利用函數(shù)的對稱性結(jié)合的取值范圍求出的值，進(jìn)而可得出該函數(shù)的解析式，即可計(jì)算出的值.【詳解】由于，，所以，是以為斜邊的等腰直角三角形，設(shè)函數(shù)的最小正周期為,則,，且有，此時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，,，，當(dāng)時(shí)，，得,，因此，。故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象求三角函數(shù)值,根據(jù)圖象求出解析式是關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題。16.是定義在上函數(shù),滿足且時(shí)，，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】或或【解析】是定義在上偶函數(shù)，,在上為單調(diào)增函數(shù)，,，化簡后：①，(1)當(dāng)時(shí)顯然成立；（2）當(dāng)時(shí)，①式解為或，對任意，①式恒成立，則需,故。（3）當(dāng)時(shí),①式解為或，對任意,①式恒成立，則需，故，綜上所述,或或，答案為或或。三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)17。已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期;（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期為；（2)最大值為，最小值為．【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，然后利用正弦型函數(shù)的周期公式可計(jì)算出該函數(shù)的最小正周期；(2）由可計(jì)算出的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。【詳解】（1），因此函數(shù)的最小正周期為；（2）因?yàn)椋?，所?函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為。【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期和最值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想化簡三角函數(shù)的解析式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。18。內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求;（2）若，，求的面積．【答案】（1）；(2）2【解析】分析：(1）在中,由正弦定理的推論可把邊化成角得，用誘導(dǎo)公式變形為，再用兩角和的正弦公式變形化簡可得，化簡可得，進(jìn)而求得．（2）由（1）的結(jié)論和條件,要求三角形的面積，應(yīng)先求一條邊．所以應(yīng)由正弦定理求一條邊．先由，,求得．再由和兩角和的正弦公式求得．再由正弦定理可得．進(jìn)而用三角形的面積公式可得．詳解:(1）在中，因?yàn)?，所以．所?化簡可得．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以?2）因?yàn)?，，所以．因?yàn)樗栽谥?由正弦定理可得．所以的面積為2.點(diǎn)睛:（1）有關(guān)求三角形面積或其最值的問題,應(yīng)由三角形的面積公式求得面積；(2)知的邊和角,求其它的邊和角，注意正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，知對角對邊,可用余弦定理；若知邊的平方關(guān)系，應(yīng)想到余弦定理；19.已知中,內(nèi)角、、的對邊為、、，三角形外接圓的半徑，證明:（1）;（2）.【答案】(1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1）采用坐標(biāo)法證明，方法是以為原點(diǎn),所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,表示出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出,化簡后即得到；(2）作出三角形的外接圓,分角為銳角、直角、鈍角三種情況討論，構(gòu)造直角三角形，利用同弧所對的圓周角相等結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式證明出，同理可證明出，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】（1）已知中，內(nèi)角、、的對邊為、、，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，則，故得證；(2）在中，設(shè),，．若為銳角,如下圖所示，過點(diǎn)作的垂線交的外接圓于點(diǎn)，連接，則，由同弧所對的圓周角相等可得，由銳角三角函數(shù)的定義可得，，；若為直角，則,，此時(shí)成立；若鈍角，如下圖所示：過點(diǎn)作的垂線交的外接圓于點(diǎn)，連接，則，且,由銳角三角函數(shù)的定義可得,，.同理可證明出,因此，?！军c(diǎn)睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的證明，本題的解答方法比較多，可以利用向量法證明,也可以利用分類討論證明．20.已知函數(shù)，直線．（1)求函數(shù)的極值；（2）試確定曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】（1）極小值，無極大值；（2）見解析.【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極值；（2)令，利用參變量分離法得出，令，設(shè)，分析函數(shù)的單調(diào)性，從而確定在不同取值下兩曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)?！驹斀狻浚?）函數(shù)定義域?yàn)?求導(dǎo)得，令，解得．列表如下:極小值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為,所以函數(shù)有極小值，無極大值；（2)“曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)"等價(jià)于“方程的根的個(gè)數(shù)”，由方程,得．令，則，其中，且,考查函數(shù)，其中，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，且，而方程中,且，所以當(dāng)時(shí),方程無根;當(dāng)時(shí)，方程有且僅有一根，綜上所述,當(dāng)時(shí),曲線與直線沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題,曲線的交點(diǎn)問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．21.已知函數(shù)。(1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f（x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A（x0，lnx0）處的切線也是曲線的切線?！敬鸢浮浚?）函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù),證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1）對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2)先求出曲線在處的切線，然后求出當(dāng)曲線切線的斜率與斜率相等時(shí)，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，因此函?shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?所以函數(shù)在必有一零點(diǎn),而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)；（2）因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為:而，所以的方程為，它在縱軸的截距為。設(shè)曲線的切點(diǎn)為，過切點(diǎn)為切線,，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為，當(dāng)切線斜率等于直線的斜率時(shí)，即，切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線?！军c(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做,則按所做的第一題記分．22.在直角坐標(biāo)系中，已知傾斜角為的直線過點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線分別交于、兩點(diǎn)．（1）寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若，求直線的斜率．【答案】（1)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的直角坐標(biāo)方程為；(2）.【解析】【分析】(1）由傾斜角為的直線過點(diǎn)，能求出直線的參數(shù)方程；曲線的極坐標(biāo)方程化為,由此能求出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,可得出關(guān)