關(guān)于凸函數(shù)的兩個(gè)充分條件(圖文)

關(guān)于凸函數(shù)的兩個(gè)充分條件(圖文)凸函數(shù)，是在數(shù)學(xué)中被廣泛應(yīng)用的概念。它非常重要，因?yàn)樵S多實(shí)際問(wèn)題都涉及到凸函數(shù)。因此，研究凸函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)就顯得尤為重要了。本文將著重介紹凸函數(shù)的兩個(gè)充分條件，并在此基礎(chǔ)上探討凸函數(shù)的特點(diǎn)。一、凸函數(shù)的定義在精確定義凸函數(shù)之前，我們先了解一下“凸”的概念。在漢語(yǔ)中，“凸”一詞通常用于形容物體的外形，即在平面上，物體最外側(cè)的地方向外“鼓起”或向上“翹起”。因此，凸函數(shù)得名于它的圖像，圖像很像在豎直方向上的物體“鼓起”。凸函數(shù)是指函數(shù)在其定義域上的圖像始終處于其“鼓起”的狀態(tài)，無(wú)論在任意的兩點(diǎn)間連線上，還是在區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)并不是平均點(diǎn)的任意一點(diǎn)上。更精確地說(shuō)，如果函數(shù)$f$在定義域$I$上連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)$f$是凸函數(shù)，如果對(duì)于$I$內(nèi)任意兩點(diǎn)$x_1,x_2$，連結(jié)兩點(diǎn)的線段位于$f$的曲線之上，即有：\\begin{equation}f(\\lambdax_1+(1-\\lambda)x_2)\\leq\\lambdaf(x_1)+(1-\\lambda)f(x_2),\\quad0\\leq\\lambda\\leq1\\end{equation}這句話可以理解為，凸函數(shù)$f$上任意兩點(diǎn)之間的連線，都始終保持在曲線圖像的下方或上方（不會(huì)交替出現(xiàn)），如下圖所示：二、凸函數(shù)的兩個(gè)充分條件1.一階條件定義：若函數(shù)$f(x)$在定義域$I$上連續(xù)且可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)$f$的一階導(dǎo)數(shù)是凸函數(shù)的充分條件。凸函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)具有單增性，若$f''(x)\\geq0$則函數(shù)$f(x)$為凸函數(shù)，若$f''(x)\\leq0$函數(shù)$f(x)$為凹函數(shù)，且$f(x)$為嚴(yán)格凸函數(shù)的充分必要條件是$f''(x)>0$?？梢钥闯觯浑A導(dǎo)數(shù)是凸函數(shù)的充分條件，而不是必要條件（反之亦然），所以當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)滿足條件時(shí)，函數(shù)可能為凸函數(shù)、可能為凹函數(shù)、可能為常函數(shù)、可能為非凸非凹函數(shù)，但可以確定的是，這個(gè)函數(shù)不可能同時(shí)是凸函數(shù)和同時(shí)是凹函數(shù)。舉個(gè)例子：$f(x)=x^3$。求$f(x)$的一階導(dǎo)數(shù)：$f'(x)=3x^2$，$f''(x)=6x$。$f''(x)\\geq0$，當(dāng)$x\\geq0$時(shí)，$f(x)$為凸函數(shù)；當(dāng)$x\\leq0$時(shí)，$f(x)$為凹函數(shù)。所以該函數(shù)$f(x)$是凸函數(shù)。2.二階條件定義：若函數(shù)$f(x)$在定義域$I$上二階連續(xù)可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)$f$的二階導(dǎo)數(shù)是凸函數(shù)的充分條件。凸函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)恒不小于零，即$f''(x)\\geq0$，若$f''(x)>0$，則函數(shù)$f(x)$是嚴(yán)格凸函數(shù)。在一些情況下，這個(gè)定義可以更簡(jiǎn)化，即只要$f''(x)>0$，函數(shù)$f(x)$就是凸函數(shù)。舉個(gè)例子：$f(x)=-\\ln{(-x)}$。求$f(x)$的二階導(dǎo)數(shù)：$f''(x)=-\\frac{1}{x^2},x<0$。由于$x<0$，所以$\\frac{1}{x^2}>0$，所以$f''(x)>0$，因此該函數(shù)$f(x)$是凸函數(shù)。三、凸函數(shù)的特點(diǎn)綜上所述，我們可以總結(jié)出凸函數(shù)的幾個(gè)重要特點(diǎn)：1.圖像特點(diǎn)：凸函數(shù)的圖像一般向上凸起，也有向平的情況。不同的凸函數(shù)可能曲線變化形狀各異，甚至存在多重凸函數(shù)，但它們的結(jié)構(gòu)支撐的原理是我們?cè)诘谝还?jié)介紹的。2.單調(diào)性：凸函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)具有單增性，凸函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)恒不小于零。因此，凸函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)都小于零或大于零或等于零的點(diǎn)只有且僅有一個(gè)，這個(gè)點(diǎn)被稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)。3.擁有最小值點(diǎn)：凸函數(shù)的極值點(diǎn)一定是最小值點(diǎn)。換句話說(shuō)，凸函數(shù)在其定義域的任何一點(diǎn)，總是大于或等于其“網(wǎng)絡(luò)”上的任何連接點(diǎn)的線性加權(quán)平均數(shù)。4.優(yōu)化：凸函數(shù)在數(shù)理優(yōu)化中被廣泛應(yīng)用，因?yàn)樗鼈兙哂袃?yōu)化的良好性質(zhì)。換句話說(shuō)，可以高效、準(zhǔn)確地計(jì)算出函數(shù)的最小值。5.在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：在實(shí)際問(wèn)題中，許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題，如