原子物理學(xué) 楊福家第四章題解

4-1 一束電子進(jìn)入1.2T的均勻磁場(chǎng)時(shí)，試問(wèn)電子自旋平行于和反平行于磁場(chǎng)的電子的能量差為多大?分析要點(diǎn):分析要點(diǎn):ms=1/2,gs=2;ssu=±m(xù)gu=±卩z ssB B解：已知：電子自旋磁矩在磁場(chǎng)方向的投影U=±m(xù)gu=±uz ssB B依磁矩與磁場(chǎng)的作用能量自旋與磁場(chǎng)平行時(shí)

E=U?B=uBcos0E=u?B—UBcos0°=uBTOC\o"1-5"\h\z1s s B自旋與磁場(chǎng)反平行時(shí)E—u?B—uBcosl80——uB2s s B則 --AE—E—E—2uB—2x1.2x0.5788x10-4eV—1.389x10-4eV2 1 B2D2D3/2狀態(tài)的磁矩“及投影氣的可能值.解：已知：j=3/2,2s+1=2s=1/2,1=2-3―63 1后—l3 1用6、4g— +_(I)— +_( )—j2 2h2 2 5T依據(jù)磁矩計(jì)算公式mg-±2,±6jj5 5uj——\"(j+gjumg-±2,±6jj5 5依據(jù)磁矩投影公式u——mgu依據(jù)磁矩投影公式z jjB丄2 丄6u—±u，土uz5B5B4-3試證實(shí)：原子在6G狀態(tài)的磁矩等于零，并根據(jù)原子矢量模型3／2

對(duì)這一事實(shí)作出解釋．解:因?yàn)?2S+1=6 S=5/2J=3/2l=4m=3/2,1/2,-1/2,-3/2jgm=3/2,1/2,-1/2,-3/2jg=2+—=3+;2 2J2 2 215(5八2k2丿3(3’2k2丿-4(4+1)gJmJ=0這是一個(gè)多電子耦合系統(tǒng),相互作用產(chǎn)生的總效果為零.說(shuō)明多電子作用有互相抵消的情況.4-4在史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中，處于基態(tài)的窄的銀原子束通過(guò)極不均勻的橫向磁場(chǎng)，并射到屏上，磁極的縱向范圍d=10cm，磁極中心到屏的距離D=25cm.如果銀原子的速率為400m/s，線束在屏上的分裂間距為2.0mm，試問(wèn)磁場(chǎng)強(qiáng)度的梯度值應(yīng)為多大?銀原子的基態(tài)為2S，質(zhì)量為107.87u.1/2解：原子束在屏上偏離中心的距離可用下式表示:” dBdDz=-Mgy z2E~KBdz對(duì)原子態(tài)2春L=0S=1/2 J=1/2故M=土2朗德g因子為：g=2對(duì)于上屏邊緣的線束取M=-J,對(duì)于下屏邊緣的線束取M=JdBdD dB dBdD dB AZE所以Az=2JgRZ n乙= K-所以 Bdz2E dzJGrDdK BJ=-2AZ=2x10-3m卩=0.5788x10-4eV-T-iB(1)D=25x10D=25x10-2m代入上式得:d=10x10-2dBz=1.24x102T/mdz4-5在史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中（圖19.1），不均勻橫向磁場(chǎng)梯度為=5=5?0T/cm比 ，磁極的縱向范圍d=10cm，磁極中心到屏的距離D=30cm，使用的原子束是處于基態(tài) F的釩原子，原子的動(dòng)能3/2E=50MeV■試求屏上線束邊緣成分之間的距離.k解：對(duì)于多個(gè)電子 2S+1=4S=3/2 L=3,J=3/215“--12TOC\o"1-5"\h\z31/S2-12、31/才 、2g=+一(I)=+一( )=S2rj2 2r1^543 113m=+ ；+ ；-；-j 2, 2, 2, 2r dBdDZ=-mgu ?_依公式JJBdz3kT依公式13kT=mV2=0.1eV3kT=mV2=0.1eV2TOC\o"1-5"\h\zr dBdDZ=-mg口?_JJBdz3kT+3X2X5.0X10X30=±0.52092cm25 50-r dBdD和+12Z=-mgu?_JJB和+122 10x30 1736xx5.0x =±0.1736cm5 50即：Z =2Z =2X0.52092=1.42cm±3/22(±3/2)Z =2Z =2X0.1736=0.347cm±1/22(±1/2)4-6.在史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中，原子態(tài)的氫從溫度為400K的爐中射出，在屏上接受到兩條氫束線，間距為0.60cm.若把氫原子換成氯原子(基態(tài)為2P)，其它實(shí)驗(yàn)條件不變，那么，在屏上可以接受到幾3／2

T=400K 3kT=3X8.617X10T=400K 3kT=3X8.617X10-5X2400eV=0.103eVJ=1/2g=2J=1/2g=2m.g=±1」八 SBdDZ=-mg口 ? JJBSz3kT由當(dāng)換為氯原子時(shí)，因其基態(tài)為2P3/23-231s2-l2 31/4 、4g=—+—( )=+—( )=—j22j2 2215 3T卩竺?竺二0.3BSz3kTj=3/2, l=1s=1/2TOC\o"1-5"\h\z3 113m=+ ;+ ;-;-\o"CurrentDocument"j2 2 2 23 4z'=±xx0.3=±0.6cm234z"=±_x_x0.3=±0.2cm3共有2j+1=4條，相鄰兩條間距為|Z'-Z'|=0.4cm。4-7試問(wèn)波數(shù)差為29.6cm-1的賴曼系主線雙重線，屬于何種類氫離子？人? z4 w .i'Av~n31(/+1)解.Av= x5.84cn-1nz=4l-解： n3(/+1) 5.84cm-1Av~=29.6cm-1以為是賴曼系主線n=2 L=1代入上式得，z=3所以是Li原子又因?yàn)槠錇轭悮潆x子所以為L(zhǎng)i++4-8試估計(jì)作用在氫原子2P態(tài)電子上的磁場(chǎng)強(qiáng)度解:hcA九 AyB—— 2九2卩 2卩BB又由(21-13)式，二4.53X10-5eV

二0.4TAy 4.53x10-二0.4TB沁 二 2y 2x5.788x10-5B4-9試用經(jīng)典物理方法導(dǎo)出正常塞曼效應(yīng)．4-10Z=30鋅原子光譜中的一條譜線GQT玖）在B為1?00T的磁場(chǎng)中發(fā)生塞曼分裂，試問(wèn)：從垂直于磁場(chǎng)方向觀察，原譜線分裂為幾條?相鄰兩譜線的波數(shù)差等于多少?是否屬于正常塞曼效應(yīng)?并請(qǐng)畫出相應(yīng)的能級(jí)躍遷圖．解： 已知：對(duì)于激發(fā)態(tài)L=0,J=1,S=1.加7=0,±1,在外磁場(chǎng)作用下，可以分裂為三條。g=2+}(L-L)=2+(I—0)=2TOC\o"1-5"\h\z2 2J2 2對(duì)于基態(tài)L=1，J=0,S=1加2=0，在外磁場(chǎng)作用下，并不分裂。31/S2一L2 3 2一0、3g= +—( ― )= +( )=222J2 2 2 2E'一E'=(E一E)+(mg-mg)yBB[-2]E—E+0yqB2■<2丿B[-2]E—E+0yqB2■<2丿Be力y=B2me

”)

〔一2]

0<2丿V'—V=—B4兀me〔一2]0x14B(T)GHz<2丿〔一2]〔一2]v'—V0eB0c,2丿4兀mce,2丿4兀mex0.467B(T)cm-=(0?934,0,-0?934)cm-i所以原譜線在外加磁場(chǎng)中分裂為三條，垂直磁場(chǎng)可以看到三條譜線。Arn=0，+1，-1,分別對(duì)應(yīng)于n,o+,b三條譜線。雖然譜線一分為三，但彼此間間隔值為2“詳，并不是“詳，并非激發(fā)態(tài)和基態(tài)的S=0,因S^0所以它不是正常的塞曼效應(yīng)。對(duì)應(yīng)的能級(jí)躍遷圖4-11試計(jì)算在B為2.5T的磁場(chǎng)中，鈉原子的D雙線所引起的塞曼分裂．589,OnmDflt589.6nm圖589,OnmDflt589.6nm圖22”6鈉D線的塞曼效應(yīng)3 1s2-12解：A?對(duì)于2解：A?對(duì)于2Si/2態(tài)，用‘即可算出礦2;由于j=1/2,因而mj=〔j2丿1+—"2,，將s=1/2,l=0j=1/2代入，于是mg=±1QB.對(duì)于P態(tài)，相應(yīng)的1=1而j=l±s,sB.對(duì)于P態(tài)，相應(yīng)的1=1態(tài)2P1/2，2P3/2。分別對(duì)應(yīng)于vf-vvf-v=(mgf-mg)L=(2 22 11(2)

土—3±6I3丿f±5「3±13±1k丿L—±1)L=分裂為六條g1/2=2/3,m1g1=±1/3g3/2=4/3,m2g2=±2/3,±6/3依*/-v二(mg-mg)|LXB/h二(mg-mg)L2 2 1 1B 2 2 1 1?1?v，-v=(mg-mg)L=(±_—±1)L=1 22 11 3f±2「-3±4L分裂為四C3丿條線。線。4-12注:此題(2)有兩種理解(不同習(xí)題集不同做法,建議用第二種方法).鉀原子的價(jià)電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)，產(chǎn)生兩條精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線，其波長(zhǎng)分別為766?4nm和769?9nm，現(xiàn)將該原子置于磁場(chǎng)B中(設(shè)為弱場(chǎng))，使與此兩精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線有關(guān)的能級(jí)進(jìn)一步分裂．試計(jì)算能級(jí)分裂大小，并繪出分裂后的能級(jí)⑵如欲使分裂后的最高能級(jí)與最低能級(jí)間的差距△E2等于原能級(jí)差A(yù)E1的1.5倍，所加磁場(chǎng)B應(yīng)為多大？

要點(diǎn)分析:鉀原子的價(jià)電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)的躍遷類似于鈉的精細(xì)結(jié)構(gòu)。其能級(jí)圖同上題。解：⑴先計(jì)算朗德因子和mgjg— +—A.對(duì)于%態(tài)，用’22要點(diǎn)分析:鉀原子的價(jià)電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)的躍遷類似于鈉的精細(xì)結(jié)構(gòu)。其能級(jí)圖同上題。解：⑴先計(jì)算朗德因子和mgjg— +—A.對(duì)于%態(tài)，用’223 1s2-12出gj=2;由于j=1/2,因而m==B.對(duì)于P態(tài)，相應(yīng)的1=1,因八j2丿1+—，將s=1/2,Z=0;j=1/2代入，即可算2，于是mgj=±1。而j=l士s,s=1/2,j=1/2,3/2，有兩個(gè)原子態(tài)2P1/2，2P3/2。分別對(duì)應(yīng)于2P1/2對(duì)應(yīng)有m1=±1/2,g1/2=2/3,m1g1=±1/32P3/2對(duì)應(yīng)有m2=±1/2，g3/2=4/3, m2g2=±2/3,±6/3

能級(jí)分裂大小:P3/2能級(jí)分裂大小：m2g2從+6/3-+2/3為4/3“BBP1/2能級(jí)分裂大?。簃2g2從+1/3--1/3為2/3“BBS1/2能級(jí)分裂大小：m1g1從+1--1為2“BB解:有兩種認(rèn)為:⑵ 第一種認(rèn)為:AE=(E2-E])與教材計(jì)算結(jié)果一致.分裂后的最高能級(jí)2P3/2,加」=3/2與最低能級(jí)差2Pym=-1/26 1 7AE=AE+(mg-mg屮B=AE+[-_(一_加B=AE+-pB2 1 22 11B 1 3 3B 1 3B若使AE2=1.SAE^I^E?-E1) 即AEl+7/3juBB=1.5AE]即7/3“BB=0.SA即7/3“BB=0.SAE^O^Eq-E])(、cc-hy(萬(wàn) T\V 127\o"CurrentDocument"(、c cpB=0.5Xh—-h,‘IttJv12=O.5[(E2-E0)-(E1-Eo)]=0.5731b(、ccX0?5Xh-hIT T丿V 127廠1B=_J_7pB3=X0?5X197X6.287<766.4769.9丿x 0.5788x10-4=27.17(T)B=27.17T第二種認(rèn)為:AE=(E2-E0)與教材結(jié)果相差甚遠(yuǎn)分裂后的最高能級(jí)2P3/2,mj=3/2與最低能級(jí)差2si/2,mj=-1/2AE=AE+(mg-mg)pB=AE+[?-(-1)]pB=AE+3pB2 1 22 11B 1 3 B 1B若使AE2=1.5AE] 即AE]+3ubB=1.5AE、

即3ui^B=0.5^E1=0.5(E2-E0)(、hL=0?5I九丿'1丿3卩B=0.5xhB(、cx0.5xhl卞丿'1丿1x1x0?5x197x6.2831766.4丿x 0.5788x10-4=4648?3(T)B=4648.3T4-13假如原子所處的外磁場(chǎng)B大于該原子的內(nèi)磁場(chǎng)，那么，原子的L-S耦合將解脫，總軌道角動(dòng)量L和總自旋角動(dòng)量S將分別獨(dú)立地繞B旋進(jìn)．寫出此時(shí)原子總磁矩U的表示