隨機信號分析CH2習題及答案

PAGEPAGE18設有正弦隨機信號，其中，為常數，是均勻分布的隨機變量。（1）畫出該過程兩條樣本函數；（2）確定時隨機變量的概率密度函數，并畫出其圖形；（3）當時，求的概率密度函數。解：（1）隨機信號的任意兩條樣本函數如題解圖2.1(a)所示：題解圖2.1(a)（2）隨機過程在不同時刻是不同的隨機變量，一般具有不同的概率密度函數：當時，，當時，，在各時刻，隨機變量的概率密度函數圖形如題解圖2.1(b)所示：題解圖2.1(b)（3）當時，，，此時概率密度函數為：擲一枚硬幣定義一個隨機過程：設“出現正面”和“出現反面”的概率相等。試求：（1）的一維分布函數，；（2）的二維分布函數；（3）畫出上述分布函數的圖形。2.3解：（1）一維分布為:(2)二維分布函數為假定二進制數據序列{B(n),n=1,2,3,….}是伯努利隨機序列，其每一位數據對應隨機變量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。試問，（1）連續(xù)4位構成的串為{1011}的概率是多少？（2）連續(xù)4位構成的串的平均串是什么？（3）連續(xù)4位構成的串中，概率最大的是什么？2.4解：（1）（2）設連續(xù)4位數據構成的串為B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1,2,3,….其中B(n)為離散隨機變量，由題意可知，它們是相互獨立，而且同分布的。所以有：串（4bit數據）為：其矩特性為：因為隨機變量的矩為：均值：方差：所以隨機變量的矩為：均值： 方差：如果將4bit串看作是一個隨機向量，則隨機向量的均值和方差為：串平均：串方差：（3）概率達到最大的串為正弦隨機信號,其中振幅隨機變量A取值為1和0，概率分別為0.1和0.9，試問，（1）一維概率分布；（2）二維概率分布；（3）開啟該設備后最可能見到什么樣的信號？（4）如果開啟后時刻測得輸出電壓為1伏特，問時刻可能的輸出電壓是什么？概率多少？解：（1）（）（2）（）（3）因為，所以開啟該設備后90%的情況會見到無電壓(A=0)。（4）t=1時刻，有，可得A=1；t=2時刻，有；因為在A=1的前提下，t=2時刻輸出電壓為確定值1，即。設質點運動的位置如直線過程，其中與，并彼此獨立。試求t時刻隨機變量的一維概率密度函數、均值與方差？2.7解：獨立高斯分布的線性組合依然是高斯分布（）所以它的一維概率密度函數為:假定（-1,+1）的伯努利序列的取值具有等概特性。試求它的一維概率密度函數、均值與協方差函數？2.8解：給定隨機過程和常數，試以的自相關函數來表示差信號的自相關函數。2.10解：由題意可得：兩個隨機信號與，其中A與B為未知分布隨機變量，Θ為0～2π均勻分布隨機變量，A、B與Θ兩兩統計獨立，ω為常數，試問，（1）兩個隨機信號的互相關函數；（2）討論兩個隨機信號的正交性、互不相關（無關）性與統計獨立性；解：（1），（2）①如果E[A]或E[B]為0，或E[A]、E[B]都為0，則，隨機信號X(t)與Y(t)正交且互不相關；②如果E[A]與E[B]均不為0，則，X(t)與Y(t)不正交，相關；但(包含與在同一時刻正交、無關)③因為隨機信號X(t)與Y(t)中都有隨機變量Θ，所以X(t)與Y(t)不相互獨立?；蚨検诫S機信號，其中是取值的伯努利隨機信號，和。試求：（1）的均值；（2）；（3）的相關函數；解：(1)的均值：因為所以(2)因為貝努里信號在不同時刻彼此獨立，則（）(3)的相關函數：假定正弦電壓信號，其中，服從均勻分布，服從均勻分布，它們彼此獨立。如果信號施加到RC并聯電路上，求總的電流信號及其均方值。解：由電路原理的相關知識可知： ，則零均值高斯信號的自相關函數為，求的一維和二維概率密度。解：(1)因為，所以一維概率密度函數為： (2)高斯信號的二維概率密度函數為：則某高斯信號的均值，協方差，寫出