高職高專高等數(shù)學(xué)教案

第L次課學(xué)時(shí)2

第一章函數(shù)與極限

授課題目（章，節(jié)）

§1函數(shù)

授課類型（請(qǐng)打J）理論課，口研討課口習(xí)題課口復(fù)習(xí)課口其他口

教學(xué)目的：

1、理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)定義域、值域的求解方法；

2、掌握函數(shù)的表示方法，會(huì)求解函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性。

教學(xué)方法、手段：

講授法，師生互動(dòng)，板書，課件展示

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)、定義域的求解；函數(shù)的兒種特性；

難點(diǎn)、定義域的求解；奇偶性的判斷。

補(bǔ)充內(nèi)容和

教學(xué)內(nèi)容及過(guò)程設(shè)計(jì)

時(shí)間分配

一、新教程序言

為什么要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

（1）文化基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)是一種文化，它的準(zhǔn)確性、嚴(yán)格性、應(yīng)用廣泛性，是現(xiàn)代社會(huì)文

明的重要思維特征，是促進(jìn)社會(huì)物質(zhì)文明和精神文明的重要力量；（5分鐘）

（2）開發(fā)大腦——數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操，對(duì)于訓(xùn)練和開發(fā)我們的大腦（左腦）有全面

的作用；

（3）知識(shí)技術(shù)——數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)，是我們生活和工作的一

種能力和技術(shù)；

（4）智慧開發(fā)——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是培養(yǎng)人的思維能力，這種能力為人的一生提供持續(xù)

發(fā)展的動(dòng)力。

二、講授新課

（10分鐘）

利用現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)實(shí)例（勻速運(yùn)動(dòng)），引起學(xué)生的興趣，進(jìn)一步使學(xué)生想了解什

么是函數(shù)，好奇心吸引學(xué)生們認(rèn)真聽(tīng)課。順利引出函數(shù)。

1、函數(shù)的定義（課件展示）（10分鐘）

說(shuō)明：函數(shù)是變量間的?種對(duì)應(yīng)關(guān)系（單值對(duì)應(yīng)），函數(shù)的表達(dá)式如下：

y=f（x）,xeD

（1）定義域：自變量的取值集合（C）。

（2）值域：函數(shù)值的集合，即==f（x）?

，A-X00

2、函數(shù)的二要素（板書）

構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)重要因素：定義域和對(duì)應(yīng)法則。

（10分鐘）

如果兩個(gè)函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是相同的。（熟記）

注意：為了使定義域在數(shù)學(xué)上有意義，要求，

（1）分母不能為0。如f（x）=工時(shí)

X

（2）偶次根號(hào)下非負(fù)。如/（x）=4時(shí)

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0。如/(x)=In'

(4)正切符號(hào)下的式子不等于版■+^,keZ。

2

(5)余切符號(hào)下的式子不等于版'deZ。

(6)反正弦、反余弦符號(hào)下的式子絕對(duì)值小于等于1。

例1求函數(shù)y=/I的定義域。

y/2x-4

例2確定函數(shù)/(x)=j3+2x-x2+ln(x-2)的定義域。

說(shuō)明：根據(jù)學(xué)生們做題的情況，老師仔細(xì)深刻地講解，加深學(xué)生對(duì)定義域求解的理解

和掌握。

3、函數(shù)的表示方法(10分鐘)

通過(guò)板書結(jié)合實(shí)例，簡(jiǎn)述函數(shù)的表示方法，并且給出函數(shù)讓學(xué)生用不同的方法表示該

函數(shù)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的表示方法的理解。

4、分段函數(shù)(10分鐘)

分段函數(shù)：對(duì)自變量的不同取值范圍，函數(shù)用不同的表達(dá)式。

例如：符號(hào)函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。

分段函數(shù)的定義域：不同自變量取值范圍的并集。

注意：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)先確定自變量取值的所在范圍，再按照其對(duì)應(yīng)的式

子進(jìn)行計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)例題的講解，加深學(xué)生對(duì)于分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)

(10分鐘)

5、函數(shù)常見(jiàn)的幾種基本特性(課件展示，板書輔助)

函數(shù)常見(jiàn)的四種基本特性：奇偶性，周期性，單調(diào)性，有界性。

講解思路：(1)給出奇偶函數(shù)的圖形，對(duì)比性地進(jìn)行講解：

(2)通過(guò)例題講解，示范最小正周期的求解方法

(3)給出一些函數(shù)，提問(wèn)學(xué)生函數(shù)是否有界。

三、例題分析

(15分鐘)

例1y=sinx的定義域?yàn)?-oo,+oo),值域?yàn)椋?1,1］。

例2y=JTT1的定義域?yàn)椋郇Dl,+oo),值域?yàn)椋?,+00)。

1>0

例3設(shè)/(x)=(0,x=0,求/(2),/(0)和/(-2)。

—1,x<0

解/(2)=1,"0)=0，/(-2)=-1?

注意：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)先確定自變量取值的所在范圍，再按照其對(duì)應(yīng)的式

子進(jìn)行計(jì)算。

四、課堂小結(jié)

1.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則；

2.函數(shù)的特性：有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性；

(10分鐘)

師生互動(dòng)，提問(wèn)學(xué)生本次課程相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題。

-2-

思考題、作業(yè)題、討論題：

思考題：

1、確定一個(gè)函數(shù)需要考慮哪幾個(gè)基本要素？［定義域、對(duì)應(yīng)法則］

2、兩個(gè)函數(shù)相同的條件有那些？［定義域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)兩函數(shù)相同］

2、思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義？［奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性］

作業(yè)題：

P22、1(1,3);2(1,3)；3(1,3)

課后總結(jié)分析:

-3-

第2次課學(xué)時(shí)2

第一章、函數(shù)與極限

授課題目（章，節(jié)）

§2初等函數(shù)、數(shù)列的極限

授課類型（請(qǐng)打J）理論課J口研討課口習(xí)題課口復(fù)習(xí)課口其他口

教學(xué)目的：

1、了解幾種基本初等函數(shù)，掌握復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)判斷函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)；

2、掌握數(shù)列的概念，會(huì)求解數(shù)列的極限以及判斷數(shù)列極限的收斂性和發(fā)散性。

教學(xué)方法、手段：

以講授為主，師生互動(dòng)、習(xí)題訓(xùn)練為輔，板書、課件展示。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)；數(shù)列的極限：

難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的判斷；數(shù)列極限的求解；

補(bǔ)充內(nèi)容和

教學(xué)內(nèi)容及過(guò)程設(shè)計(jì)

時(shí)間分配

一、知識(shí)回顧（板書）

（10分鐘）

采用提問(wèn)的方式帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)上次課的主要內(nèi)容。

二、講授新課

（15分鐘）

L基本初等函數(shù)（課件展示，板書輔助）

熟記：六種基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。

板書：結(jié)合圖形，講解六種基本初等函數(shù)的定義域，值域及性質(zhì)。（15分鐘）

2.復(fù)合函數(shù)（板書給出）

說(shuō)明：（1）并非任意幾個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

如：y=ln"，"=-/就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

（2）復(fù)合函數(shù)的定義域：各個(gè)復(fù)合體定義域的交集。

（3）復(fù)合函數(shù)的分解從外到內(nèi)進(jìn)行；復(fù)合時(shí)，則直接代入消去中間變量即可。

強(qiáng)調(diào)：在求兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合時(shí)，注意中間變量的取舍。

板書：給出例題，讓學(xué)生們做練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)的理解和掌握。

復(fù)合函數(shù)反映了事物聯(lián)系的復(fù)雜性。

（10分鐘）

3.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)

式子表示的函數(shù)，叫做初等函數(shù)；否則，不是初等函數(shù)。

說(shuō)明：（1）一般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但、=1x1是初等函數(shù)；

（2）初等函數(shù)的一般形成方式：復(fù)合運(yùn)算、四則運(yùn)算

4.數(shù)列的概念（課件展示）

板書：舉出例子，配合講解數(shù)列的概念，引起學(xué)生對(duì)于數(shù)列的極限的意識(shí)。（10分鐘）

5.數(shù)列的極限（課件展示）

根據(jù)下面的一個(gè)例子引出數(shù)列極限的概念。

（15分鐘）

半徑r的圓內(nèi)接正多邊形面積S”=/（〃），〃為正多邊形的邊數(shù)，當(dāng)"越來(lái)越大時(shí)，S”就

越來(lái)越接近圓的面積，當(dāng)“無(wú)限增大時(shí)，S“就無(wú)限接近圓的面積。這時(shí)，我們說(shuō)S“以圓的

面積為極限。

-4-

通過(guò)對(duì)以卜.例子的講解，使學(xué)生更進(jìn)?步地理解數(shù)列極限的概念，并且會(huì)運(yùn)用數(shù)列極

限的概念去解題。

例如：當(dāng)〃-8時(shí)，％=-!-收斂于0；

當(dāng)〃->8時(shí)，yn=1+，收斂于1；

n

當(dāng)〃->8時(shí)，力=〃無(wú)極限，發(fā)散；

當(dāng)時(shí)，%="(-I)"時(shí)而取0,時(shí)而取1,震蕩無(wú)極限，因而也是發(fā)散的。

'2

注意：數(shù)列極限的收斂性。

三、課堂演練

例1、分解下列復(fù)合函數(shù)；

(1)y=&+l(2)(10分鐘)

例2、求下列數(shù)列的極限并說(shuō)明其收斂性；

1,,,..........，1,1,....,(1),....，

23n

14〃+(—1產(chǎn)

2,4,6,....，乙,,,....,,....,

23n

其通項(xiàng)分別為1,(―1)1,2〃,」十(二D”：。

nn

四、課堂小結(jié)

1、初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限四則預(yù)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成；

2、數(shù)列極限：直觀描述，精確定義，幾何意義

3、數(shù)列的收斂性：如果一個(gè)數(shù)列有極限，則稱該數(shù)列是收斂的，否則稱為發(fā)散的(5分鐘)

思考題、作業(yè)題、討論題：

思考題：

舉例說(shuō)明兩個(gè)任意的函數(shù)能夠復(fù)合成個(gè)函數(shù)嗎？

作業(yè)題：

P22:4；6；

課后總結(jié)分析：

-5-

第a次課學(xué)時(shí)2

第一章函數(shù)與極限

授課題目（章，節(jié)）

§3數(shù)列的左右極限

授課類型（請(qǐng)打J）理論課J口研討課口習(xí)題課口復(fù)習(xí)課口其他口

教學(xué)目的：

1、掌握函數(shù)極限的概念，運(yùn)用函數(shù)極限的概念求函數(shù)的極限；

2、理解函數(shù)左右極限的的概念，會(huì)利用函數(shù)左右極限判斷函數(shù)的極限是否存在。

教學(xué)方法、手段：

講授法，板書、課件展示。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)的極限及函數(shù)極限的求法；

難點(diǎn)：左極限與右極限。

補(bǔ)充內(nèi)容和

教學(xué)內(nèi)容及過(guò)程設(shè)計(jì)

時(shí)間分配

一、復(fù)習(xí)基本知識(shí)一T列極限

1、數(shù)列的概念；（1。分鐘）

2、數(shù)列極限的概念；

二、講授新課

（5分鐘）

=工的圖形。

引例：函數(shù)/（X）

X

老師通過(guò)對(duì)引例的講解，使學(xué)生們對(duì)函數(shù)的極限有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，最后給出極限的

定義。

（20分鐘）

1、當(dāng)X-8時(shí)，函數(shù)"X）的極限（課件展示）

（1）函數(shù)/（X）當(dāng)X趨向于無(wú)窮（記為Xf8）時(shí)的極限，記為

limf（x）=A或當(dāng)x—>8時(shí)，f（x）—>Ao（熟記）

X->00

（2）函數(shù)〃x）當(dāng)x趨向于正無(wú)窮（記為xf+8）時(shí)的極限，記為

lim/(x)=A或當(dāng)x->+oo時(shí)，/(x)f4。(熟記)

—

（3）函數(shù)“X）當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮（記為xf-oo）時(shí)的極限，記為

limf(x)=A或當(dāng)x—時(shí)，/(x)->Ao(熟記)

XT-00

lim/(x)=A的充分必要條件是limf(x)=4且lim/(x)=A.(結(jié)論)

XTOOXT+OOXT—00

注：x>0,x無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值〃x）=!無(wú)限接近于0；

X

X<Q,x無(wú)限減小時(shí)，函數(shù)值/（X）=,無(wú)限接近于0。

（10分鐘）

2、當(dāng)時(shí)，函數(shù)/（x）的極限

函數(shù)/（X）當(dāng)R趨向于殉時(shí)的極限，記作

-6-

lim/(x)=A或/(x)->A(xfx°)(熟記)

(15分鐘)

3、函數(shù)左右極限的概念

函數(shù)/5)當(dāng)xf勺時(shí)的左極限，記為lim/(x)=A.

xfx()

函數(shù)/(x)當(dāng)xfX。時(shí)的右極限，記為lim+/(x)=A；

注：左右極限統(tǒng)稱為函數(shù)/(x)的單側(cè)極限。

函數(shù)/5)的極限與左、右極限有以下關(guān)系：

lim/(x)=4的充分必要條件是limf(x)=lim/(x)=A。

XfZ)X->XoA-

注：我們主要利用此充要條件來(lái)驗(yàn)證某些函數(shù)主要是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限情

況。(20分鐘)

三、課堂演練

例1:求下列函數(shù)的極限

/、3x24-2/c、r/112

(1)hm-----------；(2)lim(------------------)；

―01,-x+5XT-2x+2AT+8

r—4

(3)lim-----=——；(4)lim------.；

…4x^-11>]_J1+X2

x+1,-oo<x<0;

例2：試求函數(shù)〃x)=?/,04x41;在x=0和x=l處的極限。

1,X>lo

(10分鐘)

四、課堂小結(jié)(師生互動(dòng))

1、函數(shù)的概念：趨于無(wú)窮時(shí)的極限概念，趨于正無(wú)窮、負(fù)無(wú)窮時(shí)的極限概念，趨于

某一點(diǎn)的極限概念；

2、函數(shù)的左右極限。

3、極限是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)。

-7-

思考題、作業(yè)題、討論題:

思考題：

1、函數(shù)在趨于無(wú)窮和某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極限在定義上有什么區(qū)別？

作業(yè)題：

P221.7(1)-(10),1.8.

課后總結(jié)分析:

-8-

第工_次課學(xué)時(shí)—2

第一章函數(shù)與極限

授課題目（章，節(jié)）

§4極限的性質(zhì)極限的運(yùn)算

授課類型（請(qǐng)打J）理論課J口研討課口習(xí)題課口復(fù)習(xí)課口其他口

教學(xué)目的：

1、理解極限的惟一性、有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則，以及極限性質(zhì)的推論；

2、熟練掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則，并且會(huì)用極限的運(yùn)算法則求函數(shù)的極限。

教學(xué)方法、手段：

講授法，板書，課件展示。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：會(huì)利用函數(shù)極限的運(yùn)算法則求函數(shù)的極限；

難點(diǎn)：函數(shù)的極限的運(yùn)算法則。

補(bǔ)充內(nèi)容和

教學(xué)內(nèi)容及過(guò)程設(shè)計(jì)

時(shí)間分配

一、復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)——函數(shù)的極限（課件展示）

1、函數(shù)在不同情況下的極限的概念；（熟記）（10分鐘）

2、函數(shù)的左右極限。（理解）

二、講授新課

1>極限的性質(zhì)

在講極限的性質(zhì)之前，給出兩個(gè)新的概念：鄰域和去心鄰域。（了解）（20分鐘）

開區(qū)間（X。-3,%+3）稱為點(diǎn)X。的鄰域；

開區(qū)間-b,Xo）u（x0,x0+3）稱為點(diǎn)x0的去心鄰域,其中6>0。

極限的性質(zhì)：（了解）

（1）惟一性；（2）有界性；

（3）局部保號(hào)性；局部保號(hào)性的推論；（4）夾逼準(zhǔn)則。

根據(jù)函數(shù)的圖形，一一講解極限的性質(zhì)，使學(xué)生們對(duì)函數(shù)的極限有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)

和理解。

2、極限的運(yùn)算（熟記）（20分鐘）

（1）極限的可加（減）性；

（2）極限的可乘性；

（3）極限的可除性.

老師根據(jù)例題對(duì)上血極限的運(yùn)算一一進(jìn)行了講解，通過(guò)對(duì)極限運(yùn)算法則的講解給出如

下折推論。

推論1常數(shù)可以提到極限號(hào)前，即limCf（x）=Climf（x）=CA。

推論2若m為正整數(shù),則=[lim/（x）]”=4"。

注意：在不能直接用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，可先考慮將函數(shù)適當(dāng)變形，再考慮5分鐘學(xué)生消

能否用極限的四則運(yùn)算法則。常用的變形方法有：通分，約去非零因子，用非零因子同乘化以上所講

或同除分子分母，分子或分母有理化。的知識(shí)。

-9-

三、課堂演練

例1:求下列函數(shù)的極限（25分鐘）

(1)lim="+4；(2)lim(--hY~~-；

XT2公—4力->0h

,c、［.x?+3,d、1.—3x~+1

(3)hm--------；(4)lim----------；---

3x-2^5x3+3x2-2

例2：求下列函數(shù)的極限

(1)lim(x2+8x-7)o

X->1

(2)lim^3X±2。

2

XT2X-X-2

四、課堂小結(jié)（提問(wèn)的方式）

（10分鐘）

1、極限的性質(zhì)：惟一性、有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則：

2、極限的運(yùn)算法則：可加（減）性，可乘性，可除性。

思考題、作業(yè)題、討論題：

思考題：

在某個(gè)過(guò)程中，若/（x）有極限、g（x）無(wú)極限，那么/G）+g?是否有極限？為什么？，(x)-g(x)是

否有極限？

作業(yè)題：

求下列各極限：

(1)lim7；(2)limf9］；(3)lim

xfsx-3x+l12(12_4X-2Jx-0

1-v_3r33x2-2x-l

(4)lim---------------；(5)lim^------------。

］+x+4xx-x+2

課后總結(jié)分析：

-10-

第三次課學(xué)時(shí)2

第一章函數(shù)與極限

授課題目（章，節(jié)）

§5無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

授課類型（請(qǐng)打J）理論課J口研討課口習(xí)題課口復(fù)習(xí)課口其他口

教學(xué)目的：

1、正確理解無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念，了解無(wú)窮小量的性質(zhì)；

2、掌握無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。

教學(xué)方法、手段：

講授法，板書。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念及它們的關(guān)系；

難點(diǎn)：無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。

補(bǔ)充內(nèi)容和

教學(xué)內(nèi)容及過(guò)程設(shè)計(jì)

時(shí)間分配

一、復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)——極限的性質(zhì)及運(yùn)算

（10分鐘）

1、極限的性質(zhì)

2、極限的運(yùn)算

二、新課引入

給出一個(gè)函數(shù)/*）=’的圖形，生動(dòng)形象地講解此函數(shù)的極限是趨向于0的，通過(guò)講

X

解引發(fā)學(xué)生們的思考，引出無(wú)窮小量。

（25分鐘）

三、講授新課

1、無(wú)窮小量

limfW=O為無(wú)窮小量；（理解）

例如：因?yàn)閘imx2=o,limsinx=O,所以一，sinx均是當(dāng)/->0時(shí)的無(wú)窮小。

Xf（）Xf（）

因?yàn)閘im（x-l）=O,lim（x2_i）=o,所以x-l,d_］均為當(dāng)1-1時(shí)的無(wú)窮小。

因?yàn)閘im—=0,lim—!—=0,所以1,一!一均為當(dāng)8時(shí)的無(wú)窮小。

XT8XXT9%-1xx-1

注意：（1）確定/（X）是無(wú)窮小，需指出X的變化趨勢(shì)；

（2）絕對(duì)值很小的常數(shù)，不是無(wú)窮小，因?yàn)檫@個(gè)常數(shù)的極限是常數(shù)本身并不是

零。

（3）常數(shù)中只有零是無(wú)窮小，因?yàn)樗臉O限為零。

例如/（x）=_!_是當(dāng)Xf8是的無(wú)窮??；而當(dāng)X趨于常數(shù)時(shí)，不再是無(wú)窮小。

X+1

（15分鐘）

2、無(wú)窮小量的性質(zhì)（理解）

（1）無(wú)窮小的可加性；

（2）無(wú)窮小的可積性；

-11-

（3）有界函數(shù)與無(wú)窮小的可積性；

（4）常數(shù)與無(wú)窮小的可積性。

老師利用板書通過(guò)例題以上面的性質(zhì)一一進(jìn)行講解。

（25分鐘）

3、無(wú)窮大量（課件展示）

limf(x)=ooo(無(wú)窮大量)

例如，，是當(dāng)x->0時(shí)的無(wú)窮大，記作lim—=oo；

xx—x

」一是當(dāng)x->l時(shí)的無(wú)窮大，記作lim」一=8；

x-1Xf1X-1

是當(dāng)x->+co時(shí)的無(wú)窮大，記作limex=+co；

X-?+00

Inx是當(dāng)x->0+時(shí)的無(wú)窮大，記作limInx=-coo

xf0+

老師采用提問(wèn)的方式對(duì)以上的例子進(jìn)行了講解，并得出以下注意項(xiàng)。

注意：（1）無(wú)窮大不是一個(gè)很大的數(shù)，它是一個(gè)絕對(duì)值無(wú)限增大的變量。

（2）確定函數(shù)/*）是無(wú)窮大，需指出自變量x的變化趨勢(shì)，例如函數(shù)“X）

X

5分鐘學(xué)生消

當(dāng)X-0時(shí)是無(wú)窮大；當(dāng)XT0O時(shí)，是無(wú)窮小。

化以上所講

（3）無(wú)窮大必為無(wú)界函數(shù)；反之無(wú)界函數(shù)不一定為無(wú)窮大。例如：當(dāng)Xf8時(shí)，

的知識(shí)。

f（x）=xsinx是無(wú)界函數(shù)，但不是無(wú)窮大量。

（4）無(wú)窮大是極限不存在的一種情形，這里借用極限的符號(hào)，但并不表示極限

存在。（10分鐘）

四、課堂小結(jié)（師生互動(dòng)）

1、無(wú)窮小的概念；

2、無(wú)窮小的性質(zhì)；

3、無(wú)窮大量的概念。

思考題、作業(yè)題、討論題：

思考題：

1、怎樣利用無(wú)窮小進(jìn)行等價(jià)替換?

-12-

課后總結(jié)分析:

-13-

第0次課學(xué)時(shí)—2

第一章函數(shù)與極限

授課題目(章，節(jié))

§6兩個(gè)重要極限

授課類型(請(qǐng)打J)理論課J口研討課口習(xí)題課口復(fù)習(xí)課口其他口

教學(xué)目的：

1、了解無(wú)論窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系，掌握無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較方法；

2、正確理解函數(shù)的兩個(gè)重要極限，并會(huì)用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限。

教學(xué)方法、手段：

講授法，板書，課件展示。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較方法，函數(shù)的兩個(gè)重要極限；

難點(diǎn)：無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較方法，運(yùn)用函數(shù)的兩個(gè)重要極限。

補(bǔ)充內(nèi)容和

教學(xué)內(nèi)容及過(guò)程設(shè)計(jì)

時(shí)間分配

一、復(fù)習(xí)基本知識(shí)——無(wú)窮小與無(wú)窮大(課件展示)

(10分鐘)

1、無(wú)窮小量的概念；

2、無(wú)窮小量的性質(zhì)；

3,無(wú)窮大量的概念。

二、講授新課

1、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系(作圖說(shuō)明)

結(jié)論：在自變量的同一變化過(guò)程中(注意：在極限符號(hào)中省略了自變量的變化趨勢(shì))，(15分鐘)

設(shè)/(x)#0,若limf(x)=8,則lim—-—=0,反之，若limf(x)=0,則lim—-—=8。

f(x)f(x)

老師利用板書通過(guò)例題對(duì)上述結(jié)論做進(jìn)一步的講解，使學(xué)生對(duì)無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系

有進(jìn)一步的理解。

2、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較

(15分鐘)

結(jié)論：(1)高階無(wú)窮?。?/p>

(2)低階無(wú)窮小；

(3)同階無(wú)窮?。?/p>

通過(guò)給出的例題對(duì)無(wú)窮小與無(wú)窮大的比較仔細(xì)講解，使學(xué)生壬確理解并會(huì)利用。

定理：如果當(dāng)X—時(shí)，a(x)?5(x),隊(duì)x)?。(x),且lim”存在,則lim

x—>XQx—a(x)

也存在，.且lim外包=lim也。

a(x)x->x()cc(x)

說(shuō)明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比時(shí)，分子、分母均可用等價(jià)無(wú)窮小替代。

注意：常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小，當(dāng)x-0時(shí)，有

sinx~x,tanx-x,1-cosx--x2,，-1?x,ln(l+x)~x等。5分鐘學(xué)生消

2

化以上所講

強(qiáng)調(diào)：等價(jià)無(wú)窮小中的x,可用含有X的表達(dá)式代替。的知識(shí)。

-14-

3、兩個(gè)重要極限（列表說(shuō)明）（熟記）（15分鐘）

sinx1

(1)lim------=1

x?-^0X

limfllY=e

(2)+

X)

三、課堂演練

（20分鐘）

例1求lim」一o

Xf1x-1

例2利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求下列函數(shù)的極限：

「sin4x/八tanx-sinx

(1)lim-----；⑵lim-----------o

2

iotan2xx-0xsinx

上皆「sin7x

例3計(jì)算hm-----o

x-^0X

、_L的rl-COSX

例4計(jì)算lim——--o

x1

計(jì)算limfl一■土］o

例5

x.5x)

x+2

、(x_iy)

例6計(jì)算lim----o

xr工+2y

四、課堂小結(jié)（提問(wèn)回答）

（10分鐘）

1、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系；

2、無(wú)窮小與無(wú)窮大的比較；

3、兩個(gè)重要極限。

思考題、作業(yè)題、討論題：

作業(yè)題：

1、求下列函數(shù)的極限。

八、r1-cosx..ln(l-x2)arcsin2x

(1)lim-----——；(2)hm-~r~—：(3)lim---------

iosin-xr->o-ijsinx…x+2x

2、計(jì)算下列函數(shù)的極限。

1

cotx

(1)lim1^1^；(2)limfl--V;(3)lim(1+3tanx)()

xrO4xx->0<2)x.0'

課后總結(jié)分析:

-15-

第次課學(xué)時(shí)2

第一章函數(shù)與極限

授課題目（章，節(jié)）

§7函數(shù)的連續(xù)性

授課類型（請(qǐng)打J）理論課J口研討課口習(xí)題課口復(fù)習(xí)課口其他口

教學(xué)目的：

1、了解增量的概念，熟練掌握函數(shù)的連續(xù)性；

2、正確理解函數(shù)的左右連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)的左右連續(xù)性判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)。

教學(xué)方法、手段：

講授法，板書，課件展示。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)的連續(xù)性以及它的左右連續(xù)性；

難點(diǎn)：函數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)的左右連續(xù)性。

補(bǔ)充內(nèi)容和

教學(xué)內(nèi)容及過(guò)程設(shè)計(jì)

時(shí)間分配

一、復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)——無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系及比較

（10分鐘）

1、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系；

2、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的比較；

3、兩個(gè)重要極限。

二、導(dǎo)入新課

通過(guò)對(duì)給出的兩個(gè)函數(shù)的圖象（一個(gè)是間斷的，一個(gè)是不間斷的）進(jìn)行的講解，引出（5分鐘）

函數(shù)增量的概念，從而也引出了函數(shù)的連續(xù)性。

三、講授新課

1、增量的概念（課件展示）（10分鐘）

注意：增量A"可正可負(fù)。當(dāng)A，，>0時(shí)，說(shuō)明變量“從數(shù)值對(duì)變到數(shù)值的是增加的；

當(dāng)A"<0時(shí)，說(shuō)明變量“從數(shù)值可變到數(shù)值“2是減少的。稱

△y=/（殉+-）-/（鄧）

為函數(shù)f（x）的增量。

2、函數(shù)連續(xù)性的概念（課件展示，板書輔助）

（15分鐘）

定義1：若limAy=O,則稱函數(shù)丫=/（x）在點(diǎn)與處連續(xù)，并且稱點(diǎn).（）為函數(shù)y=f（x）

Ar->0

的連續(xù)點(diǎn)。

定義2：若lim/（x）=/（x0）,則稱函數(shù)y=/（均在x（）處連續(xù)。

根據(jù)定義2的內(nèi)容，函數(shù)"X）在點(diǎn)和連續(xù)，需滿足如下條件：（重點(diǎn)且熟記）

①/（X）在點(diǎn)X。及附近有定義；

②lim/（x）存在；在

XT』

③lim/（x）=/（x0）。

XfXo

利用板書給出例題，老師通過(guò)例題講解函數(shù)的連續(xù)性，使學(xué)生們正確掌握函數(shù)的連

-16-

續(xù)性，并且會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性的定義求解函數(shù)的連續(xù)性。

3、函數(shù)的左右連續(xù)性

(15分鐘)

若lim/(x)=/*o)(或lim/(x)=/*())),

XT與X->XQ

則稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。處左連續(xù)(或右連續(xù))。即

limf(x)=limf(x)=f(x0)0

X->Xo-XfXo+

說(shuō)明：如果函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱“X)在該區(qū)間上連續(xù)，或者說(shuō)

/(X)是該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。

注：連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)而不間斷的曲線。

關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性有下面三點(diǎn)結(jié)論：5分鐘學(xué)生消

(1)基本初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內(nèi)，都是連續(xù)的；化以上所講

的知識(shí)。

(2)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不能為0)在它的定義區(qū)間內(nèi)，是連續(xù)函數(shù)；

(3)由連續(xù)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。

三、課堂演練

(20分鐘)

例1討論函數(shù)y在x=0的連續(xù)性。

[x-2x<0

例2求lim(2x-1)；

.V->1

例3求limsinx；

例4求lim尸一匯。

X-^XQx—XQ

四、課堂小結(jié)(師生互動(dòng))(10分鐘)

1、函數(shù)增量的概念；

2、函數(shù)連續(xù)性的概念；

3、函數(shù)的左右連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)的左右連續(xù)性函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)。

思考題、作業(yè)題、討論題：

思考題：

1、滿足函數(shù)連續(xù)的條件？

課后總結(jié)分析：

-17-

第2次課學(xué)時(shí)—2

第一章函數(shù)與極限

授課題目（章，節(jié)）

§8本章小結(jié)

授課類型（請(qǐng)打J）理論課口研討課口習(xí)題課口復(fù)習(xí)課J口其他口

教學(xué)目的：

1、帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)本章所學(xué)的知識(shí)中，鞏固學(xué)生對(duì)本章知識(shí)的理解和運(yùn)用。

教學(xué)方法、手段：

講授法，板書，課件展示。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：本章所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)；

難點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用本章所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)。

補(bǔ)充內(nèi)容和

教學(xué)內(nèi)容及過(guò)程設(shè)計(jì)

時(shí)間分配

一、基本概念

1、函數(shù)的定義；（20分鐘）

2、基本初等函數(shù)；

3、復(fù)合函數(shù)；

4、初等函數(shù)；

5、數(shù)列的極限；

6、函數(shù)的極限；

7、函數(shù)的左右極限；

8、函數(shù)的連續(xù)性；

9、函數(shù)的左右連續(xù)性。

二、基本性質(zhì)和方法（20分鐘）

1、函數(shù)的二要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則；（判斷兩個(gè)函數(shù)的相等性）

2、函數(shù)的四種特性

3、函數(shù)極限的性質(zhì)；

4,無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系；

5、無(wú)窮小的比較；

6、函數(shù)極限的運(yùn)算；

7、兩個(gè)重要極限。

三、例題講解（25分鐘）

例1求函數(shù)y=71的定義域。

'j2x-4

例2、將下列復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解。

（1）y=sin2x；（2）y=cosx2（,

x+1,-oo<x<0;

例3試求函數(shù)/（x）=<x2,0<x<1;在x=0和x=l處的極限。

Lx>L