吉林省長春市長春2023學年高考考前模擬數(shù)學試題含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）

俯視圖

A.2加B.4C.2D.2及

（1（1

2.關于函數(shù)/（x）=4sin-^+-+4cos+有下述三個結論：

"5）

7T

①函數(shù)/（X）的一個周期為2；

2

yr37r

②函數(shù)/（X）在上單調遞增；

24

③函數(shù)/（x）的值域為[4,40].

其中所有正確結論的編號是（）

A.①②B.②C.②③D.③

3.明代數(shù)學家程大位（1533~1606年），有感于當時籌算方法的不便，用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計算

的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖，若輸出的y的值為2,

則輸入的工的值為（）

網(wǎng)］

/輸出%/

756164

A.B.—C.2D.

427

224

4.已知雙曲線xy_1的一條漸近線方程為y=則雙曲線的離心率為()

屋b2~

4553

A.B.-C.-D.

3342

〃，卜|=2,W=i,則麗=(

5.△ABC中,點。在邊AB上，CE＞平分ZACB,若赤=￡,CA=)

2-14-3r

A.—a+—brB.-a+-bC.-a+-bD.—a+—b

33335555

6.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+。)，其中。G(0,§,若Vxe/?,/(x)W/(I)恒成立，則函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)

間為()

A.kzr-----,k/r+—(kGZ)B.k兀-----,kzr4------(kez)

L36jL33J

C.k?i-\——北兀----(左￡z)D.kjt.kTi------(keZ)

_33JL3_

7.復數(shù)z滿足z(l-i)=|l-6i],則復數(shù)2等于()

A.1-iB.1+zC.2D.-2

8.設全集U=R,集合A={x[0<x<2},8={x|x<l},則集合AU8=()

A.(2,-H?)B.[2,+oo)C.(-oo,2]D.

9.已知數(shù)列{《,}的前〃項和為S“，且(S“+1)(S,+2+1)=(S“+I+1)2(〃WN*),4=1,%=2,貝|S,=()

A.二---LB.2/,+1C.2〃-1D.2,:+1+1

10.某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱

長為().

wtm

A.y/2B.GC.1D.V6

12.已知函數(shù)/。)=/一6一|,以下結論正確的個數(shù)為()

①當a=0時，函數(shù)/(x)的圖象的對稱中心為(0,-1)；

②當a23時，函數(shù).f(x)在(一U)上為單調遞減函數(shù)；

③若函數(shù)f(x)在(一1,1)上不單調，則0<”3；

④當a=12時，f(x)在［T,5］上的最大值為1.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)=的定義域是.

14.若奇函數(shù)/(%)滿足〃x+2)=-〃X),g(x)為R上的單調函數(shù)，對任意實數(shù)xeR都有g［g(x)—2，+2］=1,

當XG［O,1］時,〃x)=g(x),則/(log212)=.

15.若點N為點M在平面a上的正投影，則記"=力(").如圖，在棱長為1的正方體中，記平

面ABQ為尸，平面ABCO為八點P是線段CG上一動點，。=力［力(2)］，。2=%［力(「)］.給出下列四個結論：

D,

①。2為△A4A的重心;

②QQ

4

③當CP=1時，PQJ|平面￡；

④當三棱錐R-AP4的體積最大時，三棱錐R外接球的表面積為2乃.

其中，所有正確結論的序號是.

16.運行下面的算法偽代碼，輸出的結果為S=.

§二鼠---.....!

\FortFrom1To10Step1;

IEndFbr；

：PrintS；

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在AA3c中，A、B、C的對應邊分別為。、b、c,已知。=2,c=2百，cosC=-1.

(1)求A;

(2)設M為8C中點，求AM的長.

18.(12分)如圖，在矩形A8CD中，AB=2,BC=3,點E是邊AD上一點,且AE=2ED，點，是BE的中點,

將ZXABE沿著防折起，使點A運動到點S處，且滿足SC=SO.

(1)證明：S"_L平面3CDE：

(2)求二面角C—SB—E的余弦值.

19.(12分)已知拋物線。：丁2=2〃%(〃>0)的焦點為產(chǎn)，點P(2,〃)(〃>0)在拋物線。上，儼同=3,直線/過點

F,且與拋物線C交于A，B兩點.

（1）求拋物線C的方程及點尸的坐標;

（2）求麗.而的最大值.

20.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，ABCD,底面ABC。是直角梯形，”為側棱PD上一點,

已知50=2,BC=26,CD=4,DP=4,DM=3.

（I）證明:平面P8C_L平面PBD；

（II）求二面角A—3M—C的余弦值.

2

21.（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為<x=m（加為參數(shù)）.以坐標原點。為極點，x軸正半軸

y=2m

為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程為psin6-QCOS6+1=0.

（I）求直線/的直角坐標方程與曲線C的普通方程；

/、11

（II）已知點。（2,1）,設直線/與曲線C相交于M,N兩點，求西+網(wǎng)的值.

22.（10分）已知函數(shù)/（%）=Asin?x+e）［A>O,?y>O,-g<0<g］的最小正周期是不，且當x=工時，f（x）

\22J6

取得最大值2.

（1）求“X）的解析式；

（2）作出作（X）在［0,句上的圖象（要列表）.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計算各棱的長度.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：

由三視圖知：|4)|=2，團=6囪=2,

所以陷=\DC\=2,

所以畫=+幽=2V2,|5z?|=M=2vL

所以該幾何體的最長棱的長為2起

故選：D

【點睛】

本題主要考查三視圖的應用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

2.C

【解析】

1T3417i7)177r//、./T-.f171)—一E乂、b一

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當xe時,—x+—G—-，/(x)=4v2sin—x+—,再利用單調性

乙JJL乙\乙.1乙J

(1Ji

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)/(幻=4sin-x+-的值域等價于函數(shù)

(23；

g(x)=4singx+4c"

的值域，而g(x+乃)=g(x),當XG[O,而時g(x)=40sin+再求值域.

2I/3)

【詳解】

I.1.y?|TCn|.17TCI.J1L/7/V4、1n\1n、

因為/工+―=4sin—x+——+4cos—x+——=4cos-x+一+4sin|gx+￡w/(x),故①錯誤;

(22J、212jL2(1212212,212

,乃3)11\文兀74\7兀，所以/(x)=4sin(；x+m)-4cos(；1x+g7ti乃

當X￡一,--時，—X-\-----G=472sin—x+一

242323212

ITTTT1\TTTT34

于+1T所以"幻在5'彳上單調遞增'故②正確;

的值域等價于函數(shù)；；的值域，易知

函數(shù)/(x)=4sin—x+yj+4cos^—x+yg(x)=4sinx+4cosx

g(x+/)=g(x),故當xe[0,乃]時，g(x)=4及sin[gx+《)G[4,4及],故③正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的性質，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

3.C

【解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.

【詳解】

y=3x-4,；=1；y=3y-4=9x-16,/=2；y=3y-4=27x-52,i=3；

y=3y-4=8Lx—I60,i=4；y=3y-4=243x-484,此時不滿足，43,跳出循環(huán),

輸出結果為243x—484,由題意y=243x—484=2,得x=2.

故選:C

【點睛】

本題考查了程序框圖的計算，意在考查學生的理解能力和計算能力.

4.B

【解析】

由題意得出！的值，進而利用離心率公式e=+可求得該雙曲線的離心率.

【詳解】

雙曲線￡一”=1的漸近線方程為丫=±21,由題意可得=3,

a2b2aa2[3J9

5

因此，該雙曲線的離心率為e

3

故選：B.

【點睛】

本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式6='+12)計算較為方便，考查計算能力，屬于

基礎題.

5.B

【解析】

由CD平分NACB,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得空=與，再根據(jù)平面向量的加減法運算即得答案.

【詳解】

???CO平分NACB,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得嬰=經(jīng)，

DACA

又C*=Z，CA=b>忖=2,忖=1,

.-.—=2,:.BD=2DA.

DA

CD—CB+BD-CBH—BA=aH—(4—“)=—aH—b.

33、,33

故選：B.

【點睛】

本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎題.

6.A

【解析】

小氏/（幻，/闿=/（初皿=/（￡]=1，從而可得°=奈/（x）=sin（2x+￡|,再解不等式

TTJTTT

2kn----<2x+—<2k兀+—*ez）即可.

262

【詳解】

由已知，/(x)皿

=±l,^e[o,1,所以

0

/(x)=sin2x+—兀,由2%乃一工<2x+工<2左乃+工(4￡z),

V6J262

777T

解得，k兀---4X?女%H(女€Z).

36

故選：A.

【點睛】

本題考查求正弦型函數(shù)的單調區(qū)間，涉及到恒成立問題，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.

7.B

【解析】

通過復數(shù)的模以及復數(shù)的代數(shù)形式混合運算，化簡求解即可.

【詳解】

復數(shù)z滿足z(l-i)=|l-血卜2,

,2_2(1+0.

..Z-....=----r-：---r=1+，，

1-z(l-z)(l+z)

故選B.

【點睛】

本題主要考查復數(shù)的基本運算，復數(shù)模長的概念，屬于基礎題.

8.C

【解析】

,集合A={x|0<x<2},JB={X|X<1},

?**A<JB=(-°°，2]

點睛：本題是道易錯題，看清所問問題求并集而不是交集.

9.C

【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列{S“+l}是等比數(shù)列，求得其通項公式，由此求得s“.

【詳解】

由于(S“+l)(S.+2+l)=(S“M+l)2(〃eN*),所以數(shù)列{S“+l}是等比數(shù)列，其首項為S1+l=q+1=2,第二項為

4

S2+l=?,+a2+l=4,所以公比為5=2.所以S,,+1=2",所以S,,=2"-l.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項公式，屬于基礎題.

10.B

【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進一步求出幾何體的棱長.

【詳解】

解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，

所以，該四棱錐體的最長的棱長為/=川？+9+『=6.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題.

11.D

【解析】

先求出集合N的補集電N,再求出集合M與電N的交集，即為所求陰影部分表示的集合.

【詳解】

由。=1^,N={x||x|,,l},可得dN={Mx<—l或x>l},

又M={x|-3<x<l}

所以MceN={jc|-3<x<T}.

故選：D.

【點睛】

本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補集的運算，屬于基礎題.

12.C

【解析】

逐一分析選項，①根據(jù)函數(shù)y=x'的對稱中心判斷；②利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性；③先求函數(shù)的導數(shù)，若滿足條件,

則極值點必在區(qū)間(T，l):④利用導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.

【詳解】

①y=/為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點，根據(jù)平移知識，函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(0,-1),正確.

②由題意知/'(%)=3/一a.因為當意<了<1時,3x2<3>

X?>3,所以尸(x)<0在上恒成立，所以函數(shù)f(x)在(-1,1)上為單調遞減函數(shù)，正確.

③由題意知/'(x)=3￡—a,當時，此時f(x)在(—8,+8)上為增函數(shù)，不合題意，故a>0.

令/(幻=。，解得工=±且.因為f(x)在(一1,1)上不單調，所以/。)=0在(-1,1)上有解，

3

需0<12<1,解得()<“<3,正確.

3

④令/'(X)=3--12=0,得％=±2.根據(jù)函數(shù)的單調性，f(x)在[4,5]上的最大值只可能為了(一2)或/(5).

因為/(-2)=15,/(5)=64,所以最大值為64,結論錯誤.

故選：C

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎題型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-oo,0]

【解析】

由1-2-0,得2”1，所以xWO,所以原函數(shù)定義域為故答案為

1

14.——

3

【解析】

根據(jù)〃x+2)=—/(x)可得，函數(shù)”X)是以4為周期的函數(shù)，令g(x)—2、+2=3可求g(x)=2-l,從而可得

f(x)=g(x)=2'-1,/(log212)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【詳解】

令g(x)-2，+2=%，貝！]g(x)=Z+2，-2,

由g[g(x)—2*+2]=l,則g(左)=1,

所以g化”左+2-2=1,解得左=1,

所以g(x)=2*-l,

由xe[O,l]時，〃x)=g(x),

所以xe[O,l]時，〃彳)=2,-1；

*/(x+2)=-/(x),所以/(x+4)=—/(x+2)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是以4為周期的函數(shù)，

/(log212)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

所以川暇⑵=-"2-1嗨3)=-[22-3_1]=_；.

故答案為：一!

【點睛】

本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應用，屬于中檔題.

15.(D0③

【解析】

①點P在平面A8C。內(nèi)的正投影為點C,而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線CA垂直于

平面A4〃，而A4用。為正三角形，可得。之為正三角形A44R的重心，所以①是正確的；

②取耳。的中點E，連接4E,則點P在平面AAA的正投影在上，記為Q,而如，平面AC￡A，QI，QG平

面ACC/,所以。所以②正確；

③若設AEDCG=M,則由PQJAE可得RtAM4csRtzMQ,然后對應邊成比例，可解CP=；所以③正確;

④由于%一人因=%一明，而A449的面積是定值，所以當點尸到平面AAA的距離最大時，三棱錐A-APg的

體積最大，而當點P與點。重合時，點尸到平面Ag2的距離最大，此時P-Ag?為棱長為0的正四面體，其外

接球半徑/?=3，則S球=3%,所以④錯誤.

2

【詳解】

因為力(P)=C,連接CA，則有C4,，平面A8Q,C4c平面ABQ=Q?,CA=CB[=為正三角形，

所以。2為正三角形AA4A的中心，也是A44A的重心，所以①正確;

由C4,_L平面ABQ,可知平面ACGA，平面ABQ,記力（尸）=Q,

由BZUAC,BO_LCG，可得平面ACGAM^e平面ACG4,則QQL50,所以②正確;

若PQJI平面4，則PQJAE,設CP="噴出l),AEcCq=M由Rt△M4CsRt△M尸Q得PQ=苗，易得

歷____1__L.

>3=

。。=在（2-。，由/21|4￡,則/。。。=/^4。，由1211//。。=1211/9。得，丘、&，解得

3^^2一‘）

4

t=CP=-9所以③正確

當尸與。重合時，力「"4=匕?一陰4最大，P-AA2為棱長為④的正四面體，其外接球半徑R=當，則s球=3》,

所以④錯誤.

故答案為：①②③

【點睛】

此題考查立體幾何中的垂直、平行關系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.

10

【解析】

模擬程序的運行過程知該程序運行后計算并輸出5的值，用裂項相消法求和即可.

【詳解】

模擬程序的運行過程知,該程序運行后執(zhí)行：

10

一T7，

故答案為:—

【點睛】

本題考查算法語句中的循環(huán)語句和裂項相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關鍵;屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)30。；(2)療.

【解析】

(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出C,結合正弦定理求出A；

(2)結合第一問的結論以及余弦定理即可求解.

【詳解】

解：(1)VcosC=一一，且0<C<%,二C=120°,由正弦定理一=

2sinA

22G...1

------=----------,??sinA.——9

sinAsin12002

VC=120°

.,?4銳角，,4=30°

(2)VA=30°,C=120°

二8=30°

:.b=a=2

，在△,（?中，由余弦定理得AM2=AC2+CM2-2ACCMcosC

-l+4-2x2xlx

=7

:.AM=不

【點睛】

本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運用.考查了學生對三角函數(shù)基礎知識的綜合運用.

18.（1）見解析；（2）3

3

【解析】

（1）取CZ）的中點M,連接“M，SM,由S￡=S8=2,進而由SC=SO,得SM_LC￡>.進而

平面進而結論可得證（2）（方法一）過H點作CD的平行線GH交8c于點G,以點H為坐標原點，

所在直線分別為x軸、y軸、二軸建立如圖所示的空間直角坐標系H-孫z,求得平面S8C,平面SBE的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中點N,5c上的點P,使BP=2PC,連接HN,PN,PH,得

HNVBS,HP上BE,得二面角C—S3—￡的平面角為ZPNH,再求解即可

【詳解】

（1）證明：取CD的中點"，連接SM,由已知得A￡=AB=2,所以SE=SB=2,又點”是鹿的中

點，所以叩，BE.

因為SC=50,點/是線段。。的中點，

所以SMLCD.

又因為HM上BC,所以/從而CD_L平面SHM,

所以CD_LS",又CD,8E不平行,

所以SHL平面BOE.

（2）（方法一）由（1）知，過H點作8的平行線G”交8c于點G,以點H為坐標原點，所在直線

分別為x軸、丁軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系”一孫z,則點3（1,—1,0）,C（l,2,0）,￡（-1,1,0）,

所以阮=(0,3,0),=(-2,2,0),壽=(—1,1,3卜

設平面SBE的法向量為比=（X]，X，zJ,

m-BE=0,

由，—?,得F+；溫=of得/=。，。）.

麗?BS=0

同理，設平面S3C的法向量為無=（々,%，22），

n-BC=0%二0

由＜_—，得

n-BS=0-+%+=0

令Z2=l,得萬=（血,0,1卜

所以二面角C-SB-E的余弦值為cos〈歷,n）=高不=0]=—.

（方法二）取6S的中點N,8C上的點P,使BP=2PC,連接”N,PN,P〃，易知HN工BS,HP±BE.

由（1）得SH上HP,所以平面BSE,所以HPLSB,

又HN工BS,所以8SL平面PHV,

所以二面角C—SB—E的平面角為NPNH.

又計算得N/7=l,PH=&，PN=B

所以cos/PNH=4==—?

上3

【點睛】

本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計算能力，是中檔題

19.(1)y2=4x,P(2,2⑹；(2)1.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；

(2)設直線/的方程為：x+my-1=0,代入產(chǎn)=4丫，得，y2+4my-4=0,設A(xi,ji),B(X2,及)，則>1+"=-

2

4m,jij2=-4,xi+x2=2+4m,xiX2=l,PA=(x,-2,-272),PB=(X2-2,y2-272),由此能求出PA-PB

的最大值.

【詳解】

(1),?,點/是拋物線V=2px(p>0)的焦點，P(2,jo)是拋物線上一點，|尸尸|=3,

：.2+—=3,

2

解得：p=2,

.??拋物線C的方程為y=4x,

:點P(2,/?)(n>0)在拋物線C上，

：?'2=4x2=8,

由">0,得”=2及，.?.尸(2,20).

(2)VF(1,0),.?.設直線/的方程為：x+my-1=0,

代入y2=4x,整理得，y2+4my-4=0

設A(Xl,Jl),B(X2,J2)，

則yi,72是V+4/町-4=0的兩個不同實根，

?力|+丁2=-4m,jij2=-4,

xi+X2==(1-myi)+(1-myi)=2-m(J1+J2)=2+4/n2,

XXX2—(1-/nji)(1-my2)=1-tn(ji+jz)+/n2jij2=l+4/n2-4/n2=L

PA=(%-2,yx-2A/2),PB=(X2-2,y2-242),

PAPB=(xi-2)(x2-2)+(x-2&)(%-20)

=XlX2-2（X1+X2）+4+乂％一2&（乂+%）+8

=1-4-Sm2+4-4+8后rn+S

=-8/n2+8y/2m+5

=-8（m-旺）2+i.

2

，當瓶=_￡時，麗.而取最大值i.

2

【點睛】

本題考查拋物線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理等基礎知識，考

查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

20.（I）證明見解析；（II）_工叵.

4

【解析】

（I）先證明BCLPD,再證明8cL平面PBD,利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；

（II）根據(jù)題意以DADC,。尸為x軸、>軸、z軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面BMC的向量，利用公式

即可求解.

【詳解】

（I）證：由已知得+=cr>2

又PD上平面ABC。，「BCu平面A8CO,/.BCLPD,

而PDc8O=。故，8C_L平面P8D

?:BCu平面P8C,，平面BBC_L平面

（II）由（I）知推理知梯形中AB//CD,AD±AB,AD1DC,

有ZAOB+NBOC=90，又NBCO+N6OC=90。，故ZADB=4BCD

s、iE/IABBDAB2._.

所以AA8Z）相似^BDC故有=,a即n=—=>AB=1

9BDDC24

AD=>]BD2-AB2=722-12=G

所以，以萬5,配，而為X軸、），軸、Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫Z,

p(

則0(0,0,0),4(0,0,0),B(V3,l,0),C(0,4,0),M(0,0,3)

加=(0,1,0),BC=(-V3,3,O),BM=(-V3,-l,3),設平面A3M的法向量為片=(%,y,zj,則

n.?AB=0M=°

zi]?BM—0-J3x-y+3Z]=0

令X=3,則Z[=百，二勺=9,0,百）是平面AMB的一個法向量

設平面3MC的一個法向量為后=（%,%，Z2），

明-BC-0-\[ix2+3%=0

<_______

n2BM=Q[-^x2-y2+3z2=0

令々=3,貝!]%=G

-（廠

n2=3,73,-4-是平面BMC的一個法向量

一雇后（3,。,揚《3,瘋手）

cos<"],〃■,>=昌1==---------1--013

'同㈣5邛+療+（事下

又二面角A-3一。為鈍二面角，其余弦值為一反.

4

【點睛】

本題考查線面、面面垂直的判定定理與性質定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直觀想象能力與運算求解能力,

屬于中檔題.

4

21.（I）直線/的直角坐標方程為九一丁一1=0；曲線C的普通方程為y2=4x；（II）

【解析】

(I)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；

(II)將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程，可得4+馬=20,秘2=T4,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知

-J-+-L=J-+-L=同+回」乙二&L曲+'2)2一4格，代入即可解決.

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