2023高考數(shù)學(xué)難點突破專題訓(xùn)練六：排列組合、統(tǒng)計概率

2023高考數(shù)學(xué)難點突破專題訓(xùn)練（6）

排列組合、統(tǒng)計概率

★熱身訓(xùn)練

1.（廣東省深圳市高級中學(xué)（集團(tuán)）2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題）

屈原是中國歷史上第一位偉大的愛國詩人，中國浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立者和

代表作者，其主要作品有《離騷》《九歌》《九章》《天問》等.某校于2022年6月第一個周

舉辦“國學(xué)經(jīng)典誦讀”活動，計劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦讀一部

作品，則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為（）

2.（江蘇省常州高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）

在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.連續(xù)拋擲這個正四

面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“兩次記錄的數(shù)字

之和為奇數(shù)”，事件B為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)“，事件C為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件5與事件C是對立事件B.事件A與事件8不是相互獨立事件

C.P（A），（8）.P（C）=：D.尸（A8C）=（

OO

3.（江蘇省南通市海安市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）

經(jīng)驗表明，樹高y與胸徑x具有線性關(guān)系，為了解回歸方程的擬合效果，利用下列數(shù)據(jù)計算

殘差，用來繪制殘差圖.

胸徑x/cm18.219.122.324.526.2

樹高的觀測值），/m18.919.420.822.824.8

樹高的預(yù)測值Wm18.619.321.523.024.4

則殘差的最大值和最小值分別是

A.0.4,-1.8B.1.8,-0.4C.0.4,-0.7D.0.7,-0.4

4.（遼寧省大連市2023屆高三上學(xué)期期末雙基測試數(shù)學(xué)試題）

若二項式（依+1）（a>0）的展開式中所有項的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項為

（）

A.10B.15C.25D.30

5.（福建省廈門雙十中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）

在某班進(jìn)行演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位男生，2位女生，如果2位女生不

能連著出場，且男生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為（）

A.12B.24C.36D.60

6.（福建省廈門雙十中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）

有4個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球.甲

表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示

事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6"，則（）

A.甲與丁相互獨立B.乙與丁相互獨立

C.甲與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

7.（江蘇省南通市海安市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）

（多選題）將樣本空間。視為一個單位正方形，任一事件均可用其中的區(qū)域表示，事件發(fā)

生的概率為對應(yīng)區(qū)域的面積.如圖所示的單位正方形中，區(qū)域I表示事件4B,區(qū)域II表示

事件4瓦區(qū)域I和HI表示事件8,則區(qū)域IV的面積為

A.P（而）B.P（A+B）C.P（A\B）P（B）D.P（A）P（B）

8.（江蘇南通如東高級中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級12月月考）

（多選題）甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A,B,C,。四所山區(qū)學(xué)校參加支教活

動，要求每所學(xué)校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所學(xué)校支教，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.不同的安排方法共有240種

B.甲志愿者被安排到A學(xué)校的概率是5

4

C.若A學(xué)校安排兩名志愿者，則不同的安排方法共有120種

D.在甲志愿者被安排到A學(xué)校支教的前提下，A學(xué)校有兩名志愿者的概率是:2

9.（廣東省深圳市高級中學(xué)（集團(tuán)）2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題）

在（x+l）（2x-iy的展開式中，V的系數(shù)是—Too..（用數(shù)字作答）

10.（江蘇省蘇北四市（徐州、淮安、宿遷、連云港）2022-2023學(xué)年度高三年級第一次調(diào)研

測試數(shù)學(xué)試題）

某學(xué)校組織1200名學(xué)生進(jìn)行“防疫知識測試”.測試后統(tǒng)計分析如下：學(xué)生的平均成績?yōu)楣?

80,方差為$2=25.學(xué)校要對成績不低于90分的學(xué)生進(jìn)行表彰.假設(shè)學(xué)生的測試成績X近

似服從正態(tài)分布/）（其中〃近似為平均數(shù)1,標(biāo)近似為方差s2,則估計獲表彰的學(xué)生人

數(shù)為.（四舍五入，保留整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布M//,標(biāo)），則P（//—cr<X<〃+<7）=0.6827,

P（//-2（7<X</Z+2<7）=0.9545,P（//-3<T<X<JU+3（T）=0.9973.

11.（江蘇省常州高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）

靈活就業(yè)的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競、電商這些新興產(chǎn)

業(yè)上.只要有網(wǎng)絡(luò)、有電腦，隨時隨地都可以辦公.這些崗位出現(xiàn)的背后都離不開互聯(lián)網(wǎng)的

加速發(fā)展和短視頻時代的大背景.甲、乙兩人同時競聘某公司的主播崗位，采取三局兩勝制

2

進(jìn)行比賽，假設(shè)甲每局比賽獲勝的概率為且每局比賽都分出了勝負(fù).

⑴求比賽結(jié)束時乙獲勝的概率；（6分）

（2）比賽結(jié)束時，記甲獲勝的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列.（6分）

12.(江蘇省蘇北四市(徐州、淮安、宿遷、連云港)2022-2023學(xué)年度高三年級第一次調(diào)研

測試數(shù)學(xué)試題)

第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊通過

點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍.

(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三

個方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即

使方向判斷正確也有］的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在

前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，

球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳

向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球之前球在

甲腳下的概率為p“，易知pi=l,p2=2.

①試證明：｛p“T為等比數(shù)列；箔

②設(shè)第"次傳球之前球在乙腳下的概率為機(jī)，比較“o與切。的大小.、凝

國

FIFAWORLDCUP

Q/W

13.(山東煙臺高三上期期末達(dá)標(biāo)卷學(xué)試題)

(12分)由中央電視臺綜合頻道(CCTV-1)和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青

年電視公開課.每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟,

給予中國青年現(xiàn)實的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的

社會問題，受到了青年觀眾的喜愛.為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機(jī)調(diào)查了4,

B兩個地區(qū)的100名觀眾，得到如下所示的2x2列聯(lián)表.

非常喜歡喜歡合計

A3015

BXy

合計

已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾來自8地區(qū)且喜愛程度為“非常喜歡”

的概率為0.35.

(1)現(xiàn)從100名觀眾中根據(jù)喜愛程度用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取喜

愛程度為“非常喜歡''的A,B地區(qū)的人數(shù)各是多少？

(2)完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)

系.

(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到喜愛程度為“非常喜歡”的

觀眾的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

n(ad-be)2

附：K2=>n=a+b+c+d,

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

2

P(K>k0)0.050.0100.001

心3.8416.63510.828

★高考引領(lǐng)

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文科第17題

【試題】

甲、乙兩城之間的長途客車均由4和8兩家公司運營.為了解這兩

家公司長途客車的運行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次

得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)

點的概率；

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與

客車所屬公司有關(guān)？

附.心<ad-bcy------,

'(a+6)(c+d)(a+c)(6+(/)

[0.1000.0500.101

k~\2.7063.8416.635,

【試題分析】

考查目標(biāo)為考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用和理性思維等學(xué)科素養(yǎng)，生活實

踐情境已成為高考試題的常用載體，它要求考生把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與設(shè)

問相聯(lián)系，考查考生的數(shù)據(jù)處理能力和數(shù)學(xué)建模能力?試題選取考生熟

悉的生活實踐情境——客車公司的準(zhǔn)點問題作為問題的載體精心設(shè)問，

考查以頻率估計概率的應(yīng)用，考查獨立性檢驗的方法及應(yīng)用.試題首先

以表格方式給出由簡單隨機(jī)抽樣得到的4和8兩家公司在甲、乙兩城之

間的500個客車班次的準(zhǔn)點和未準(zhǔn)點的樣本數(shù)據(jù)，第(1)問設(shè)計為估計

兩家公司客車的準(zhǔn)點概率，目的是考查用頻率估計概率的基本思想；

第(2)問考查獨立性檢驗，要求考生判斷客車的準(zhǔn)點率是否與客車所

屬公司有關(guān).

這兩個設(shè)問，充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科獨特的引領(lǐng)作用，體現(xiàn)了高考的

育人功能——使考生體會到數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于公司管理的必要性，即通過

統(tǒng)計分析結(jié)果來優(yōu)化企業(yè)管理，提高客車準(zhǔn)點率，以更好地為人民服務(wù).

試即考杳獨立性檢驗、用頻率估計概率等概率統(tǒng)計的必備知識，考查考

生的理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用及數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，考查考生的邏輯

思維能力、運算求解能力及數(shù)學(xué)建模能力，符合基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合

性的考查要求.

解題思路由表格數(shù)據(jù)，4和8兩家公司客車的準(zhǔn)點頻率分別為

益就石=1,用頻率估計相應(yīng)的概率，立即得到第（1）問的

答案；利用列聯(lián)表數(shù)據(jù)，得檢驗統(tǒng)計量片=理黑翳出誓=3.205,

由于3.205>2.706,由獨立性檢驗的方法知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙

兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān).

試題亮點試題以考生熟悉的客車準(zhǔn)點問題為背景命制，貼近生活,

易于理解，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計知識與社會生活的密切聯(lián)系,體現(xiàn)了統(tǒng)計

學(xué)在實際問題中的應(yīng)用.試題的兩個設(shè)問都比較基礎(chǔ)，注重對基本概念、

基本方法的考查，同時考查考生的數(shù)據(jù)處理能力，利用概率與統(tǒng)計知識

分析、處理實際問題的能力.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第2題

【試題】

某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識?為了解講座

效果，隨機(jī)抽取1。位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃

圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率

如下圖：

居民猿號

則

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識為背景進(jìn)行設(shè)計,

充分體現(xiàn)了高考立德樹人的核心功能.

試題首先給出隨機(jī)抽取的10位居民在垃圾分類講座前后問卷答題的

正確率的散點圖，基于散點圖中數(shù)據(jù)設(shè)計問題，考查考生對樣本平均數(shù)、

中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等概念和意義的理解，以及從散點圖中提取信息

的能力.

試題通過生動的生活實踐情境，使考生體會到普及垃圾分類知識的

效果，有利于培養(yǎng)考生正確的情感態(tài)度和價值觀.設(shè)問基于樣本的基本

數(shù)字特征這一概率統(tǒng)計學(xué)科的必備知識，考查了考生的理性思維、數(shù)學(xué)

應(yīng)用等數(shù)學(xué)學(xué)科索養(yǎng)，考查了考生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力.通

過答題，考生理解了統(tǒng)計學(xué)在實際問題中的應(yīng)用，符合綜合性、應(yīng)用性

的考查要求.

解題思路

思路I根據(jù)散點圖，講座前問卷答題正確率的10個數(shù)據(jù)中，小于

或等于70%的為5個，這意味著中位數(shù)必然大于70%,故選項A錯誤.

講座后問卷答題正確率的10個數(shù)據(jù)中，有1個為80%,4個為

85%,其余數(shù)據(jù)大于或等于90%.經(jīng)估算知，平均數(shù)大于85%,故選項

B正確.

從散點圖可以看出，與講座后的正確率的數(shù)據(jù)相比，講座前問卷答

題正確率的數(shù)據(jù)更為分散，故標(biāo)準(zhǔn)差更大，故選項C錯誤.

從散點圖可直接看出，講座前正確率的極差更大，故選項D

錯誤.

思路2根據(jù)散點圖可知，講座前問卷答題正確率的中位數(shù)為

y(70%+75%)>70%,故選項A錯誤.

由散點圖中數(shù)據(jù)計算知，問卷答題正確率的平均數(shù)為89.5%,故選

項B正確.

從散點圖可以看出，與講座后問卷答題的正確率數(shù)據(jù)相比，講座而

問卷答題的正確率數(shù)據(jù)更為分散，故標(biāo)準(zhǔn)差更大，故選項C錯誤?

由圖中數(shù)據(jù)計算可知，講座前的正確率極差為95%-35%=65%，講

座后問卷答題正確率的極差為100%-80%=20%,故選項D錯誤.

--?--??一■_..A.?(、土

試題亮點試題貼近考生的生活實際，體現(xiàn)了統(tǒng)計知識與社會生活

的密切聯(lián)系，符合當(dāng)前綠色生活、綠色發(fā)展的時代要求，有助于考生樹

立正確的價值觀.散點圖是一種直觀的基本統(tǒng)計工具，平均數(shù)、中位數(shù)、

標(biāo)準(zhǔn)差和極差則是常見的樣本數(shù)字特征?試題設(shè)問立足于對統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)

知識的考查，有助于學(xué)生對基本統(tǒng)計方法、基本數(shù)字特征的理解與掌握，

符合課程標(biāo)準(zhǔn)對統(tǒng)計知識教學(xué)的要求.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第15題

【試題】

從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率

為.

【試題分析】

考查目標(biāo)正方體是高中數(shù)學(xué)空間圖形中最基本、最常用、最重要

的幾何體之一，也是生活中體現(xiàn)對稱美的典型圖形?首先，正方體中的

點、線、面的位置關(guān)系包涵了空間圖形中所有的位置關(guān)系；其次，它與

代數(shù)、三角、解析幾何有著密切聯(lián)系.而對稱的8個頂點，因其位置關(guān)

系構(gòu)成多種情況，具有不確定性，因此可以自然地與概率問題掛鉤.立

體幾何與概率都是考生熟悉的問題，試題以它們?yōu)楸尘霸O(shè)計概率問題，

考生可通過空間想象和相關(guān)的概率知識得到答案.通過對試題的求解，

考生可以領(lǐng)會到概率的魅力及其在空間幾何中的體現(xiàn).

試題選取考生熟悉的課程學(xué)習(xí)情境——正方體，既考查了正方體中

關(guān)于點與直線、直線與直線、直線與平面、平面與平面等位置關(guān)系的基

礎(chǔ)知識和基本方法，又考查了初等概率中的古典概型問題及相關(guān)的基本

計數(shù)方式?試題主要考查了考生的邏輯思維能力和空間想象能力，既是

對關(guān)鍵能力和必備知識的考查，同時也符合基礎(chǔ)性、綜合性的考查要求.

解題思路

思路1從正方體的8個頂點中任選4個，共有C；=70種.

若這4個點在同一個平面，當(dāng)且僅當(dāng)4個點構(gòu)成正方體的2條平行

棱?正方體相互平行的2條棱共有3xC：=18組，故有18個平面，但正

方體每個表面上2組平行的對棱構(gòu)成一個平面，這樣有6個平面重復(fù)計

數(shù).從而這4個點在同一個平面的概率為臂=最

思路2從正方體的8個頂點中任選4個，共有C：=70種.

若這4個點在同一個平面,有兩種情況：一是這4個點同在正方體

的一個表面，共有6種；二是這4個點同在正方體的一個對角面(面對角

線與垂直于這個面的兩條平行樓構(gòu)成的平面)，也有6種.從而這個4點

在同一個平面的概率為曹=2.

試題亮點試題以考生熟悉的正方體為背景，考查的問題是簡單的

古典概率問題.試題注重對基礎(chǔ)知識的理解與靈活運用.試題中的知識

點均來源于教材.試題命制意在將空間幾何體與初等概率相結(jié)合，將直

觀想象和邏輯推理相結(jié)合，通過建立簡單模型融合多重知識點?試題有

助于深化基礎(chǔ)性、改變固化的命題形式，服務(wù)“雙減”，落實立德樹人

根本任務(wù).

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第19題

【試題】

甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方

得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)

校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為65,

0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【試題分析】

考查目標(biāo)概率論是課程標(biāo)準(zhǔn)中設(shè)置的重要知識，是中學(xué)數(shù)學(xué)的必

備知識，是體現(xiàn)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的重要組成部分.試題重在考查考

生對必備知識的掌握，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等方面的數(shù)學(xué)學(xué)

科素養(yǎng)，考查考生的運算求解、邏輯思維等方面的關(guān)鍵能力?

體育運動和體育比賽是學(xué)校體育教育的重要組成部分.體育競技項

目的比賽結(jié)果往往具有一定的隨機(jī)性，可以很自然地從中提煉各種各樣

的概率問題.試題以此為情景，問題的解決可以涉及概率論中的諸多知

識，如隨機(jī)事件間的關(guān)系與運算、概率的性質(zhì)與計算、事件獨立性的概

念與應(yīng)用、隨機(jī)變量的概念及其分布列的推導(dǎo)、數(shù)學(xué)期望的概念及其計

算等.試題考查了概率論諸多方面的知識及應(yīng)用，符合基礎(chǔ)性、綜合性、

應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求.

解題思路設(shè)A,表示事件“甲學(xué)校在第i個項目中獲勝"，

2,3.

(1)設(shè)8表示事件“甲學(xué)校獲得冠手”，則

B=44兒UAAAiUU-4|A2A3.

由題設(shè)得甲學(xué)校獲得冠軍的概率

P(B)=0,5x0,4x(1-0.8)+0.5x(1-0.4)x0.8+(1-0.5)x0.4x

0.8+0.5x0.4x0.8=0.6.

(2)X所有可能的取值為0,I。，20,30,且

P(X=0)=P(A44)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=P(AlA2Ai\jAiA2AJ\jAlA2A3)

=0,5x0,4x0.2+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.8

=0.44,

P(X=20)=P(4,A2A3A24JU4,A2A3)

=0,5x0,6x0.2+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.8

=0.34,

p(x=30)=P(AKA)=5x0.6x0.2=0.06.

故X的分布列為

X0102030

0.160.44034~~0.06

E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

試題亮點試題是通過創(chuàng)設(shè)生活實踐情境而編制的一道概率問題,

考查內(nèi)容豐富且都是中學(xué)數(shù)學(xué)的必備知識.試題不僅有效地考查了考生

對概率知識的掌握程度，還考查了考生的運算求解、邏輯思維等方面的

關(guān)鍵能力.

(1)試題考查的知識比較全面，不僅考直了隨機(jī)事件的概率、隨機(jī)

變量的分布列、隨機(jī)變址的數(shù)學(xué)期里這三個概率論中的核心概念，還考

查了它們的推導(dǎo)與計算.在體育比賽中，我們可以依據(jù)比賽雙方勝負(fù)關(guān)

系的歷史記錄以及在賽場上雙方隊員的競技狀態(tài)等方面信息，對雙方在

各項比賽中獲勝的概率做出預(yù)估.試題的解決能很好地體現(xiàn)概率統(tǒng)計知

識與方法的應(yīng)用價值.試題能有效地考查考生對概率知識的掌握程度以

及應(yīng)用創(chuàng)新能力，琴查了考生的理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用等數(shù)學(xué)學(xué)科索養(yǎng).

實現(xiàn)選拔拔尖創(chuàng)新人才的目的.

(2)試題以考生熟悉的體育比賽為背景，這樣的設(shè)計既自然，又貼

近考生生活實際,可以有效激發(fā)考生探究問題的熱情.試題有助于引導(dǎo)

考生關(guān)注學(xué)習(xí)和生活中的數(shù)學(xué)問題j,增強其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，真正實現(xiàn)高

考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第10題

【試題】

某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立?

已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為團(tuán)，P2,P3,且P3>P2>

Pl>0.記該棋手連勝兩盤的概率為P，則

A.P與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽，P最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

【試題分析】

考查目標(biāo)棋類比賽是高強度的腦力運動，也是高強度的體力運動,

是一種比智力、比技巧、比體力的全面競賽?試題選擇棋類比賽這一生

活實踐情境設(shè)計概率問題，充分體現(xiàn)了高考評價體系突出學(xué)生德智體美

勞全面發(fā)展的要求，既引導(dǎo)學(xué)生注重體育鍛煉與思維訓(xùn)練，又注重培養(yǎng)

學(xué)生的興趣和愛好.

試題考查獨立條件下多次隨機(jī)事件發(fā)生的概率，是伯努利試驗的推

廣,具有很強的理論背景，主要考查考生對基本獨立事件概率的掌握?

考生首先要分析、理解比賽規(guī)則，再考慮該棋手連勝兩盤的各種可能性?

試題通過設(shè)置一定的條件，考查分類討論、分類計數(shù)的思想.試題重在

考查考生的理性思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，考查考生邏輯思維能

力和運算求解能力，符合基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合性的考查要求，體現(xiàn)了

高考的核心價值和育人功能.

解題思路該棋手與甲、乙、丙三位棋手的比賽順序共有6種可能：

甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，該棋手連勝兩盤，

可以是第一、第二盤連勝（此時第3盤勝負(fù)均可），或第一盤輸?shù)诙?/p>

第三盤連勝.

思路1直接計算.該棋手在第二盤與甲比賽時，

P=P2P|+（l-P2）Pg+P3P|+（l-P3）PlP2

=2PI（P2+P3）-2PIP2P>

同理，該棋手在第二盤與乙比賽時，

P=2p2（Pi+P3）-2p）必.

該棋手在第二盤與丙比賽時，

P=2p3（P|+p2）-2pWzP3?

顯然，由內(nèi)邛2邛1>?？芍?，

Pl（PJ+PJ）<?2（Pl+PJ）<PJ（PI+?2）?

從而該棋手在第二盤與丙比賽時，P最大，故正確選項為D.

思路2特殊值法.為計算方便，可以把P-P1,P3設(shè)成具體的

數(shù)值.

設(shè)”=0.3,Pz=0.4,03=0.5,則該棋手在第二盤分別與甲、乙、丙

比賽時，P的值分別為0.42,0.52,0.58,可直接排除選項B和C,且p

的值與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序有關(guān)，進(jìn)而排除選項A,從而正

確選項為D.

試題亮點試題以考生熟悉的棋類比賽為載體,將數(shù)學(xué)試題與體育

運動相結(jié)合，啟發(fā)考生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并用所學(xué)知識來解決問

題.數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)生活.試題中蘊含的概率思想可以追溯到經(jīng)典

的伯努利試驗，但試題基于具體問題，易于理解，充分體現(xiàn)了創(chuàng)新性.

試題考查的知識點具體但不繁難，實現(xiàn)了通過增加思維強度來選拔拔尖

創(chuàng)新人才的目的,充分體現(xiàn)高考的改革精神，落實立德樹人的根本任務(wù).

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第13題

【試題】

從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都

入選的概率為.

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的社區(qū)服務(wù)為情境,注重數(shù)學(xué)與社會實

踐的關(guān)聯(lián).體現(xiàn)了高考立德樹人的核心功能.學(xué)生積極參加社區(qū)活動,

有助于樹立為人民服務(wù)的人生觀和社會主義核心價值觀.試題的情境充

分體現(xiàn)了高考評價體系將核心價值放在首位的要求.

試超考查古典概型和排列組合的計算，要求考生利用排列組合來計

數(shù)，再根據(jù)古典概率的定義得到所求概率.試題考查考生的理性思維、

數(shù)學(xué)應(yīng)用等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，

體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、應(yīng)用性的考查要求.

解題思路

思路1從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，選法

總數(shù)為C；=10,甲、乙都人選等價于從甲、乙之外的其他3名同學(xué)中選

3

1名.選法有3種，故所求概率為歷.

思路2從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，選法

總數(shù)為C；=10,其中甲入選的選法有C：種，甲人選而乙未入選的選法有

3

種，故甲、乙都入選的選法有c：-c；=3種，從而所求概率為證.

思路3設(shè)定5名同學(xué)的編號為例，1=1,2,3,4,5.其中甲、乙

分別為外，則從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作

的選法有以下10種：

其中甲、乙都入選的選法有3種：I叫.5.孫|,lw,.w:,w4|,[3.

3

叫，“I.因此所求概率為布?

試題亮點試題以選派學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)為情境，體現(xiàn)出高與立德

樹人的核心功能，符合考查核心價值的要求.試題實際背景源于生活，

使考生具有很好的感性認(rèn)識，有利于考生分析解決問題，試題著重考查

古典概率的計算，立足基礎(chǔ)，符合高考評價體系對該內(nèi)容的考核要求?

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第19題

【試題】

某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一

林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取rio棵這種樹木，測址每棵樹的根

部橫截面積(單位：nJ)和材積量(單位：m5),得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910總和

根部橫截面積*,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量＞,0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得￡4=0.038,￡4=1.6158,￡x,y,=0.2474.

(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材

積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精

確到0.01);

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這

種樹木的根部橫截面積總和為186mz.已知樹木的材積累與其根部橫截

面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估

計值.

Y.(*.-x)(y;-y)

附：相關(guān)系數(shù)r='J'，“二,71.896?=1.377.

-三"上也一刃，

【試題分析】

考查目標(biāo)統(tǒng)計學(xué)知識是課程標(biāo)準(zhǔn)中要求掌握的歪要知識，是中學(xué)

數(shù)學(xué)的必備知識，是考查中學(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的重要組成部

分.試期重點考查考生對統(tǒng)計學(xué)思想方法的掌握,考查考生的數(shù)據(jù)處理

能力、運算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力及創(chuàng)新能力，考查其數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)

學(xué)探索等數(shù)學(xué)學(xué)科索養(yǎng)，符合基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查

要求.

經(jīng)過多年的環(huán)境治理，昔日的荒山已經(jīng)改造成了綠水青山，治理的

成果如何是需要用數(shù)字說話的,同時，準(zhǔn)確的信息也是有關(guān)部門進(jìn)一步

制定發(fā)展規(guī)劃的重要依據(jù).治理成果的數(shù)址指標(biāo)可以有很多種，樹木的

材積最可能是其中一項重要指標(biāo).試題以如何有效而準(zhǔn)確地估計樹木的

材積址為情境.設(shè)計的問題既有現(xiàn)實意義，又蘊含了豐富的統(tǒng)計學(xué)思想，

很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.試題考杳的內(nèi)容豐富且基礎(chǔ)，涉及抽樣

調(diào)查、相關(guān)性分析及統(tǒng)計估計等諸多方面的知識與方法，考查了考生對

必備知識的掌握及學(xué)科素養(yǎng)，考查了考生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力.

解題思路

110

(1)由題設(shè)得，根部橫截面積的樣本平均數(shù))￡X,=0.06.材

1U,?I

1J2

積量的樣本平均數(shù)『=布￡y.=0.39,從而該林區(qū)這種樹木平均一棵的

根部橫截面積估計值為0.06m2,平均一棵的材積量估計值為0.39m,.

(2)由題設(shè)得

1010I10

E(苞-W)2=EW-高(Z再)2=0.002.

io10?10

Z(%-2,=Y/.)2=o.0948,

?0io?io10

2^(x,-x)(y,-y)=N*/-而(￡苞)(彳%)=0°”4.

因此這種樹木的根部橫枝面積與材枳ht的樣本相關(guān)系數(shù)

E(x,-x)(y,-y)

I■10.01341.34八—

-----------=-------=0.97.

Z-HIl<570.(X)2x().()948/L896

（3）該林區(qū)這種樹木的材積后總和與樹木的根部橫截面積總和的比

值的估計值為K=6.5,因此該林區(qū)的這種樹木總材積量的估計值為

U.O

186x6.5=1209nJ.

試題亮點試題通過創(chuàng)設(shè)生活實踐情境來編制一道統(tǒng)計題，考查內(nèi)

容豐富,具有較好的開放性、創(chuàng)新性，有諸多亮點.

（1）試題情境現(xiàn)實，具有時代感.試題考查的問題自然，有很強的

現(xiàn)實苣義.問題的解決能很好地體現(xiàn)概率統(tǒng)計知識與方法的應(yīng)用價值-

設(shè)計的問題能有效地考查考生對統(tǒng)計學(xué)知識的掌握程度.

（2）試題設(shè)計了三個問題.這三個問題緊密相關(guān)，是一個提出問

題、探究問題和解決問題的過程.首先要研究的問題是：如何既經(jīng)濟(jì)又

準(zhǔn)確地估計一片林區(qū)的某種樹木的材積量?為此，我們需要通過實地調(diào)

查和測所獲取統(tǒng)計數(shù)據(jù)，然后再對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理?試題的第（1）

問和第（2）問是為第（3）作準(zhǔn)備的,第（1）問是“估計該林區(qū)這種樹木平

均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量”，這是統(tǒng)計估計的基本問

題,也為估計該林區(qū)這種樹木的材積量:總和與樹木的根部橫截面積總和

的比值做好準(zhǔn)備.第（2）問是“求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材

積址的樣本相關(guān)系數(shù)”?這一問考查了樣本相關(guān)系數(shù)這一重要的統(tǒng)計概

念.通過對樣本相關(guān)系數(shù)的計算，可以看出根部橫截面積與材積址具有

很強的線性相關(guān)性.由此，可以進(jìn)一步想象這種線性相關(guān)性會體現(xiàn)在近

似的比例關(guān)系L,這就為第（3）問中的“已知樹木的材積H與其根部橫

截面積近似成正比”提供了統(tǒng)計依據(jù)?在第（I）問的菸礎(chǔ)上,第（3）問的

解決是容易的,但需要考生具備較好的統(tǒng)計估計方面的知識和統(tǒng)計思想.

以上問題的解決充分展現(xiàn)了提出問效、探究問題「［至解決問題的科學(xué)探

索過程,能有效地考%考生的數(shù)學(xué)探索的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模的思

想以及綜合運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.

⑶試題體現(xiàn)了社會主義新時代的偉大建設(shè)成就?考生通過對試題

的作答，能很好地體會我國在環(huán)境治理方面取得的偉大成就，進(jìn)一步增

強愛黨、愛國的熱忱試題很好地體現(xiàn)了新時代高考改革精神，真正實

現(xiàn)了高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能?

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國I卷第5題

【試題】

從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概

率為

【試題分析】

考查目標(biāo)試題既考查考生對互質(zhì)概念的理解，又考查對古典概率

計算的掌握?試題以隨機(jī)取數(shù)為背景，結(jié)合整數(shù)的互質(zhì)關(guān)系，設(shè)計了一

個古典概率計算題?從7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)的取法總數(shù)，既

可以用組合數(shù)公式計算,也可以通過直接枚舉得到；同時，考生須了解

互質(zhì)的含義，并準(zhǔn)確枚舉2個數(shù)互質(zhì)的取法總數(shù)，做到不重復(fù)不遺漏，

然后用古典概率的定義得到答案.通過對問題的求解，考生可領(lǐng)會分類

枚舉計數(shù)在古典概型中的應(yīng)用.

試題考查考生理性思維學(xué)科素養(yǎng)，考查考生邏輯思維能力和運算求

解能力，符合基礎(chǔ)性的考查要求.

解儂思路

思路1從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù),取法總數(shù)為

C：=21；

其中2個數(shù)互質(zhì)的情況為12,31,12,5|,|2,7|,|3,4(.|3,

51,13,7|,13,8|,|4,5|,|4,7|,|5,6|.|5,7|,|5,8|,

16.7|,17,8|,取法總數(shù)是14.

因此，從2至8的7個物數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù),這2個數(shù)互質(zhì)的

142

概率為匯=彳.故正確選項為D?

思路2從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù).取法總數(shù)為

C；=21.

其中2個數(shù)互質(zhì)的情況共有14種，分類計數(shù)如下：

與2互質(zhì)的，為7個數(shù)中的奇數(shù)，共有3個；

與3互質(zhì)且大于3的，為4至8中除去3的倍數(shù)的數(shù)，共有4個；

與4互質(zhì)且大于4的，為5至8中的奇數(shù)，共有2個；

與5互質(zhì)且大于5的，為6至8,共有3個；

與6互質(zhì)且大于6的，有1個；

與7互質(zhì)且大于7的，有】個；

142

因此.這2個數(shù)互質(zhì)的概率為斤=7.故正確選項為D.

試題亮點試題面向全體考生，以簡單的古典概率問題為依托，既

考查考生對互質(zhì)概念的理解，又考查計數(shù)、古典概率的基本計算?試題

解法多樣，有利于穩(wěn)定考生考試心態(tài)，促進(jìn)考生在考試中正常發(fā)揮?

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國I卷第20題

【試題】

一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)

慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不第良好網(wǎng)類）的關(guān)系,在已患該疾病的病例中

隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組）,同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)直

了100人（稱為對照組）,得到如下數(shù)據(jù)：

不夠IQ好良好

病例組4060

對照組1090

（I）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生

習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人..4表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠

良好二8表示事件“選到的人患有該疾病”，霜*與詈豁的比值

r\D1.4）r\D\A）

是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度址指標(biāo),記該指標(biāo)

為凡

,.RP（，4I8）P(.HiR)

⑴V證TB明H：八面

P(.4國)

（ii）利用該調(diào)杳數(shù)據(jù)，給出P（4I8）,。（.4葩）的估計值，并利用（i）

的結(jié)果給出R的估計值.

n(ad-be)'

附：父=

(a*6)(c+d)(a+r)(b+d)

PlKfk)0J)5CL0.01()0.(X)l

37?4I663510.828；

【試題分析】

考查目標(biāo)試題重在考查概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識、思想方法及其應(yīng)

用，考查考生的運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)建模能力以及創(chuàng)新

能力等,考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究等方面的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，體現(xiàn)了

基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求?

解題思路

200x(40x90-60x10)2

(1)K2==24.

100x100x150x50

因為K2>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病

群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

P(B\A)P(B\A)

(2)(i)/?=

P(B\A)P(B\A)

P(B\A)P(A)P{B\A)P{A}

P(B\A)P(A).P(B\A)P(J)

_/(48)P(AB)

>(彳8)'P(AB)

P{A\B).P(4lg)

=P(A\B)"P(A\B)

（ii）由該調(diào)查數(shù)據(jù)得，病例組中衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好的頻率為

4010

提=0.4,對照組中衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好的頻率為訴=0.1,所以P（川8）

1001兇

的估計值為0.4,尸（和耳）的估計值為0.L

P（ZlB）的估計值為0.為P（彳而）的估計值為0.9,利用（i）的結(jié)果

0409

可得R的估計值為茨*谷二6.

U.oU.1

試題亮點試題通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境和生活實踐情境而編

制，考查的內(nèi)容豐富且具有較好的創(chuàng)新性，有諸多亮點?

（1）試題情境親切自然，能很好地體現(xiàn)概率統(tǒng)計知識與方法的應(yīng)用

價值.設(shè)計的問題能有效地考查考生對概率統(tǒng)計知識的掌握程度，考查

其數(shù)據(jù)處理、應(yīng)用創(chuàng)新等方面的能力.

（2）試題設(shè)計了兩大問三小問，這三個問題層層遞進(jìn)，體現(xiàn)了提出

問題、探究問題和解決問題的過程.首先我們要研究的問題是：某地的

一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣的關(guān)系.為此我們需要通過調(diào)查

來獲得統(tǒng)計數(shù)據(jù)，再對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理.試題的第（1）問是簡單的,

考生只需應(yīng)用學(xué)過的X2檢驗法就能得出答案：患疾病群體與未患疾病群

體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.這說明衛(wèi)生習(xí)慣會影響患病率，但并沒有回答問

題：影響程度如何？試題的第（2）問就是為回答此問題而設(shè)計的，其中的

第（i）問為第（ii）問作鋪墊.第（i）問的解決要求考生對條件概率的定義

有準(zhǔn)確把握，條件概率是概率論中的一個重要概念，也是課程標(biāo)準(zhǔn)中的

重點內(nèi)容.在第（i）間的基礎(chǔ)上，第（ii）問的解決是容易的，但需要考生

具備較好的統(tǒng)計估計方面的知識和思想.試題最后回答了我們關(guān)注的問

題：衛(wèi)生習(xí)慣對患病風(fēng)險的影響程度.具體來說就是：衛(wèi)生習(xí)慣不夠良

好的群體其患病的風(fēng)險程度是衛(wèi)生習(xí)慣良好的6倍.以上問題環(huán)環(huán)相扣，

充分展現(xiàn)了提出問題、探究問題直至解決問題的科學(xué)探索過程.試題能

有效考查考生數(shù)學(xué)探索的學(xué)科素養(yǎng)'數(shù)學(xué)建模的思想以及綜合運用所學(xué)

知識解決實際問題的能力.

（3）試題蘊含豐富的統(tǒng)計思想.在統(tǒng)計學(xué)知識模塊的教學(xué)中，統(tǒng)計

思想是核心.在探究衛(wèi)生習(xí)慣是否會影響患病率以及影響程度如何的問

題中，人們自然地會去比較衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好的人患病的概率與衛(wèi)生習(xí)

慣良好的人患病的概率，即比較兩個條件概率尸（8M）,P（BIA）.在統(tǒng)

計學(xué)中更多的是比較。需:與鬻耍,用這兩者的比值R來度量衛(wèi)生

r\01/17D\A）

習(xí)慣不夠良好的人患病相對于衛(wèi)生習(xí)慣良好的人患病的風(fēng)險程度.為估

計R,就需要估計P（BI4）和P（B/）.衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好的人群中及衛(wèi)

生習(xí)慣良好的人群中患病的人數(shù)都是非常稀少的，如果在自然人群中進(jìn)

行調(diào)查或在衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好的人群中和衛(wèi)生習(xí)慣良好的人群中分別調(diào)

查，即使調(diào)查的人數(shù)很大，患病的人數(shù)可能很少甚至為零，這樣條件概

率P(BM)和P(8次)的估計難以準(zhǔn)確，也很不穩(wěn)定.如果在患病群體中

和未患病群中分別調(diào)查，我們就可以獲得P(*8)和P(川月)很準(zhǔn)確的估

計，利用第(2)問的結(jié)果就可以獲得H的準(zhǔn)確估計.考生通過試題的解

決，可以深刻地體會到數(shù)學(xué)知識在解決實際問題過程中的威力,試題在

提高考生學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)知識的興趣，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提升其解決實

際問題的能力等方面都有著積極的引導(dǎo)作用.

(4)試題體現(xiàn)了黨和國家對人民健康的深切關(guān)懷.考生通過對試題

的作答，既能有考試的獲得感，也能進(jìn)一步增強愛黨、愛國的熱忱.試

題很好地體現(xiàn)了新時代高考改革的精神，真正實現(xiàn)高考“立德樹人、服

務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國D卷第5題

【試題】

甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在

兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有

A.12種B.24種C.36種D.48種

【試題分析】

考查目標(biāo)試題選取文藝匯演作為生活實踐情境，充分體現(xiàn)高考評

價體系突出學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的要求；注重對學(xué)生的美育教育,

有助于學(xué)生樹立正確的情感態(tài)度價值觀，助力優(yōu)秀人才的選拔.

試題考查排列組合中的分類計數(shù)的思想、加法原理、乘法原理以及

基本排列數(shù)的計算.試題重在考查考生的理性思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用等學(xué)科素

養(yǎng)，考查考生的邏輯推理、運算等關(guān)鍵能力，符合高考評價體系對基礎(chǔ)

性、應(yīng)用性、綜合性的考查要求.

解題思路

思路1先考慮丙和丁相鄰.

為使丙和丁相鄰，可以把丙丁綁定（其中2人位置可以交換）和其

余3名同學(xué)做排列，共有2xA：種排法，其中甲站在兩端的排法有2X2X

A；種.

因此所有的排列方式有2xA：-2x2xA；=24種?故正確選項為B.

思路2先考慮甲，再分類討論甲、丙、丁的排列方式?

如果甲站在正中間，則丙、丁位置的選取方式有2+2=4種-

如果甲站在左起第2個位置，丙、丁只能站在甲的右側(cè)，則丙、丁

的排列方式有2x2=4種.

如果甲站在左起第4個位置，考慮到對稱性，同上種情況，則丙、

丁的排列方式有2x2=4種.

故甲、丙、丁的排列方式共有4+4+4=12種.

接下來討論乙和戊的排列方式，其排列方式有2種.

綜上，所有的排列方式有12x2=24種.故正確選項為B.

思路3先排丙和丁.

若丙和丁有一人在兩端，丙和丁的排法有2x2=4種，再安排甲，甲

的排法有2種，最后排乙和戊，其排列方式有2種，故此分類下的排法

有4x2x2=16種.

若丙和丁都不在兩端，則乙和戊必須在兩端，乙和戊的排法有2種，此

時甲、丙、丁的排列方式有2x2=4種，故此分類下的排法有4x2=8種.

綜上，所有的排列方式有16+8=24種.

試題亮點試題立足教材，注重基礎(chǔ).考生只需要準(zhǔn)確分類，并掌

握排列數(shù)的計算即可得到答案.試題解法多樣，考生可選取不同的分類

方式,其難度相當(dāng).對大多數(shù)考生而言，對試題的準(zhǔn)確作答，可進(jìn)一步

穩(wěn)定考試心態(tài)，對其正常發(fā)揮起到較好的作用,

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國n卷第13題

【試題】

已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,a2),且P(2<Xw2.5)=0.36,

則P(X>2.5)=.

【試題分析】

考查目標(biāo)正態(tài)分布是一個在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要

的概率分布.在概率統(tǒng)計學(xué)的許多方面有著重大的影響力.正態(tài)分布隨

機(jī)變量是初等概率中出現(xiàn)頻次最高的隨機(jī)變11t