平面向量數量積的含義

OBAθ向量的夾角復習回顧：已知兩個非零向量a和b,作OA=a,

OB=b，則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角。當θ＝0°時，a與b同向；OAB當θ＝180°時，a與b反向；OAB當θ＝90°時，稱a與b垂直，記為a⊥b.BOAab注意:在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是同起點的練習：在中，找出下列向量的夾角：

ABC(1)(2)(3)

任意兩個向量都可以進行加,減運算,同時兩個向量的和與差仍是一個向量,并且向量的加法運算滿足交換律和結合律.由于任意兩個實數可以進行乘法運算,我們自然會提出,任意兩個向量是否也可以進行乘法運算呢？對此,我們從理論上進行相應分析.引入：Fs新課引入:

我們學過功的概念,即一個物體在力F的作用下產生位移S(如圖)其中θ是F與S的夾角，那么力F所做的功W，可以用如下式子計算：平面向量的數量積定義規(guī)定:零向量與任一向量的數量積為0。a·b=|a||b|cosθ

已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積(或內積)，記作:a.b

注意：向量的數量積是一個數量。

(2)兩向量的數量積是一個數量，而不是向量，符號由夾角決定；定義理解：

(1)a

·

b不能寫成a×b,a×b

表示向量的另一種運算．a·b=|a||b|cosθ向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為負？思考：a·b=|a||b|cosθ當0°≤θ＜

90°時a·b為正；當90°＜θ≤180°時a·b為負。當θ=90°時a·b為零。你會變嗎？會用嗎？試試看OABab平面向量的數量積的幾何意義，過點B作垂直于直線OA，|b|cosθ叫向量b

在a方向上的投影.平面向量的數量積的幾何意義是:|b|cosθ垂足為，則等于的長度與的乘積。平面向量的數量積的幾何意義OABabBOAabOABabθ為銳角時，|b|cosθ＞0θ為鈍角時，|b|cosθ＜0θ為直角時，|b|cosθ=0θ

為

時,它是|b|0。OABbaOABba

θ為時,它是-|b|180。重要性質:設是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1我真的理解了嗎?真假假假⑤⑥真假假真⑧⑦若，，則進行向量數量積計算時,既要考慮向量的模,又要根據兩個向量方向確定其夾角(1)已知，則向量在向量

上的投影為

。(2)已知△ABC中,當時,ΔABC是什么三角形？4鈍角三角形(3)已知平面上三點A,B,C滿足則的值等于

。?25練習一：3練習一：A4.數量積的運算律：⑴交換律:⑵數乘的結合律:⑶分配律:注意:數量積不滿足結合律(3)

12ABOA1B1C

證明:在平面內取一點，作,，(即)在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即即例3.-72600變式訓練例4.注意：兩個向量的數量積是否為零,是判斷相應的兩條直線是否垂直的重要方法之一.練習二：A、梯形B、菱形C、矩形D、正方形(1)在四邊形ABCD

中,AB

·

BC=0,且AB=DC則四邊形ABCD是（）CC練習二：等邊三角形D(3)在中,已知|AB|=|AC|=1,且則這個三角形的形狀是AB

·

AC=,()CA.重心、外心、垂心B.重心、外心、內心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內心思考：重要結論：小結:本節(jié)課我們主要學習了平面向量數量積性質的應用，常見的題