概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案

事件發(fā)生的概率.

習題一【解】P(JU5UC>P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

j_j_J_3

=4*4*3-12=4

1.略.見教材習題參考答案.

7.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張

2.設4B,2為三個事件,試用4B,2的運第關系式表示下列事件:

方塊，2張梅花的概率是多少？

(1)/發(fā)生，B,。都不發(fā)生：【解】Y23c班/3

(2)/與5發(fā)生，C不發(fā)生；

8.對?個五人學習小組考慮生日問題：

(3)力,B,C都發(fā)生；

(I)求五個人的生日都在星期日的概率；(2)求五個人的生

(4)A,B,C至少有一個發(fā)生；

日都不在星期日的概率：

(5)A,B,C都不發(fā)生：

<3)求五個人的生日不都在星期日的概率.

(6)4B,。不都發(fā)生：

【解】⑴設小=｛五個人的生日都在星期日｝,基本事件總數(shù)為7$,

(7)A,B,C至多有2個發(fā)生；

有利事件僅1個，故

(8)A,B,C至少有2個發(fā)生.

11

P(^,)=—=(-)5(亦可用獨立性求解，

【解】(E?ABC(2)ABC(3)ABC757

下同)

(4)AUBUC=ABcuABCUABCUABCU(2)設色=(五個人生日都不在星期日｝,有利事件數(shù)為6\

故

ABCUABCLM8C=ABC

656

P(4)=—7=(—/

5

⑸ABC=A\JB\JC(6)ABC77

(3)設43=｛五個人的生u不都在星期I」｝

(7)ABCUABCUABCuABCUABCUABCU1

P(，3)=l-P(4)=l-(一)5

7

ABC=ABC=AuBuC9.略.見教材習題參考答案.

10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機地取出〃件(KN).試

(8)ABUBOJCA=ABCUABCDABCUABC求其中恰有m件(小WM)正品(記為的概率.如果:

(1)〃件是同時取出的：

3.略.見教材習題參考答案

(2)〃件是無放回逐件取出的：

4.設A,B為隨機事件，且P(A)=0.7,P(J-5)=0.3,求P(AB).(3)〃件是有放回逐件取出的.

【解】⑴P3yseN

【解】P(AB)=1-P(AB)=\-[P(A)-P(A-B)](2)由于是無放回逐件取出，可用排列法計算.樣本點總數(shù)有

=1-[0.7-0.3]=0.6Py種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為C：種.

5.設45是兩事件,且尸(A)=0.6,尸(3)=0.7,求：

對丁固定的一種正品與次品的抽取次序,從M件正品中

(1)在什么條件下P(AB)取到最大值？

(2)在什么條件下尸(AB)取到最小值？取"，件的排列數(shù)有P；；種，從N-A/件次品中取n-m件

的排列數(shù)為P；：。利，，故

【解】(1)當48=4時，P(AB)取到最大值為0.6.

(2)當一UB=Q時,P(AB)取到最小值為03pn-m

P⑷"N"

6.設A,B,C為三事件，且P(4)=尸(8)=1/4,P(C)=1/3且PP.V

(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求45,C至少有一

由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成

P(A1A2)=P(Al)P(A2)=0.7X0.8=0.56

P(A)(2)

P(A]U4)=0-7+0.8-0.7x0.8=0.94

可以看出，用第二種方法簡便得多.

（3）由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能(3)

的取法總數(shù)為H種，"次抽取中有m次為正品的組合數(shù)

P(A}ZU亂)=0.8X0.3+0.2X0.7=0.38

為C；種，對于固定的?種正、次品的抽取次序，加次

15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.

取得正品，都有“種取法，共有，W"種取法，次?。?）問正好在第6次停止的概率：

得次品，每次都有N-M種取法，共有（N-M）種?。?）問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概

法，故率.

W”0=*）審;4⑵

P（A）=C；AT（N-M）n-m/Nn

此題也可用貝努里概型，共做了〃重貝努里試驗，每次取得正品嗚夕L

M

的概率為一，則取得加件正品的概率為P）-----------------——

N25/325

16.甲、乙兩個籃球運動員，投籃命中率分別為0.7及0.6,每人各投

「3次，求二人進球數(shù)相等的概率.

【解】設4=｛甲進i球｝,/=O,123M｛乙進i球｝,E）,123則

11.略.見教材習題參考答案.3

22

P（U4%）=（0.3）3（04）3+C；0.7X（0.3）C；0.6X（0.4）4-

12.50只加釘隨機地取來用在10個部件上,其中有3個抑釘強度太i=0

弱.每個部件用3只鉀釘,若將3只強度太弱的鉀釘都裝在一個部

件上，則這個部件強度就太弱.求發(fā)生一個部件強度太弱的概率

是多少？

【解】設/=｛發(fā)生一個部件強度太弱｝

P（/）=GQ?=表

13.?個袋內裝有大小相同的7個球，其中4個是口球，3個是黑球，

從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.

【解】設介｛檜有i個白球｝（，=2,3）,顯然曲與小互斥.

C；C；=18

2⑷

-35

故

22

p（4U4）=尸（4）+尸（4）=不

14.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7,在兩批種子中各隨

機取一粒，求：

（1）兩粒都發(fā)芽的概率；

（2）至少有一粒發(fā)芽的概率；

（3）恰有一粒發(fā)芽的概率.

【解】設/尸｛第i批種子中的一粒發(fā)芽｝,（/=1,2）

（1）

C；(0.7)2X0.3C；(0.6)2().4+(0.7)3(0.6)3

=0.32076

17.從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋

了配成?雙的概率.

[解]

/~l113

=1-

C：。2?

18.某地某天下雪的概率為0.3,下雨的概率為0.5,既下雪又下雨的

概率為0.1,求：

（1）在下雨條件下下雪的概率：（2）這天下雨或下雪的概率.

【解】設力=｛下雨｝,8=｛下雪｝.

P(4B)0.1“

(i)p{B\A)=------=—=0.2

1P(A)0.5

）

p（AU8）=尸⑼+P（8）-P（/3）=0.3+0.5-0.1=0.7

19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男

孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.

【解】設力=｛其中一個為女孩｝,8=｛至少有一個男孩｝,樣本點總數(shù)(b)

為23=8,故題21圖題22圖

【解】設兩人到達時刻為x,yM0WxyW60.事件“一人要等另一人半

P(AB)6/86

P(即)=-小時以上”等價于卜-）》30.如圖陰影部分所示.

P⑷7787

P鳴」

或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數(shù)為7.

6024

產(chǎn)（即）=4

22.從（0,1）中隨機地取兩個數(shù)，求：

20.已知5%的男人和0.25%的女人是色百，現(xiàn)隨機地挑選?人,此6

（1）兩個數(shù)之和小于一的概率；

人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設男人和女人各占人數(shù)的5

一半）.1

（2）兩個數(shù)之積小于一的概率.

【解】設/=｛此人是男人｝,8=｛此人是色巨｝，則由貝葉斯公式4

【解】設兩數(shù)為卬，則or產(chǎn)1.

P(AB)P(A)P(B\A)

?(“網(wǎng)=6

P(B)P(/)P(8M)+P(Z)P(8M)（1）x+y<—.

'5

144

0.5x0.0520

-0.5x0.05+0.5x0.0025

21.兩人約定上午9：00?10：00在公園會面，求?人要等另?人半

小時以上的概率.

P(麗

23.設尸（/）=0.3,P（8尸0.47（彳B尸0.5,求。（8I/U8）P（A）P（B\A）

P(B)P（Z）P（萬⑷+P（N）P（同N）

[解]

P（巾u為0.8x014

1P（/U8）P（A）+P（B）—P（AB）=—=0.3077

0.8x0.1+0.2x0.913

0.7-0.5_1即考試不及格的學生中努力學習的學生占30.77%.

-0.7+0.6-0.5-426.將兩信息分別編碼為/和8傳遞出來,接收站收到時,/被誤收

24.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第?次比賽作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B

中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取傳遞的頻繁程度為2：I.若接收站收到的信息是4試問原發(fā)信息

出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率.是4的概率是多少？

【解】設4=｛第一次取出的3個球中有i個新球｝,/=0123.5=｛第二【解】設/=｛原發(fā)信息是/｝，則=｛原發(fā)信息是陰

次取出的3球均為新球｝C=｛收到信息是㈤，則=｛收到信息是團

由全概率公式，有由貝葉斯公式，得

3P(Z)P(C|,)_

P（5）=￡P（B|4-）P（4）P(N|C)

p(z)p(c⑷+p(7)p(c|N)

（=0

「「302￡I「32/

330330.99492

_一-6-.--?--.--一-4---6---5?---*0.01

c3C3C3C3

J5^1155J及在舊甘兩梯胸箱網(wǎng)旃放?白球，然后任意取出-球，若發(fā)現(xiàn)

=0.089這球為白球，試求箱子中原有?口球的概率（箱中原有什么球

25.按以往概率論考試結果分析，努力學習的學生有90%的可能考試是等可能的顏色只有黑、白兩種）

及格，不努力學習的學生有90%的可能考試不及格.據(jù)調查，學生【解】設4=｛箱中原有i個白球｝3=0,1,2）,由題設條件知P（4）

中有80%的人是努力學習的，試問：1

=一,A0,1,2.又設A｛抽出一球為白球｝.由貝葉斯公式知

（1）考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？3

（2）考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？

尸（4⑻=3=尸?、萊4）

【解】設4=｛被調查學生是努力學習的｝,則/=｛被調查學生是不努P⑻￡尸（3⑷尸（4）

/=0

力學習的｝.由題意知P（/）=0.8,P（A）=0.2,又設8=（被調

__________2/3X1/3__________J_

-l/3xl/3+2/3xl/3+lxl/3-3

查學生考試及格｝.由題意知P（B\A）=0.9,P（B\A）=0.9,

28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，?個合格品被

故由貝葉斯公式知誤認為是次品的概率為0.02,一個次品被誤認為是合格品的概率

(1)為0.05,求在被檢查后認為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.

隔⑶=0口加(即)_【解】設4=｛產(chǎn)品確為合格品｝,從｛產(chǎn)品被認為是合格品｝

由貝葉斯公式得

P(B)P(N)P(8M)+P(/)PCBR)

P(4B)P(Z)尸(8⑷

P(Z|8)=

P(B)~P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)

0.2x0,1」=0.02702

0.8x0.9+0.2x0.137

即考試及格的學生中不努力學習的學生僅占2.702%0.96x0.98

=0.998

⑵0.96x0.98+0.04x0.05

29.某保險公司把被保險人分為三類：“謹慎的"，“一般的”，“冒失

的”.統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內發(fā)生事故的概率依次為因此

0.05,0.15和0.30；如果“謹慎的”被保險人占20%,“一般的”占

P(AB)=尸⑷P(5)

50%,“冒失的”占30%,現(xiàn)知某被保險人在一年內出了事故,則

他是“謹慎的”的概率是多少？故/與8相互獨憶

[解】設4=｛該客戶是“謹慎的"03=｛該客戶是“一般的”卜11

33.三人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為一，

O｛該客戶是“冒失的”卜3｛該客戶在年內出了事故｝53

則由貝葉斯公式得1

-,求將此密碼破譯出的概率.

P(AD)P(A)P(D\A)4

P(A\D)

P(D)一尸⑷P(Z)⑷+P(B)P(D\B)+P漫睢熔),則

p(U4)=1一尸(44U)二1一尸(4)尸(4)尸區(qū))

/=!

0.2x0.05423

=0.057=1——x-x-=0.6

0.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.3534

30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設第一、二、三、四道工序的34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設擊中的概率分別是

次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨立的,0.4A5,0.7,若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2：若有

求加工出來的零件的次品率.兩人擊中，則￡機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則匕機-

【解】設4=｛第i道工序出次品｝(21,2,3,4).定被擊落，求：飛機被擊落的概率.

4_____________【解】設/=｛飛機被擊落｝,3尸｛恰有，人擊中飛機｝,戶0123

尸(U4)=i-尸―4)

；=1由全概率公式，得

3

P(4)=ZP(/|即尸(即

=I-PQJP(4)P(4)P(4)/=0

=(0.4X0.5X0.3+0,6X0.5X03+0.6X0.5X0.7)0.2+

=1-0.98X0.97X0.95x0.97=0.124(0.4X0.5X03+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+04X

31.設每次射擊的命中率為0.2,問至少必須進行多少次獨立射擊才0.5X0.7

能使至少擊中一次的概率不小于0.9?=0.458

【解】設必須進行〃次獨立射擊.35.己知某種疾病患者的痊愈率為25%,為試臉一種新藥是否有效，

把它給10個病人服用，且規(guī)定若10個病人中至少有四人治好則

1一(0.8)〃之0.9

認為這種藥有效，反之則認為無效，求：

(1)雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%,但通過試驗被否

即為(0.8)H<0.1

定的概率.

故心11(2)新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率.

至少必須進行U次獨立射擊.

3

【解】(1)p]=Ze2(0.35)?(0.65)嗎=0.5138

32.證明：若尸(/I8)=P(AIB),則48相互獨立.￡=0

10

(證】15)=15)即

P(AP(A(2)0?=ZC：o(O25)”(0.75)|°”=0.2241

k=4

P(AB)_P(AB)

36.?架升降機開始時有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每?層.

P(B)-P(B)

試求下列事件的概率：

(1)4="某指定的一層有兩位乘客離開”；

亦即P(AB)P(B)=P(AB)P(B)

(2)8=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”：

(3)C="恰有兩位乘客在同一層離開”；

P(AB)[1-P(B)]=[P(A)-P(AB)]P(B)

(4)D="至少有兩位乘客在同一層離開”.

【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結0<x<a,0<y<a,0<￡j-r-><a所構成的圖形，有利事件集為由

果為10'1種.x-vy>a-x—y

C294x-^-(a-x-y)>y

(1)P(A)=6,,也可由6重貝努里模型：

106y+(a-x->,)>x

1O構成的圖形，即

尸⑼

(2)6個人在十層中任意六層離開，故0<x<—

2

P6

P(8)=T0<y<—

1062

a

(3)由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有—<x-\-y<a

C；o種可能結果，再從六人中選二人在該層離開，有C；種高

1

如圖陰影部分所示，故所求概率為P=~

開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況，因此可包含

以下三種離開方式：①4人中有3個人在同一層離開，另一-人39.某人有〃把鑰匙，其中只有如能開他的門他逐個將它們去試開

(抽樣是無放回的).證明試開4次(Q12…/)才能把門打開的

在其余8層中任一層離開，共有C；C：C；種可能結果：②4

概率與A無關.

人同時離開，有C；種可能結果：③4個人都不在同一層離開，p"l1

【證】P=~^~=一,k=T,2,???，H

P,:〃

有P；種可能結果，故

40.把?個表面涂有顏色的立方體等分為一千個小立方體，在這些小立

方體中，隨機地取出一個，試求它有i面涂有顏色的概率尸(4)

P(C)=C；°C：(C?C；+C；+P；)/l()6

</=0,1,2,3).

【解】設/產(chǎn)｛小立方體有，面涂有顏色｝,*0,123.

(4),故

在1千個小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是

三面有色的，這樣的小立方體共有8個.只有位于原立方體的棱

p6

P(D)=1-P(B)=1-端上(除去八個角外)的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方

體共有12X8=96個.同理，原立方體的六個面上(除去棱)的

37.n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：小立方體是?面涂色的，共有8X8X6=384個.其余1000-

(1)甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；(8+96+384)=512個內部的小立方體是無色的，故所求概率為

(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率：c12QR4

P(4)=--=0.512,尸(4)=^-=0.384,

(3)如果"個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.“10001000

1

【解】(1)P]=-----尸(4)==0.096,尸(4)=—=0.008.

n—\■100041000

41.對任意的隨機事件4,B,C,試證

P(AB)+P(AC)-P(BC)W0(4).

[證]

(3)

P(A)>P[A(BUC)]=P(AB\JAC)

，(〃一1)!1，3!(〃一2)!」

P、=—